Интерференция плоских монохроматических волн

 

На простом примере плоских монохроматических волн обсудим вопрос об условиях когерентности волн. Строго говоря, монохроматические волны — идеализация и реальные источники (даже очень хорошие лазеры, работающие в так называемом одномодовом режиме) не дают монохроматического света. Однако во многих практических задачах условие монохроматичности света выполняется достаточно хорошо и, в частности, пригодно для определения положения максимумов и минимумов интерференционной картины.

Итак, запишем уравнения волн в следующем виде:

             (2.2)

где w₁ и w₂ — частоты;  и — волновые вектора волн; j₁ и j₂ — фазы соответствующих волн в момент t в точке наблюдения, заданной радиусом-вектором ; a₁ и a₂ — произвольные постоянные части фаз волн.

Считая, что направления колебаний векторов  и  совпадают, запишем интерференционный член в форме:

          (2.3)

(при получении (2.3) использовалась известная тригонометрическая формула для произведения косинусов).

Как будет показано ниже, основной вклад в результирующую интенсивность I дает первое слагаемое в (2.3). Найдем среднее значение:

. (2.4)

В (2.4) введены обозначения: Dw = w₂ - w₁ — частотная расстройка волн; .

Как следует из (2.4), при изменении радиуса-вектора  точки наблюдения изменяется функция cos d, а величина, стоящая перед ней, остается при этом неизменной. Модуль этой величины, представляющий амплитуду колебаний,

                                   .                              (2.5)

Параметр g может принимать значения от нуля до единицы и называется степенью когерентности волн. Зависимость g от безразмерного аргумента  представлена на рис.2.1.

 

 

Рис.2.1

 

Из рисунка видно, что своего максимального значения, равного единице, параметр g достигает при = 0 и за счет увеличения знаменателя в (2.5) достаточно быстро убывает с ростом аргумента. По этой причине практический интерес представляет область в интервале

                                    .                               (2.6)

Аналогичным образом находится среднее по времени значение для косинуса суммы фаз складываемых волн (второе слагаемое в (2.3)). В результате возникает выражение, имеющее тот же вид, что и (2.4), с заменой  частотной расстройки Dw на сумму частот .

Оценим по порядку величины амплитуду при осциллирующем cos d, положив для видимого света c^–1 и приняв в качестве характерного времени срабатывания фотоэлектрического прибора . Выбранные типичные параметры дают оценку

,

которая существенно меньше g.

Таким образом, пренебрегая в (2.3) вторым слагаемым, получим окончательное выражение для результирующей интенсивности в области перекрытия волн:

                          I = I₁ + I₂ + 2 g cos d.                     (2.7)

Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим простейший случай двух монохроматических волн с совпадающими частотами ( ) и постоянными частями фаз ( ). Из (2.7) получим

                         I = I₁ + I₂ + 2 ,                    (2.8)

где посредством  обозначена разность волновых векторов: .

Как следует из (2.8), интенсивность зависит от положения точки наблюдения, а поверхность равных интенсивностей дается уравнением . Эти поверхности представляют собой плоскости, перпендикулярные вектору  (рис.2.2).

Интенсивность максимальна там, где cos d принимает значение +1, и равна

                               I_max = .                          (2.9)

 

Рис.2.2

 

Соответственно, в тех точках, где cos d = -1, интенсивность минимальна и

                               I_min = .                        (2.10)

Расстояние между соседними плоскостями максимальной (или минимальной) интенсивности определяется условием

                                       .                               (2.11)

Результаты (2.9) и (2.10) физически понятны, так как в первом случае складываемые поля в точках наблюдения оказываются в фазе, а во втором — в противофазе.

Модули волновых векторов  и  одинаковы и равны , так что , где a — угол между направлениями распространения интерферирующих волн (см. рис.2.2). Откуда для величины , называемой шириной интерференционной полосы, получим

                           .                   (2.12)

Последнее приближенное выражение в (2.12) справедливо, когда волны распространяются под малым углом друг к другу (a << 1). Если на пути волн поставить плоский экран, перпендикулярно биссектрисе угла (ось Ох на рис.2.2 след плоскости), на экране будут наблюдаться чередующиеся светлые и темные интерференционные полосы с расстоянием  между ними.

В частном и наиболее распространенном случае, когда интенсивности волн одинаковы (I₁ = I₂ = I ) формула (2.8) принимает вид

(2.13)

В соответствии с (2.13) освещенность экрана изменяется от максимального значения, равного учетверенному значению освещенности, создаваемой одной волной, до минимального значения, равного нулю.

 

Схема опыта Юнга

 

Пусть плоская монохроматическая световая волна падает по нормали на непрозрачный экран c двумя близко расположенными отверстиями (или щелями), расстояние между которыми d. За экраном с отверстиями параллельно ему расположен на расстоянии l экран наблюдения Э (рис.2.3).

 

 

Рис.2.3

 

Отверстия S₁ и S₂ в непрозрачном экране представляют собой источники двух когерентных синфазных волн, распространяющихся в направлении экрана Э. Форма отверстий определяет вид вторичных волн: так в случае точечных отверстий это будут сферические, а в случае узких щелей — цилиндрические волны. Если расстояние между экраном много больше d (l >> d), амплитуды обеих волн в точке наблюдения практически одинаковы, а, кроме того, в окрестности наблюдения малые участки волновых поверхностей волн могут считаться плоскими. Поэтому развитая в применении к плоским волнам теория в этом приближении полностью применима. Для понимания последующих вычислений сформулируем условия на четыре параметра задачи размерности длины: l, l, d, x. Будем считать, что:

а) l >> d и l >> x (отсюда следует, что интерференционная картина наблюдается при малых углах , т.е. вблизи начала координат);

б) l >> l (неравенство означает, что картина изучается в волновой зоне источников, в результате этого складываемые волны считаем плоскими и с одинаковой амплитудой).

Из условия  следует, что  практически параллелен оси х и зависимость интенсивности от координаты х точки наблюдения дается формулой (см. (2.8)):

                                                   (2.14)

Если a — угол, под которым из точки наблюдения видны источники S₁ и S₂, то в силу условия а):

.

Отсюда

                     (2.15)

Максимум интенсивности, равный I_max = 4I (напомним, что здесь I — интенсивность световой волны от одного отверстия), возникает для координат х точек экрана Э, для которых

                  ,          (2.16)

где m — любое целое число (m = 0, 1, 2, …), называемое порядком интерференции.

Между максимумом интенсивности располагаются минимумы, в которых I_min = 0.

Ширина интерференционной полосы отвечает изменению m на единицу:  и равна

                                        Dx = .                                 (2.17)

Выражение (2.16) имеет понятную физическую интерпретацию в терминах длины волны l. Как следует из рис.2.3,  и , где — разность хода волн от источников до точки наблюдения. Отсюда

                                     .                              (2.18)

Подставляя (2.18) в (2.16), получим

                , или .         (2.19)

Как следует из (2.19), максимумы интенсивности интерференционной картины наблюдаются в тех точках экрана Э, до которых разность хода волн равна целому числу длин волн l.

Из (2.15) в (2.16) нетрудно получить зависимость интенсивности картины от :

                             (2.20)

 

§ 4. Интерференция в случае квазимонохроматических волн.

Временная когерентность

 

Обратимся к анализу явления, возникающего при наложении двух квазимонохроматических волн. Имея в виду опыт Юнга, будем считать, что волны получены от одного источника и обладают одинаковым спектром. Полная интенсивность каждой из волн дается формулой

                                    ,                             (2.21)

где — спектральная плотность интенсивности волны. Из определения следует, что элементарная интенсивность монохроматических компонент, частоты которых лежат в интервале от w до , равна . При наложении этих компонент в опыте Юнга на экране возникнет распределение интенсивности, описываемое формулой (2.15) с заменой I на элементарную интенсивность :

                                    (2.22)

(в (2.22) использовано определение ).

Отдельные монохроматические компоненты с различными частотами не когерентны между собой. Поэтому полная интенсивность результирующей картины получается суммированием (2.22) по всему спектру:

. (2.23)

Для вычисления интеграла необходимо задание функции  в явном виде. Выберем ее в простейшей модельной форме:

              (2.24)

Значение  определяет ширину частотного интервала волны.

Подставляя (2.24) в (2.23), получим

                .         (2.25)

Интеграл, входящий в (2.25), аналогичен интегралу в выражении (2.4). Поэтому, не останавливаясь на деталях вычислений, приведем ответ:

                            ,                    (2.26)

где — волновое число, отвечающее центру частотного интервала; — разность хода волн в опыте Юнга.

Параметр g в (2.26) дается формулой

                                                              (2.27)

и имеет смысл степени когерентности двух квазимонохроматических волн. При разности хода волн D = 0 (центр интерференционной картины) степень когерентности максимальна и равна единице. С увеличением разности хода степень когерентности волн убывает. Вместе с ней уменьшается интерференционный член в (2.26), а интенсивность стремится к 2I. Таким образом, по мере удаления от центра контрастность интерференционной картины монотонно уменьшается вплоть до ее полного исчезновения при разности хода .

Введение разности хода между пучками света эквивалентно временной задержке одного из них. Поэтому способность световой волны к интерференции после её разделения на два пучка и последующего их наложения с некоторой разностью хода называется временной когерентностью. Минимальная разность хода, при которой степень когерентности (2.27) обращается в нуль, называется длиной когерентности l_ког. Ее представляют обычно в следующем виде:

                                   l_ког = .                            (2.28)

При получении окончательного результата использовалось соотношение между частотой и длиной волны света . Отсюда для квазимонохроматической волны ( ) следует .

Из (2.28) и (2.19) нетрудно получить оценку для максимально возможного порядка интерференции, при котором исчезает интерференционная картина

                                    .                            (2.29)

Временную задержку между волнами, отвечающую длине когерентности,

                                       t_ког = l_ког/c                                (2.30)

называют временем когерентности исходной световой волны.

 

⇐ Предыдущая15161718192021222324Следующая ⇒

Поделиться: