Теорема Лапласа. Формула Пуассона

Пусть имеется комплекс условий , в результате которого может появиться некоторое событие A, вероятность которого равна . Рассмотрим новый комплекс условий , который заключается в том, что исходный комплекс условий  повторяется  раз. В такой ситуации говорят, что имеется схема повторных испытаний Бернулли. Рассмотрим событие , которое заключается в том, что при осуществлении комплекса условий , то есть в результате  испытаний, событие  появится ровно  раз. Положим  и найдем формулы для вычисления вероятности .       

 

    Формула Бернулли. Вероятность того, что в  независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна , где .

Вероятность того, что в  независимых испытаниях событие наступит:

1) менее  раз ;

2) более  раз ;

3) не менее  раз ;

4) не более  раз .

 

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Вероятность того, что в  независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p < 1), событие наступит ровно  раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше )

,

Обычно формулу Муавра-Лапласа применяют при  и  (число испытаний велико, а значения вероятности не слишком близки к нулю или к единице). В таблице 1 даны значения функции Гаусса  для некоторых значений . Для отрицательных значений  числовые значения функции Гаусса находятся из условия ее четности: .

Интегральнаятеорема Муавра-Лапласа. Вероятность того, что в  независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p < 1), событие наступит не менее  раз и не более , приближенно равна (тем точнее, чем больше )

.

Здесь  – функция Лапласа,  и .

Таблица функции Лапласа для положительных значений х ( ) приведена в приложении 2. Для значений  полагают . Для отрицательных значений х учитывают, что функция Лапласа нечетная .

Формула Пуассона

    Формулу используют для приближенного вычисления вероятности  того, что событие A наступит ровно  раз в серии из  испытаний, в том случае, когда число  достаточно велико, а вероятность  события  достаточно мала ( ) полагают, что , где .

Пример

Предполагается, что 40% деревьев в лесопарковой зоне могут быть повреждены болезнью. Найти вероятность того, что из шести выбранных для проверки деревьев будут повреждены: а) ровно четыре; б) не более четырех.

Решение:

а) Очевидно, имеет место  формула Бернулли, где , , , , поэтому

.

б) Можно решать двумя способами:

1 способ:

= + + + + =

2 способ: .

Во втором случае вычисления проще, и это полезно учитывать при решении задач.

Пример

При пересадке саженцев голубой ели выживает 80% саженцев. Определить вероятность того, что из 100 пересаженных саженцев, выживет: 1) ровно 75; 2) не менее 75; 3) не более 75.

Решение:

Поскольку  велико, ,  не малы, применим приближенные формулы:

1) локальную теорему Лапласа , где  функция четная и . В нашем случае .

Тогда  (находим по таблице приложение 1)

.

2) интегральную теорему Лапласа:

Если вероятность наступления события  в каждом из  независимых испытаний постоянна и равна , то вероятность  того, что событие  в таких испытаниях наступит не менее  раз и не более  раз, вычисляется по формуле: ,

где , .

В приложении 2 даны значения этой функции для . При  функция .

В нашей задаче  и . Тогда

3) интегральную теорему Лапласа:

 и

Пример

В питомнике выращивали 1000 саженцев липы. Вероятность того, что среди них окажутся саженцы другой породы, равна 0,003. Найти вероятность того, что таких саженцев окажется: 1) ровно два; 2) хотя бы один.

Решение:

Число  велико, вероятность  мала и рассматриваемые события независимы, поэтому имеет место формула Пуассона , где , то есть .

1) Найдем вероятность того, что среди 1000 ровно два саженца другой породы: .

2) Событие  – хотя бы один саженец другой породы. Противоположным событием к событию «хотя бы один» является событие «ни одного», следовательно,

.

 

⇐ Предыдущая123

Поделиться: