Синтез систем с неполной информацией   о воздействиях

 

Ранее, при динамическом синтезе систем РА полагали, что характеристики управляющих воздействий и помех известны, т.е. заданы их математические ожидания и спектральные плотности случайных составляющих.

На практике это не всегда так. Характеристики воздействий обычно известны не полностью. Кроме того, они изменяются в процессе работы системы, поэтому показатели качества работы могут оказаться ниже расчетных.

Построение систем РА с использованием адаптивных систем позволяет исключить зависимость показателей качества работы от изменения характеристик воздействия и нестабильности параметров устройств. На практике используют так называемые робастные системы (от английского слова robust – грубый). Техническая реализация таких систем РА, по сравнению с адаптивными системами, намного проще, что является их существенным преимуществом.

Синтез робастных систем может быть выполнен различными методами. Применительно к задачам синтеза систем РА целесообразно использовать метод, основанный на известных средних квадратических значениях управляющего воздействия и его производных. Данный метод не связан с конкретной формой спектральной плотности управляющего сигнала, поэтому ее изменение не приводит к несоблюдению точности работы системы РА.

Рассматриваемый метод синтеза систем РА сводится к выбору частотной характеристики ошибки из условия непревышения средней квадратической ошибкой заданного значения. После этого можно сформулировать требования к частотной характеристике разомкнутой системы.

Дисперсия ошибки относительно управляющего воздействия в соответствии с выражением (6.22) определяется как

,                 (7.43)

где W_е(j w) – частотная характеристика ошибки; D_e0 – допустимое значение дисперсии ошибки.

Представим квадрат АЧХ ошибки в следующем виде:

.            (7.44)

Тогда дисперсия ошибки (7.43)

,                (7.45)

где D₀ – дисперсия управляющего воздействия; D₁ – дисперсии производных; с_i – постоянные коэффициенты.

Задача синтеза системы состоит в выборе характеристики W_е(j w), удовлетворяющей условию (7.43). Если известна только дисперсия управляющего воздействия D₀, то из выражения (7.45) следует, что с₀ = D_e0/D₀ и частотная характеристика ошибки проектируемой системы должна удовлетворять условию

,                 (7.46)

где |W_е0(j w)| – АЧХ ошибки, составленная по априорным сведениям об управляющем воздействии.

Таким образом, ошибка не должна превышать значения (7.46) в диапазоне частот, в котором возможны спектральные составляющие управляющего воздействия.

В том случае, если известна только дисперсия первой производной управляющего воздействия D₁, то с₁ = =D_е0/D₁ и частотная характеристика ошибки проектируемой системы должна удовлетворять условию

.             (7.47)

Если известна только дисперсия второй производной управляющего воздействия, то

.          (7.48)

От ограничений, накладываемых на АЧХ ошибки, можно перейти к требованиям, которым должна удовлетворять частотная характеристика разомкнутой проектируемой системы. Из выражений (4.30) и (4.34) следует, что

.                            (7.49)

Так как на частотах меньше частоты среза |W_з(j w)| » 1, то условия (7.46) – (7.48) выполняются, если

,                        (7.50)

а ФЧХ разомкнутой системы может быть произвольной.

На частотах больше частоты среза |W_з(j w)| » |W_р(j w)| и поэтому вид частотной характеристики разомкнутой системы не влияет на точность системы РА и может быть произвольным, но при этом требования к запасам устойчивости должны соблюдаться.

Выполнение условия (7.50) гарантирует, что динамическая ошибка будет не выше заданной.

Очевидно, что выражениям (7.46) и (7.50) (рис. 7.9) соответствует прямая линия, параллельная оси частот и отстоящая от нее на 20 lg s₀/ s _e0, условиям (7.47) и (7.50) – прямая с наклоном – 20 дБ/дек, которая пересекает ось абсцисс на частоте, равной s₁/ s _e0, а условиям (7.48) и (7.50) – прямая с наклоном – 40 дБ/дек, которая начинается на оси абсцисс с частоты . Эти прямые образуют запретную область, в которой не должна располагаться низкочастотная часть логарифмической АЧХ разомкнутой проектируемой системы РА. Частоты, соответствующие точкам излома запретной области, вычисляют по формулам

; ; .       (7.51)

Рис. 7.9 - ЛЧХ запретной области относительно динамической ошибки

Рассмотрим ограничения на вид АЧХ разомкнутой проектируемой системы из-за действия помехи, спектральная плотность которой известна и постоянна в пределах полосы пропускания системы РА (помеха в виде белого шума). Тогда дисперсия ошибки из-за действия помехи определяется в виде

,                              (7.52)

где f_эф – эффективная полоса пропускания системы;

N_п – уровень спектральной плотности белого шума помехи.

Задача синтеза системы РА заключается в том, чтобы суммарная средняя квадратическая ошибка системы не превышала допустимого значения:

,                      (7.53)

где s_еп – средняя квадратическая ошибка из-за действия помехи.

Условие (7.53) накладывает противоречивые требования к проектируемой системе РА. С одной стороны, средняя квадратическая ошибка относительно сигнала должна быть меньше s_е0, так как в противном случае не будет выполнено условие (7.53), а с другой – не должна превышать этого значения и составляющая ошибки s_еп. Поэтому эффективная полоса пропускания проектируемой системы определяется неравенством

.                                  (7.54)

Таким образом, при синтезе системы РА необходимо обеспечить одновременное удовлетворение условий (7.50) и (7.54). Если эти условия выполнить одновременно невозможно, то при заданном значении s_е0 решения задачи проектирования робастной системы РА не существует.

Определим, какие ограничения накладывает условие (7.54) на АЧХ разомкнутой системы. С этой целью рассмотрим типовую логарифмическую АЧХ, низкочастотные участки которой содержат асимптоты с наклонами –20, –40 или –60 дБ/дек. При этом, всегда в области частоты среза наклон логарифмической АЧХ равен –20 дБ/дек, так как только в этом случае можно обеспечить необходимый запас устойчивости по фазе.

В [8] показано, что для систем РА с такими наклонами логарифмической АЧХ разомкнутой системы эффективная полоса пропускания системы с достаточной для практики точностью определяется по формуле

,                               (7.55)

где w₀ – частота, соответствующая точке пресечения асимптоты логарифмической АЧХ с наклоном –20 дБ/дек с осью абсцисс; l – коэффициент, равный 1, 2 или 3, в зависимости от наклона асимптоты, для которой определена частота w₀. Согласно (7.54) и (7.55),

.                                 (7.56)

Это выражение определяет крайнее допустимое положение логарифмической АЧХ разомкнутой проектируемой системы РА, т.е. границу запретной области, в которой не должна располагаться логарифмическая АЧХ разомкнутой системы. Построение запретной области осуществляется следующим образом. На оси абсцисс (рис. 7.10) через точку  проводят прямую с наклоном –20 дБ/дек, а через точки w_о/2 и w_о/3 прямые с наклонами –40 и –60 дБ/дек. В результате формируется запретная область, заштрихованная на рис. 7.10, а.

Требования к точности работы проектируемой системы РА относительно возмущающего воздействия выполняются, если ее логарифмическая АЧХ не заходит в запретную область.

 

Рис. 7.10 - ЛЧХ запретной области относительно возмущающего

воздействия (а) и ЛЧХ общей запретной области (б)

На рис. 7.10, б показаны две запретные области, определенные ранее. Для обеспечения в проектируемой системе РА заданной точности необходимо, чтобы выбранная логарифмическая АЧХ разомкнутой системы не располагалась в запретных областях и удовлетворяла требованиям к запасам устойчивости. На рис. 7.10, б такая характеристика показана пунктиром. Если запретные области на рис. 7.10, б перекрываются, то синтез робастной системы при заданных точностных характеристиках невозможен. Для гарантированного получения заданной точности должен быть обеспечен некоторый интервал между левой и правой запретными областями. Минимальная ширина этого интервала должна составлять около четверти декады.

 

Комплексные системы

 

Системы РА, которые формируются не только на базе радиотехнических устройств, но и на базе устройств других типов (например, гироскопических приборов, инерциальных систем и др.), называют комплексными. Подобные системы широко применяются при навигации для определения координат и параметров движения различных объектов (например, для измерения скорости летательного аппарата и угла сноса относительно расчетной траектории используется гироскопическая система с доплеровским измерителем). Для измерения высоты полета применяются барометрический и радиолокационный высотомеры. Для комплексной системы РА характерно наличие нескольких параллельно работающих каналов с различными датчиками измерения одной и той же информации. На рис. 7.11 показана типовая структурная схема комплексной измерительной системы, в которой входной сигнал  измеряется разнотипными датчиками Д₁, Д₂, ..., Д_n с передаточными функциями W_дi(p), где i=l, 2, ..., n; воздействия V_i(t) учитывают погрешности датчиков. Комплексирование системы заключается в вычислении оценки x(t) с точностью, превышающей достижимую при раздельном использовании датчиков. Из схемы (рис. 7.11) следует, что преобразование Лапласа для оценки входного сигнала будет иметь вид

 

Рис. 7.11 - Типовая структурная схема комплексной измерительной

системы РА

 

.    (7.57)

Преобразование Лапласа для сигнала ошибки имеет вид

. (7.58)

Из последнего выражения следует, что если передаточные функции каналов системы выбирают из условия

,                         (7.59)

то выражения (7.57) и (7.58) принимают вид

;

.            (7.60)

Таким образом, ошибка комплексной системы не зависит от характеристик измеряемого сигнала и определяется только погрешностями датчиков.

Равенство (7.59) называют условием инвариантности, а систему, в которой удается его реализовать, – инвариантной относительно ошибки измеряемого сигнала.

Условие инвариантности накладывает ограничения только на суммарную передаточную функцию, но не на передаточные функции отдельных каналов, поэтому при синтезе комплексной системы остается некоторая свобода выбора передаточных функций отдельных каналов, что позволит уменьшить ошибку из-за погрешностей датчиков.

Необходимо отметить, что условие инвариантности (7.59) в динамических системах удается выполнить лишь приближенно, поэтому в реальной системе динамическая ошибка не равна нулю (она может быть значительно уменьшена по сравнению с ошибками измерения при использовании одного канала измерения).

Следует также иметь в виду, что рассмотренная система, которую принято называть многоканальной схемой фильтрации, чувствительна к отклонению параметров устройств от расчетных значений, поэтому при проектировании таких систем необходимо обеспечить стабильность параметров ее звеньев.

Рассмотрим еще один класс комплексных систем РА, основой которых является обычная система РА с обратной связью, а сигнал с нерадиотехнического датчика, с помощью которого измеряется управляющее воздействие x(t), вводится в замкнутый контур после дискриминатора (рис. 7.12). В таких системах удается значительно повысить точность системы РА относительно управляющего воздействия без ухудшения средней квадратической ошибки из-за действия помех.

 

 

Рис. 7.12 - Структурная схема комплексной системы РА

 

Из рис. 7.12 следует, что преобразование Лапласа для выходного сигнала будет иметь вид

; (7.61)

для ошибки системы

. (7.62)

Если выполняется условие инвариантности

,                             (7.63)

то выражения (7.61) и (7.62) принимают вид

; ,     (7.64)

где W_з(p) – передаточная функция замкнутого контура системы РА.

Из выражений (7.64) следует, что ошибка относительно управляющего воздействия равна нулю или инвариантна относительно этого сигнала. Путем выбора цепи сигнала ошибки системы с передаточной функцией W₁(p) нетрудно сформировать замкнутый контур системы с учетом требуемой фильтрации помех.

Датчик, измеряющий управляющее воздействие, и последовательно включенный с ним фильтр с передаточной функцией W_к(р) образуют цепь компенсации комплексной системы РА. Эта цепь не формирует замкнутого контура, а следовательно, не влияет на устойчивость комплексной системы.

При реализации условия инвариантности (7.63) в реальных системах степень полинома числителя передаточных функций устройств всегда меньше степени полинома их знаменателя, поэтому функция (7.63) не удовлетворяет условию физической реализуемости и в данной системе РА инвариантность ошибки относительно управляющего воздействия недостижима. Однако в подобных системах можно существенно повысить точность относительно управляющего воздействия при необходимой фильтрации помех, т.е. сделать системы широкополосными относительно управляющего сигнала и узкополосными относительно помехи.

Синтез комплексных систем РА можно выполнить с учетом следующих условий: 1) обеспечения нужных частотных характеристик системы; 2) повышения ее динамической точности работы. Проанализируем метод, который позволит повысить порядок астатизма в комплексной системе относительно управляющего воздействия по сравнению с порядком астатизма замкнутого контура. Передаточная функция ошибки системы, как следует из выражения (7.62), имеет вид

,  (7.65)

где W_e(p) – передаточная функция ошибки замкнутого контура.

Разложим передаточную функцию ошибки комплексной системы (7.65) в степенной ряд:

.     (7.66)

Аналогичным образом представим и второй сомножитель выражения (7.65):

. (7.67)

Тогда передаточная функция ошибки комплексной системы с учетом выражения (6.8) примет вид

,          (7.68)

где C_i, i = 0, 1, …, k – коэффициенты ошибок передаточной функции ошибки замкнутого контура системы.

Приравняв в последнем выражении слагаемые при одинаковых степенях р, найдем коэффициенты ошибок комплексной системы:

                 (7.69)

Из формул (7.69) следует, что необходимый порядок астатизма обеспечивается, если соответствующее число коэффициентов D_i (весовой коэффициент) равно нулю. Из этих условий и определяется выражение для передаточной функции компенсации комплексной системы.

Подставим выражения

;              (7.70)

              (7.71)

в формулу (7.67). Тогда для получения астатизма первого порядка необходимо, чтобы передаточная функция цепи компенсации была равна

                               (7.72)

Коэффициенты этой функции определим из условия

.                       (7.73)

Для получения астатизма второго порядка нужно, чтобы передаточная функция цепи компенсации была равна

                      (7.74)

Коэффициенты функции найдем из условия (7.73) при

.            (7.75)

При последовательном определении коэффициентов передаточной функции (7.71) одни коэффициенты, например t _i, выбирают из условия обеспечения требуемых характеристик комплексной системы, а коэффициенты a _i вычисляют согласно равенству нулю соответствующих коэффициентов D_i.

Коэффициенты t _i передаточной функции цепи компенсации определяют инерционность цепи компенсации. Для выяснения их влияния на частотные характеристики представим передаточную функцию комплексной системы в виде

.                  (7.76)

Следовательно, наличие цепи компенсации в комплексной системе эквивалентно последовательному включению с замкнутым контуром корректирующего устройства с передаточной функцией

.                         (7.77)

Из выражения (7.77) следует, что чем меньше инерционность цепи компенсации, тем больший опережающий эффект создается корректирующим устройством. При этом полоса пропускания комплексной системы РА относительно управляющего воздействия увеличивается.

Пример. Найти передаточную функцию цепи компенсации для системы автоматического сопровождения цели РЛС, рассмотренной в примере 7.1, если порядок астатизма в системе относительного воздействия, возникающего из-за колебаний летательного аппарата, равен двум.

Решение. Систему сформируем по схеме (рис. 7.12), в которой передаточные функции определяются выражениями

;

где ; ; ; ;

; .

Воздействие, возникающее из-за колебаний летательного аппарата, измеряется гироскопическим датчиком угловой скорости, сигнал с которого является входным сигналом цепи компенсации.

Замкнутый контур рассматриваемой системы имеет первый порядок астатизма, поэтому для получения в комплексной системе астатизма второго порядка необходимо, как это следует из формул (7.69), чтобы коэффициент Д_о в разложении (7.67) был равен нулю. Для этого нужно, чтобы передаточная функция цепи компенсации была реализована в соответствии с (7.74). Параметры цепи вычисляются из условия , . Из последнего выражения находим, что . Пусть t₁=0,01 с для того, чтобы полоса пропускания системы относительно воздействия, возникающего из-за колебаний летательного аппарата, была больше полосы пропускания замкнутого контура. При расчетных значениях параметров системы автоматического сопровождения, найденными в примере 7.1, передаточная функция цепи компенсации

.

Данная передаточная функция может быть реализована RС-цепью и усилителем с коэффициентом усиления, равным 11. Дальнейшее уменьшение коэффициента T₁ с целью большего расширения полосы пропускания нецелесообразно, так как приводит к увеличению коэффициента усиления в цепи компенсации.

 

Рис. 7.13 - АЧХ комплексной системы РА

 

На рис. 7.13 показаны АЧХ замкнутого контура |W_з(j w)| и комплексной системы |W_зк(j w)|, из которых видно, что введение цепи компенсации расширило полосу пропускания относительно воздействия, обусловленного колебаниями летательного аппарата, до 37 с^–1.

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Теория автоматического управления / Под ред. А.В. Нетушила. Учебник для вузов. Изд. 2-е, доп. и перераб. – М.: Высшая школа, 1976.

2. Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика. Учеб. для вузов по спец. «Радиотехника». – М.: Высш. шк., 1990. – 335 с.

3. Первачев С.В., Валев А.А., Чиликина В.М. Статистическая динамика радиотехнических следящих систем. – М.: Сов. Радио, 1973. – 488 с.

4. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы (элементы теории, методы расчета и справочный материал). Учебное пособие для вузов. – М.: Машиностроение, 1977. – 464 с.

5. Проектирование радиоприемных устройств / Под ред. А.П. Сиверса. Учебное пособие для вузов. – М.: Сов. Радио, 1976. – 488 с.

6. Жаркой А.Г., Туев В.И. Радиоавтоматика. Руководство к лабораторным работам для студентов специальности 2301. Часть 2. - Томск: Ротапринт ТИАСУРа, 1988. – 27 с.

7. Коновалов Г.Ф., Коноваленко О.В. Системы автоматического управления с электромагнитными порошковыми муфтами. – М.: Машиностроение, 1976.

8. Радиоавтоматика / Под ред. В.А. Бесекерского. – М.: Высшая школа, 1985.

 

⇐ Предыдущая19202122232425262728

Поделиться: