Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли

Уравнение вида  называется линейным (  и  входят в первых степенях, не перемножаясь между собой).

Если , то уравнение называется линейным неоднородным.

Если , то уравнение называется линейным однородным (д. у. с разделяющимися переменными).

Уравнение (нелинейное) вида , где ,  называется уравнением Бернулли. Данные уравнения можно интегрировать методом Бернулли, т.е. с помощью подстановки , где , – неизвестные функции.

Пример

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение: Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Полагаем , где , - неизвестные функции, . Подставляя  и  в исходное уравнение, имеем .

1) Подберем функцию  так, чтобы выражение, содержащееся в скобках, обращалось в нуль, т.е. , откуда . После интегрирования получаем  (постоянную интегрирования берем равной нулю).

2) Для определения функции  имеем  или , т.е. , откуда .

3) Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

.

4) Используя начальное условие, вычисляем значение постоянной :

, т.е. .

Поэтому частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию, имеет вид

.

 

Дифференциальные уравнения второго порядка

    Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами  имеет общее решение , где  и  линейно-независимые частные решения этого уравнения.

    Общий вид решений однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , зависит от корней характеристического уравнения .

Корни характеристического уравнения	Вид общего решения
Корни  и  действительные и различные
Корни  =  =  действительные и одинаковые
Корни комплексные ,

Пример

Найти общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

1)

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни ,  действительные и различные. Следовательно, общее решение имеет вид: .

2)  

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни  действительные и одинаковые. Следовательно, общее решение имеет вид: .

3)  

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни  комплексные. Следовательно, общее решение имеет вид: .

 

    Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

, где .       (1)

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка  имеет вид , где  – частное решение этого уравнения,  – общее решение соответствующего однородного уравнения, т.е. уравнения .

Вид частного решения  неоднородного уравнения (1) в зависимости от правой части :

 

Правая часть	Частное решение
– многочлен степени	, где  – число корней характеристического уравнения, равных нулю.
	, где  – число, показывающее, сколько раз =  является корнем характеристического уравнения.
	, где  – число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с .
	где  – число корней характеристического уравнения, совпадающих с .

 

Рассмотрим различные виды правых частей линейного неоднородного дифференциального уравнения :

1. Пусть правая часть имеет вид , где  – многочлен степени . Тогда частное решение  можно искать в виде , где  – многочлен той же степени, что и , а  – число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение . Найдем корни последнего уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Б) Так как правая часть уравнения является многочленом первой степени и ни один из корней характеристического уравнения  не равен нулю ( ), то частное решение ищем в виде , где  и  – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды  и подставляя ,  и  в исходное уравнение, находим .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  в обеих частях равенства , , находим , . Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение .

2. Пусть правая часть имеет вид , где  – многочлен степени . Тогда частное решение  можно искать в виде , где  – многочлен той же степени, что и , а  – число, показывающее, сколько раз  является корнем характеристического уравнения.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение . Найдем корни последнего уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Б) Так как правая часть уравнения есть функция , то контрольное число данного уравнения , оно не совпадает с корнями  характеристического уравнения . Тогда частное решение ищем в виде , где  – неизвестный коэффициент. Дифференцируя дважды  и подставляя ,  и  в исходное уравнение, находим . Откуда , то есть  или .

Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение .

3. Пусть правая часть имеет вид , где  и  – данные числа. Тогда частное решение  можно искать в виде , где  и  – неизвестные коэффициенты, а  – число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с . Если в выражение функции  входит хотя бы одна из функций  или , то в  надо всегда вводить обе функции.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение . Найдем корни последнего уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Б) Так как правая часть уравнения есть функция , то контрольное число данного уравнения , оно не совпадает с корнями  характеристического уравнения . Тогда частное решение ищем в виде

, где  и  – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды , получим  и . Подставляя ,  и  в исходное уравнение, находим

.

Приводя подобные слагаемые, получим

.

Приравниваем коэффициенты при  и  в правой и левой частях уравнения соответственно. Получаем систему . Решая ее, находим , .

Итак, частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .

Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .

Глава 9. Ряды.

Определение. Пусть , , ...., , ... бесконечная числовая последовательность. Выражение называется числовым рядом, , , ...., , ... члены ряда, - общий член ряда.

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: