Числовые характеристики случайных величин и векторов

Числовые характеристики случайных величин и векторов

В данном разделе определяются основные числовые характеристики случайных величин и векторов – математическое ожидание , дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции и т.д. 

Интеграл Лебега – математическое ожидание

Пусть  основное вероятностное пространство и случайная величина. Наша цель – определить интеграл Лебега от случайной величины

который в теории вероятностей называется математическое ожидание (среднее значение) случайной величины

Вначале определим этот интеграл для простых случайных величин.

Если случайная величина простая

то интегал Лебега от простой случайной величины определяется так

В частности

Ясно, что, таким образом определенный, интеграл обладает следующими очевидными свойствами

Свойства интеграла Лебега (математического ожидания)

1.

2.

3.

4.

5.
для независимых случайных величин

Доказательство последнего свойства следует из того, что для независимых случайных величин

Пусть теперь случайная величина неотрицательна. Тогда для нее существует последовательность простых случайных величин монотонно приближающая ее снизу.

Интеграл Лебега определим как предел интегралов от простых случайных величин.

Заметим, что так как последовательность интегралов от монотонно возрастающих функций тоже монотонно возрастает, у этой последовательности обязан быть предел, пусть даже равный бесконечности. Можно показать, что этот предел не зависит от последовательности приближающих простых случайных величин, т.е. определение корректно.

 

Для произвольной случайной величины положим

если хотя бы один из этих интегралов конечен.

Скажем, что у случайной величины конечное математическое ожидание, если конечны оба этих интеграла, или что то же самое, конечен интеграл

Свойства интегралов от простых случайных величин переносятся на случай произвольных случайных величин без изменений.

 Заметим, что свойство нормированности вероятности  при построении интеграла не использовалось. Таким образом можно строить интегралы по произвольным мерам.

Неравенства

Неравенство Маркова

Доказательство следует из очевидного неравенства

и свойств 1) и 3) математического ожидания.

Моменты

Величина называется к-тый момент (к-тый начальный момент) случайной величины.Величина называется к-тый абсолютный момент случайной величины. Величина называется к-тый центральный момент случайной величины.Ясно, что математическое ожидание это первый момент, а дисперсия второй центральный момент. Моменты часто используются в качестве дополнительных характеристик случайных величин.

Независимость

В теории вероятностей два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные величины называют независимыми, если значение одной из них не влияет на вероятность значений другой.

Независимые события

Будем считать, что дано фиксированное вероятностное пространство .

Определение 1. Два события независимы, если

Вероятность появления события A не меняет вероятности события B.

Замечание 1. В том случае, если вероятность одного события, скажем , ненулевая, то есть , определение независимости эквивалентно:

то есть условная вероятность события при условии равна безусловной вероятности события .

Определение 2. Пусть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий , где — произвольное индексное множество. Тогда эти события попарно независимы, если любые два события из этого семейства независимы, то есть

Определение 3. Пусть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий . Тогда эти события совместно независимы, если для любого конечного набора этих событий верно:

Замечание 2. Совместная независимость, очевидно, влечет попарную независимость. Обратное, вообще говоря, неверно.

Пример 1. Пусть брошены три уравновешенные монеты. Определим события следующим образом:

• : монеты 1 и 2 упали одной и той же стороной;
• : монеты 2 и 3 упали одной и той же стороной;
• : монеты 1 и 3 упали одной и той же стороной;

Легко проверить, что любые два события из этого набора независимы. Все же три в совокупности зависимы, ибо зная, например, что события произошли, мы знаем точно, что также произошло.

Независимые сигма-алгебры

Определение 4. Пусть две сигма-алгебры на одном и том же вероятностном пространстве. Они называются независимыми, если любые их представители независимы между собой, то есть:

.

Если вместо двух имеется целое семейство (возможно бесконечное) сигма-алгебр, то для него определяется попарная и совместная независимость очевидным образом.

Определения

Определение 5. Пусть дано семейство случайных величин , так что . Тогда эти случайные величины попарно независимы, если попарно независимы порождённые ими сигма-алгебры . Случайные величины независимы в совокупности, если таковы порождённые ими сигма-алгебры.

Определение, данное выше, эквивалентно любому другому из нижеперечисленных. Две случайные величины независимы тогда и только тогда, когда:

• Для любых :

• Для любых борелевских функций случайные величины независимы.
• Для любых ограниченных борелевских функций :

Формула полной вероятности

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Формулировка

Пусть дано вероятностное пространство , и полная группа попарно несовместных событий , таких что . Пусть — интересующее нас событие. Тогда

.

Замечание

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть — случайная величина, имеющаяраспределение

.

Тогда

,

т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

 

Числовые характеристики случайных величин и векторов

В данном разделе определяются основные числовые характеристики случайных величин и векторов – математическое ожидание , дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции и т.д. 

12Следующая ⇒

Поделиться: