Однофакторный дисперсионный анализ

Задачей дисперсионного анализа является изучение влияния одного или нескольких факторов на рассматриваемый признак.

Однофакторный дисперсионный анализ используется в тех случаях, когда есть в распоряжении три или более независимые выборки, полученные из одной генеральной совокупности путем изменения какого-либо независимого фактора, для которого по каким-либо причинам нет количественных измерений.

Для этих выборок предполагают, что они имеют разные выборочные средние и одинаковые выборочные дисперсии. Поэтому необходимо ответить на вопрос, оказал ли этот фактор существенное влияние на разброс выборочных средних или разброс является следствием случайностей, вызванных небольшими объемами выборок. Другими словами если выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, то разброс данных между выборками (между группами) должен быть не больше, чем разброс данных внутри этих выборок (внутри групп).

Пусть – i – элемент ( ) -выборки ( ), где m – число выборок, n_k – число данных в -выборке. Тогда – выборочное среднее -выборки определяется по формуле

.

Общее среднее вычисляется по формуле

 

, где

 

Основное тождество дисперсионного анализа имеет следующий вид:

,

где Q₁ – сумма квадратов отклонений выборочных средних от общего среднего (сумма квадратов отклонений между группами); Q₂ – сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочной средней (сумма квадратов отклонений внутри групп); Q – общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общего среднего .

Расчет этих сумм квадратов отклонений осуществляется по следующим формулам:

 

В качестве критерия необходимо воспользоваться критерием Фишера:

 

.

 

Если расчетное значение критерия Фишера будет меньше, чем табличное значение – нет оснований считать, что независимый фактор оказывает влияние на разброс средних значений, в противном случае, независимый фактор оказывает существенное влияние на разброс средних значений (λ– уровень значимости, уровень риска, обычно для экономических задач λ=0,05).

Недостаток однофакторного анализа: невозможно выделить те выборки, которые отличаются от других. Для этой цели необходимо использовать метод Шеффе или проводить парные сравнения выборок.

Пример 3.1. Три группы продавцов продавали штучный товар, расфасованный в различные упаковки. После окончания срока распродажи был произведен тестовый контроль над случайно отобранными продавцами из каждой группы. Были получены следующие результаты (табл. 3.1).

 

Т а б л и ц а 3.1

 

Номер группы	Число продаж, которые сделали продавцы,	Общее количество продаж	Количество продавцов, nk
1	1 3 2 1 0 2 1	10	7
2	2 3 2 1 4 - -	12	5
3	4 5 3 - - - -	12	3

 

Если число выборок m=3, число продаж во всех выборках n=15, то:

 

Если

,

,

тогда

Q=104–15·2,226 ²=26,93 ,

Q₁=91,074–15·2,226 ²=14,01,

Q₂=Q–Q₁=26,93–14,01=12,92 .

Вычислим критерий Фишера

Сравнивая это значение с табличным F > F_0,05;2;12 =3,885 (приложение 1), делаем вывод, что упаковка (особенно красочная!) влияет на количество распродаж.

Независимость

В теории вероятностей два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные величины называют независимыми, если значение одной из них не влияет на вероятность значений другой.

Независимые события

Будем считать, что дано фиксированное вероятностное пространство .

Определение 1. Два события независимы, если

Вероятность появления события A не меняет вероятности события B.

Замечание 1. В том случае, если вероятность одного события, скажем , ненулевая, то есть , определение независимости эквивалентно:

то есть условная вероятность события при условии равна безусловной вероятности события .

Определение 2. Пусть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий , где — произвольное индексное множество. Тогда эти события попарно независимы, если любые два события из этого семейства независимы, то есть

Определение 3. Пусть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий . Тогда эти события совместно независимы, если для любого конечного набора этих событий верно:

Замечание 2. Совместная независимость, очевидно, влечет попарную независимость. Обратное, вообще говоря, неверно.

Пример 1. Пусть брошены три уравновешенные монеты. Определим события следующим образом:

• : монеты 1 и 2 упали одной и той же стороной;
• : монеты 2 и 3 упали одной и той же стороной;
• : монеты 1 и 3 упали одной и той же стороной;

Легко проверить, что любые два события из этого набора независимы. Все же три в совокупности зависимы, ибо зная, например, что события произошли, мы знаем точно, что также произошло.

⇐ Предыдущая12

Поделиться: