Изучение дифракции в сходящейся волне

 

Наблюдать дифракцию в сходящейся волне иногда удобнее, чем в плоской, поскольку для этого требуется установка меньшего размера, а условия проведения опыта легко варьируются.

1. Схема опыта показана на рис.4.16. Линза Л1 в держателе Д6 и объектив О (Д7), расположенный от Д6 на расстоянии большем фокусного f, создают сходящуюся в точке P’ волну.

2. Столик фоторегистратора сдвиньте на правый конец скамьи. Подберите положение объектива О (Д7) так, чтобы волна сфокусировалась в плоскости Э2 (на экране Э3 получите яркую точку). Тогда l = l₁, согласно (4.20) L ® ¥ и m = 0, что соответствует дифракции Фраунгофера в плоскости Э2.

Рис.4.16

3. Помещая в кассету держателя Д5 (плоскость Э1) любые объекты, на экране Э3 будем наблюдать от них дифракционные картины Фраунгофера. Перепробуйте все объекты, прилагаемые к установке (экраны NN15, 16, 17 и т.д.).

4. Поместите в кассету держателя Д5 экран с круглым отверстием (экран N18 или N19). Определите расстояние от отверстия до плоскости Э2 l₁ = |z – z₄|. Измерьте диаметр отверстия с помощью линзы Л2.

5. Оставляя неизменным расстояние l₁ от отверстия до фокуса волны и передвигая столик фоторегистратора (тем самым изменяя l), будем наблюдать переход от дифракции Фраунгофера к дифракции Френеля. Так же, как и в задании 4, определите значения l, при которых открыты m = 2, 3, 4 и т.д. зоны Френеля. Результаты измерений занесите в заранее самостоятельно подготовленную таблицу.

6. Найдите из (4.20) соответствующие значения L. Постройте график зависимости m от 1/L. Сравните с теоретической зависимостью (4.23), так же как в п.3 задания 4.

Замечание. Объем заданий может быть уменьшен по согласованию с преподавателем.

 

Контрольные вопросы

 

1. В чем состоит условие применимости законов геометрической оптики; условия наблюдений дифракций Фраунгофера и Френеля?

2. В чем проявляется достоинство метода наблюдения дифракции в сходящейся волне, используемого в этой работе?

3. Можно ли на данной установке наблюдать дифракцию Фраунгофера на щели шириной 5 мм?

4. Как зависит интенсивность в центре дифракционной картины при дифракции Френеля плоской волны на круглом отверстии от числа открытых зон Френеля?

5. Что происходит с дифракционной картиной при увеличении толщины волоса?

6. Можно ли наблюдать дифракцию Фраунгофера, если в схеме на рис.4.16 экран с отверстием поставить не за объективом, а перед?

 

Р а б о т а 4.4

 

ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА

 

Цель: наблюдение дифракции Фраунгофера в сходящейся волне, определение длины волны излучения лазера.

 

Введение

 

Дифракция Фраунгофера в сходящейся волне (см. § 4 разд.3) наблюдается в плоскости изображений центрированной оптической системы, изображающей точечный источник, расположенный недалеко от оси. Наблюдать дифракцию Фраунгофера в сходящейся волне удобнее, чем в плоской, поскольку для этого требуется установка меньшего размера, а условия проведения опыта легко варьируются.

Пусть на экран Э1 (рис.4.17) падает волна, сходящаяся в точке P₀. В плоскости, проходящей через точку P₀ параллельно Э1, расположим экран Э2. Расстояние между плоскостями Э1 и Э2 равно l. В этом случае выполнено условие (3.18) и на экране Э2 наблюдается дифракционная картина Фраунгофера.

 

 

Рис.4.17

Разность хода лучей от точек экрана Э1 до точки наблюдения P определяется направлением излучения, которое мы зададим углом q. Положение точек на экранах будем задавать координатами x₁, y₁ и x₂, y₂. Каждой точке экрана Э2 соответствует определенное направление излучения  и значение q.

Комплексная амплитуда колебаний в точке P вычисляется по формуле (3.19) (см. § 4 разд.3).

                         .                 (4.26)

При малых углах дифракции:

,

                        .            (4.27)

Из (4.26) следуют некоторые общие свойства дифракционных картин Фраунгофера.

Дифракционная картина от отверстия произвольной формы обладает центральной симметрией. Действительно, из (4.26) следует, что

A(x₂, y₂) = A *(-x₂, -y₂),

но так как интенсивность I ~ |A|², то I(x₂, y₂) = I(-x₂, -y₂).

При произвольном поперечном перемещении (т.е. перпендикулярно OP₀) экрана Э1 в выражении (4.26) появляется фазовый множитель, который не влияет на интенсивность. Поэтому дифракционная картина при перемещении Э1 не меняется.

Деформируем экран Э1, растянув его вдоль оси x₁ в g раз, при этом элементы экрана переместятся в точки с большими значениями координаты x₁. Чтобы значение интеграла (4.26) не изменилось, необходимо, чтобы k _x уменьшилось в g раз. Из (4.27) следует, что дифракционная картина сожмется в g раз. Таким образом, при увеличении отверстия дифракционная картина уменьшается, а при уменьшении отверстия — увеличивается.

Дифракция на прямоугольном отверстии и на щели. Пусть в непрозрачном экране Э1 имеется прямоугольное отверстие размерами a вдоль оси x₁ и b вдоль оси y₁ (см. рис.3.8) (см. § 4 разд.3). Выбрав системы координат так, как показано на рис.3.8, и вычислив интеграл (4.26) по поверхности отверстия, получим (см. формулу (3.31)):

.

В пределе k _x ® 0 и k _y ® 0 каждая из дробей обращается в единицу (sinx ~ x при малых x), следовательно, произведение Cab = A₀ —амплитуда в центре картины. Учитывая, что I ~ |A|², выразим интенсивность в произвольной точке через интенсивность I₀ в центре картины:

                    .            (4.28)

График распределения интенсивности по оси x₂ (y₂ = 0) приведен на рис.3.8. Минимумы интенсивности (I = 0) наблюдаются при условии:

               k_xa/2 = pm, x₂ = llm/a (m = ±1, ±2, ...),       (4.29)

                k _y a/2 = pn, y₂ = lln/a (n = ±1, ±2, ...).

Дифракционная картина имеет вид креста, состоящего из дифракционных максимумов (см. рис.3.10). Большей стороне отверстия соответствует меньшая ширина максимума.

При дифракции на щели (a << b) картина будет растянута в направлении оси x₂, а в направлении оси y₂ ее размер будет малым. Распределение интенсивности по оси x₂ определяется выражением (3.28).

Дифракция на круглом отверстии. Расчет интенсивности с помощью интеграла (4.26) дает

                           I(k_^) = 4I₀ (J₁(k_^R)/ k_^R)²,                    (4.30)

где R — радиус отверстия; J₁ — функция Бесселя первого порядка; k_^ = k sinq = k q = 2pq /l — проекция волнового вектора на нормаль к плоскости отверстия.

Распределение интенсивности представлено на рис.3.11. Дифракционная картина имеет вид концентрических темных и светлых колец. Радиусы темных колец определяются нулями функции Бесселя J₁. Радиусы первого и двух последующих темных колец на экране Э2:

       r₁ = 0,610 l l/R, r₂ = 1,116 l l/R, r₃ = 1,619 l l/R. (4.31)

Одномерная периодическая структура. Если дифракция происходит на цепочке из N одинаковых отверстий, расположенных на равных расстояниях d друг от друга (см. рис.3.12), то интенсивность I определяется формулой (3.35):

           I(q) = I₁(q) sin²(p Nd sinq /l)/ sin²(p d sinq /l),   (4.32)

где I₁(q) — распределение интенсивности от одного отверстия.

Расстояние d называется периодом структуры.

Точки, в которые от всех источников приходят синфазные колебания, называют главными максимумами интенсивности. Условие главного максимума порядка m:

d sinq = ml, m = 0, ±1, ±2, ... .

На экране Э2 главные максимумы наблюдаются в точках с координатами:

                                      x₂ = ml l/d.                               (4.33)

Между соседними главными максимумами имеется (N – 1) минимумов (нулей) интенсивности, а между последними — (N – 2) побочных максимума малой интенсивности. График распределения интенсивности приведен на рис.3.13.

Двумерная периодическая структура. Рассмотрим дифракцию на экране Э1, отверстия в котором образуют периодическую структуру по двум ортогональным направлениям x₁ и y₁ c периодами a и b соответственно (рис.4.18, a). Каждую цепочку, вытянутую вдоль оси y₁, будем рассматривать как элемент периодической структуры по оси x₁. Тогда интенсивность излучения всей системы определяется выражением (3.35), где I₁ — интенсивность излучения одной цепочки, которая, в свою очередь, определяется аналогичным выражением для интенсивности излучения одного элемента цепочки.

Рис.4.18

 

Излучение всей системы будет максимальным в направлениях, удовлетворяющих двум условиям главных максимумов:

синфазность колебаний, приходящих от всех отверстий каждой цепочки:

              k _y b = 2pm; y₂ = mll/b, m = 0, ±1, ±2, ...       (4.34)

и синфазность колебаний, приходящих от всех цепочек:

               k _x a = 2pn; x₂ = nll/b, n = 0, ±1, ±2,... .       (4.35)

Условие (4.35) дает набор линий, перпендикулярных оси x₂, расположенных с интервалом Dx₂ = ll/a, а условие (4.34) — набор линий, перпендикулярных оси y₂, расположенных с интервалом Dy₂ = ll/b. Максимумы имеют вид точек, расположенных на пересечениях этих линий (рис.4.18, б).

 

Описание установки

 

Работа выполняется на лабораторном оптическом комплексе — ЛОК-1. Схема опыта приведена на рис.4.19. Отъюстируйте установку (см. работу 4.1). С помощью линзы Л1 (держатель Д6) и объектива О (держатель Д7) сфокусируйте лазерный луч на экране Э2 перед линзой Л2 (см. рис.4.19). При этом на экране Э3 фоторегистратора должна появиться маленькая яркая светящаяся точка. Расстояние от экрана Э2 до объектива О должно быть максимально возможным. Установите на оптической скамье держатель Д5 (плоскость Э1). Установка подготовлена к измерениям.

 

 

Рис.4.19

 

Методика измерений

 

Методика измерений такая же, как и в работе 4.3.

 

Задание 1

 

⇐ Предыдущая42434445464748495051

Поделиться: