Классическое определение вероятности события

Пример

Для озеленения бульвара решено посадить низкорослый кустарник и лиственную породу деревьев. В питомнике имеется 4 наименования кустарников и 5 наименований лиственных деревьев. Сколько можно составить различных комбинаций «кустарник-дерево»?

Решение:

Первым мы можем посадить один кустарник, причем любой из имеющихся 4 и вторым мы сажаем одно дерево, тоже любое из 5. Таким образом, различных комбинаций «кустарник–дерево» мы можем составить  способами.

Сочетания

Сочетаниями из n элементов по k элементам называются группы, составленные из k элементов, взятых из n элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом (порядок расположения элементов не имеет значения). Число сочетаний  подсчитывается по формуле

, причем

Например,

 

Классификация событий

Пусть выполнен некоторый комплекс условий  при проведении опыта (испытания). Мы интересуемся обычно, произойдет ли при этом некоторое событие (исход опыта). По отношению к комплексу условий  событие может быть либо достоверным, либо невозможным, либо случайным. Договоримся обозначать события заглавными латинскими буквами , , … .

    Определение 1. Событие  называется достоверным, если при выполнении комплекса условий  оно обязательно произойдёт.

    Определение 2. Событие  называется невозможным, если при выполнении комплекса условий  оно заведомо не произойдёт.

    Определение 3. Событие  называется случайным, если при выполнении комплекса условий  оно может произойти, а может и не произойти.

    Определение 4. События A и B называются равными ( A = B ), если при наступлении события  наступает событие  и, наоборот, при наступлении события  наступает событие .

    Определение 5. События  и  называются несовместными, если при выполнении комплекса условий  появление одного из них исключает появление другого. Если же появление одного не исключает появление другого, то события  и  называются совместными.

Пример

Садовод купил саженцы двух сортов черной смородины: 5 саженцев сорта Селеченская и 7 – сорта Вологда. Какова вероятность того, что выбранный наудачу саженец окажется сорта Вологда.

Решение:

Событие А (то что требуется в вопросе) – выбранный наудачу саженец оказался сорта Вологда.

Общее число элементарных исходов n = 5 + 7 = 12 (всего саженцев).

Число исходов, благоприятствующих появлению данного события, m = 7 (саженцев сорта Вологда).

Таким образом, вероятность того, что выбранный наудачу саженец окажется сорта Вологда, равна

Пример

Садовод купил саженцы двух сортов черной смородины: 5 саженцев сорта Селеченская и 7 – сорта Вологда. Найти вероятность того, что садовод выбирая наудачу посадит 2 саженца сорта Селеченская и 3 саженца сорта Вологда.

Решение:

Опыт заключается в отборе 5 саженцев. В качестве элементарных событий рассмотрим всевозможные наборы. Поскольку отбор производится случайным образом, все такие наборы равновозможные и применимо классическое определение .

Общее число таких элементарных исходов равно:  (отбирается 5 саженцев из 12 и порядок несущественен). Число исходов, благоприятствующих искомому событию A, равно  (воспользовались правилом произведения и тем, что отбирается 2 саженца из 5 саженцев сорта Селеченская и 3 саженца из 7 саженцев сорта Вологда). Отсюда искомая вероятность равна:

.

 

Пример

В лесопитомнике проверяют на прорастание семена сосны, ели и клена, вероятности, прорастания которых соответственно равны для сосны – 0,7, для ели – 0,8 и для клена – 0,9. Наудачу взято по одному семени каждого вида. Найти вероятность того, что прорастет: 1) только одно семя; 2) только 2 семени; 3) только три семени; 4) ни одно семя не прорастет; 5) хотя бы одно семя.

Решение:

Событие A₁ – прорастет семя сосны .

 – не прорастет семя сосны .

Событие A₂ – прорастет семя ели .

 – не прорастет семя ели .

Событие A₃ – прорастет семя клена .

 – не прорастет семя клена .

1) Пусть событие B – прорастет только одно семя. Тогда

. Отсюда в силу несовместности событий–слагаемых и независимости событий–сомножителей, получаем

2) Пусть событие С – прорастет только два семени.

. Отсюда в силу несовместности событий–слагаемых и независимости событий–сомножителей, получаем

3) Пусть событие D – прорастет три семени.

.

Тогда .

4) Пусть событие E – ни одного семени не прорастет.

Так как события независимые, то

.

5) Пусть событие F – хотя бы одно семя прорастет.

1 способ

Событие F есть сумма событий F = B + C + D . Отсюда в силу несовместности событий слагаемых, получаем

2 способ

Перейдем к противоположному событию – ни одного семени не прорастет . Тогда

 

Формула Байеса

Пусть имеется некоторый комплекс условий .

    Определение 1. Совокупность событий , из которых хотя бы одно происходит в результате комплекса условий , называется полной группой событий.    

    Предположим, что события , которые могут произойти в результате комплекса условий , образуют полную группу событий и, кроме того, эти события являются попарно несовместными. Пусть A – любое событие, которое может произойти в результате этого же комплекса условий. Тогда вероятность события A может быть вычислена с использованием вероятностей и условных вероятностей .

    Теорема 1. Пусть задан некоторый комплекс условий , в результате которого могут произойти события , образующие полную группу попарно несовместных событий. Тогда вероятность любого события A , которое может произойти в результате того же комплекса условий, вычисляется по формуле (полной вероятности).

    Теорема 2 (Байеса). Пусть задан некоторый комплекс условий , в результате которого могут произойти события , образующие полную группу попарно несовместных событий. Пусть в результате комплекса условий  уже произошло некоторое событие A . Тогда вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса

 ( ).

Пример

Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: I класс – малый риск, II класс – средний, III класс – большой риск. Среди этих клиентов 50% – первого класса риска, 30% – второго и 20% – третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для первого класса риска равна 0,01, второго – 0,03, третьего – 0,08. Какова вероятность того, что: 1) застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования; 2) получивший денежное вознаграждение застрахованный относится к группе малого риска?

Решение:

1) Событие A – застрахованный получил денежное вознаграждение за период страхования. Гипотезы:

H₁ – застрахованный относится к I классу, ; .

H₂ – застрахованный относится к II классу, ; .

H₃ – застрахованный относится к III классу, ; .

По формуле полной вероятности: .

2) Найдем условную вероятность  того, что получивший денежное вознаграждение застрахованный относится к группе малого риска, по формуле Байеса: .

 

Формула Пуассона

    Формулу используют для приближенного вычисления вероятности  того, что событие A наступит ровно  раз в серии из  испытаний, в том случае, когда число  достаточно велико, а вероятность  события  достаточно мала ( ) полагают, что , где .

Пример

Предполагается, что 40% деревьев в лесопарковой зоне могут быть повреждены болезнью. Найти вероятность того, что из шести выбранных для проверки деревьев будут повреждены: а) ровно четыре; б) не более четырех.

Решение:

а) Очевидно, имеет место  формула Бернулли, где , , , , поэтому

.

б) Можно решать двумя способами:

1 способ:

= + + + + =

2 способ: .

Во втором случае вычисления проще, и это полезно учитывать при решении задач.

Пример

При пересадке саженцев голубой ели выживает 80% саженцев. Определить вероятность того, что из 100 пересаженных саженцев, выживет: 1) ровно 75; 2) не менее 75; 3) не более 75.

Решение:

Поскольку  велико, ,  не малы, применим приближенные формулы:

1) локальную теорему Лапласа , где  функция четная и . В нашем случае .

Тогда  (находим по таблице приложение 1)

.

2) интегральную теорему Лапласа:

Если вероятность наступления события  в каждом из  независимых испытаний постоянна и равна , то вероятность  того, что событие  в таких испытаниях наступит не менее  раз и не более  раз, вычисляется по формуле: ,

где , .

В приложении 2 даны значения этой функции для . При  функция .

В нашей задаче  и . Тогда

3) интегральную теорему Лапласа:

 и

Пример

В питомнике выращивали 1000 саженцев липы. Вероятность того, что среди них окажутся саженцы другой породы, равна 0,003. Найти вероятность того, что таких саженцев окажется: 1) ровно два; 2) хотя бы один.

Решение:

Число  велико, вероятность  мала и рассматриваемые события независимы, поэтому имеет место формула Пуассона , где , то есть .

1) Найдем вероятность того, что среди 1000 ровно два саженца другой породы: .

2) Событие  – хотя бы один саженец другой породы. Противоположным событием к событию «хотя бы один» является событие «ни одного», следовательно,

.

 

Величины

Определение 1. Случайной называют величину, которая в результате проведения опыта принимает одно и только одно возможное значение, неизвестное до начала опыта.

Будем обозначать случайную величину заглавными буквами  а её возможные значения маленькими буквами      

Среди случайных величин, с которыми приходится встречаться на практике, можно выделить два основных типа: дискретные случайные величины (ДСВ) и непрерывные случайные величины (НСВ).

 

Пример

Для озеленения бульвара решено посадить низкорослый кустарник и лиственную породу деревьев. В питомнике имеется 4 наименования кустарников и 5 наименований лиственных деревьев. Сколько можно составить различных комбинаций «кустарник-дерево»?

Решение:

Первым мы можем посадить один кустарник, причем любой из имеющихся 4 и вторым мы сажаем одно дерево, тоже любое из 5. Таким образом, различных комбинаций «кустарник–дерево» мы можем составить  способами.

Сочетания

Сочетаниями из n элементов по k элементам называются группы, составленные из k элементов, взятых из n элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом (порядок расположения элементов не имеет значения). Число сочетаний  подсчитывается по формуле

, причем

Например,

 

Классификация событий

Пусть выполнен некоторый комплекс условий  при проведении опыта (испытания). Мы интересуемся обычно, произойдет ли при этом некоторое событие (исход опыта). По отношению к комплексу условий  событие может быть либо достоверным, либо невозможным, либо случайным. Договоримся обозначать события заглавными латинскими буквами , , … .

    Определение 1. Событие  называется достоверным, если при выполнении комплекса условий  оно обязательно произойдёт.

    Определение 2. Событие  называется невозможным, если при выполнении комплекса условий  оно заведомо не произойдёт.

    Определение 3. Событие  называется случайным, если при выполнении комплекса условий  оно может произойти, а может и не произойти.

    Определение 4. События A и B называются равными ( A = B ), если при наступлении события  наступает событие  и, наоборот, при наступлении события  наступает событие .

    Определение 5. События  и  называются несовместными, если при выполнении комплекса условий  появление одного из них исключает появление другого. Если же появление одного не исключает появление другого, то события  и  называются совместными.

Классическое определение вероятности события

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа  исходов испытания, благоприятствующих появлению события А к числу  всех возможных элементарных исходов испытания.

Классическая вероятность события А определяется формулой:

, где , .

    Здесь под исходом испытания, благоприятствующим появлению события А, понимается такой исход, появление которого влечет за собой появление события А.

Свойства вероятности:

1) вероятность случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей (0 £ P(A) £ 1);

2) вероятность достоверного события равна единице;

3) вероятность невозможного события равна нулю.

Пример

Садовод купил саженцы двух сортов черной смородины: 5 саженцев сорта Селеченская и 7 – сорта Вологда. Какова вероятность того, что выбранный наудачу саженец окажется сорта Вологда.

Решение:

Событие А (то что требуется в вопросе) – выбранный наудачу саженец оказался сорта Вологда.

Общее число элементарных исходов n = 5 + 7 = 12 (всего саженцев).

Число исходов, благоприятствующих появлению данного события, m = 7 (саженцев сорта Вологда).

Таким образом, вероятность того, что выбранный наудачу саженец окажется сорта Вологда, равна

Пример

Садовод купил саженцы двух сортов черной смородины: 5 саженцев сорта Селеченская и 7 – сорта Вологда. Найти вероятность того, что садовод выбирая наудачу посадит 2 саженца сорта Селеченская и 3 саженца сорта Вологда.

Решение:

Опыт заключается в отборе 5 саженцев. В качестве элементарных событий рассмотрим всевозможные наборы. Поскольку отбор производится случайным образом, все такие наборы равновозможные и применимо классическое определение .

Общее число таких элементарных исходов равно:  (отбирается 5 саженцев из 12 и порядок несущественен). Число исходов, благоприятствующих искомому событию A, равно  (воспользовались правилом произведения и тем, что отбирается 2 саженца из 5 саженцев сорта Селеченская и 3 саженца из 7 саженцев сорта Вологда). Отсюда искомая вероятность равна:

.

 

123Следующая ⇒

Поделиться: