Кафедра «Металлорежущие станки и инструменты»

Кафедра «Металлорежущие станки и инструменты»

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине «Информатика»

Тема: «Использование численных методов при решении инженерных задач»

Вариант - 23

Выполнила:

студентка гр. УК уск. – 11

Сюткина С.А.

Проверила:

Старший преподаватель

Мышкина А.В.

Г. Пермь, 2011 г.

I . Аппроксимация неизвестной функции методом наименьших квадратов

 

1. Линейная регрессия:  

 

Даны значения:

 

X	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
Y	14,84	9,96	9,30	8,14	10,58	7,56	5,10	4,70	2,88	1,10

 

Найти коэффициенты a и b выражения .

Находим суммы:

 

i	X	Y	X*Y	X*X
1	2	14,84	29,68	4
2	4	9,96	39,84	16
3	6	9,3	55,8	36
4	8	8,14	65,12	64
5	10	10,58	105,8	100
6	12	7,56	90,72	144
7	14	5,1	71,4	196
8	16	4,7	75,2	256
9	18	2,88	51,84	324
10	20	1,1	22	400
	А = 110	B = 74,16	C = 607,4	D = 1540

 

 

 

                 

 

Найденные коэффициенты a и b подставляем в уравнение  и полученные значения заносим в таблицу

X	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
Y	13,0985	11,8358	10,5730	9,3102	8,0474	6,7846	5,5218	4,2590	2,9962	1,7335

Программа для вычислений коэффициентов a и b :

 

CLS

‘Y=a*X+b"

N = 10

DIM X(N), Y(N)

DATA 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

FOR i = 1 TO N

READ X(i)

NEXT i

14.84,9.96,9.3,8.14,10.58,7.56,5.1,4.7,2.88,1.1

 

DATA 14.84, 9.96, 9.3, 8.14, 10.58, 7.56, 5.1, 4.7, 2.88, 1.1

FOR i = 1 TO N

READ Y(i)

NEXT i

 

FOR i = 1 TO N

PRINT i, X(i), Y(i)

NEXT i

 

a = 0: b = 0

FOR i = 1 TO N

a = a + X(i): a1 = X(i)

b = b + Y(i): b1 = Y(i)

c = c + X(i) * Y(i): c1 = X(i) * Y(i)

d = d + X(i) ^ 2: d1 = X(i) ^ 2

PRINT "i="; i, "a1="; a1, "b1="; b1, "c1="; c1, "d1="; d1

NEXT i

PRINT i; a; b; c; d

 

dd = (d * N) - (a * a)

da = (c * N) - (b * a)

db = (d * b) - (a * c)

PRINT "dd="; dd, "da="; da, "db="; db

 

a = da / dd

b = db / dd

PRINT "a="; a, "b="; b

 

FOR i = 1 TO N

Ya = a * X(i) + b

PRINT "i="; i, "Ya="; Ya

NEXT i

END

 

2 . Степенная регрессия:  

 

Заданы значения:

 

X	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
Y	0,56	0,21	0,11	0,07	0,05	0,04	0,03	0,02	0,02	0,02

 

Найти коэффициенты a и b выражения .

 

Прологарифмируем исходное уравнение:

 

Полученное уравнение является уравнением прямой линии:

 

Находим суммы:

 

I	Ln(X)	Ln(Y)	Ln(X) * Ln(Y)	Ln(X) * Ln(X)
1	0,69315	-0,57982	-0,40190	0,48045
2	1,38629	-1,56065	-2,16352	1,92181
3	1,79176	-2,20727	-3,95491	3,21040
4	2,07944	-2,65926	-5,52978	4,32408
5	2,30259	-2,99573	-6,89793	5,30190
6	2,48491	-3,21888	-7,99861	6,17476
7	2,63906	-3,50656	-9,25401	6,96462
8	2,77259	-3,91202	-10,84643	7,68725
9	2,89037	-3,91202	-11,30720	8,35425
10	2,99573	-3,91202	-11,71937	8,97441
	A= 22,03588	B= -28,46424	C= -70,07365	D= 53,39394

 

 

 

       

 

Коэффициенты a и b подставляем в уравнение  и значения Y заносим в таблицу

X	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
Y	0,5766	0,2010	0,1086	0,0701	0,0499	0,0379	0,0299	0,0244	0,0244	0,0174

Результаты вычислений можно представить графически:

Программа для вычислений коэффициентов a и b :

 

CLS

PRINT "Y=a*X^b"

N = 10

DIM X(N), Y(N)

DATA 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20

FOR i = 1 TO N

READ X(i)

NEXT i

DATA 0.56, 0.21, 0.11, 0.07, 0.05, 0.04, 0.03, 0.02, 0.02, 0.02

 

FOR i = 1 TO N

READ Y(i)

NEXT i

 

FOR i = 1 TO N

PRINT "X="; X(i), "Y="; Y(i)

NEXT i

FOR i = 1 TO N

a = a + LOG(X(i)): a1 = LOG(X(i))

b = b + LOG(Y(i)): b1 = LOG(Y(i))

c = c + LOG(X(i)) * LOG(Y(i)): c1 = LOG(X(i)) * LOG(Y(i))

d = d + LOG(X(i)) ^ 2: d1 = LOG(X(i)) ^ 2

PRINT "i="; i, "a="; a1, "b="; b1, "c="; c1, "d="; d1

NEXT i

PRINT "Summa", "A="; a, "B="; b, "C="; c, "D="; d

PRINT

dd = (d * N) - (a * a)

da = (c * N) - (b * a)

db = (d * b) - (a * c)

PRINT "dd="; dd, "da="; da, "db="; db

PRINT

a = da / dd

b2 = db / dd

PRINT "b2="; b2

b = EXP(b2)

PRINT "a="; a, "b="; b

PRINT

FOR i = 1 TO N

y0 = Y(i)

y1 = b * X(i) ^ a

PRINT "X="; X(i), "Y="; Y(i), "y1="; y1

NEXT i

END

 

3. Параболическая регрессия:  

 

Заданы значения:

 

X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Y	-8,5	-3,5	-1,9	-0,7	0,0	-0,3	-1,5	-2,7	-5,2	-11,7

 

Найти коэффициенты a, b и с выражения .

Коэффициенты данной аппроксимирующей функции a, b, c находят из условия минимума функции:

Условия минимума функции сводятся к системе уравнений:

 

 

После преобразований получаем систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

 

 

При решении системы находим коэффициенты  a, b, c.

 

 

Находим суммы:

 

I	X	Y	X ^2	X ^3	X ^4	X *Y	X ^2*Y
1	1	-8,5	1	1	1	-8,5	-8,5
2	2	-3,5	4	8	16	-7	-14
3	3	-1,9	9	27	81	-5,7	-17,1
4	4	-0,7	16	64	256	-2,8	-11,2
5	5	0	25	125	625	0	0
6	6	-0,3	36	216	1296	-1,8	-10,8
7	7	-1,5	49	343	2401	-10,5	-73,5
8	8	-2,7	64	512	4096	-21,6	-172,8
9	9	-5,2	81	729	6561	-46,8	-421,2
10	10	-11,7	100	1000	10000	-117	-1170
	55	-36	385	3025	25333	-221,7	-1899,1
	a	b	c	d	e	f	G

dd = (e ∙ c ∙ n + d ∙ a ∙ c + d ∙ a ∙ c) - (c ∙ c ∙ c + d ∙ d ∙ n + a ∙ a ∙ e) = 435600

da = (g ∙ c ∙ n + d ∙ a ∙ b + f ∙ a ∙ c) - (b ∙ c ∙ c + f ∙ d ∙ n + a ∙ a ∙ g) = -208230

db = (e ∙ f ∙ n + g ∙ a ∙ c + d ∙ b ∙ c) - (c ∙ f ∙ c + d ∙ g ∙ n + b ∙ a ∙ e) = 2165394

dc = (e ∙ c ∙ b + d ∙ a ∙ g + d ∙ f ∙ c) - (c ∙ c ∙ g + d ∙ d ∙ b + a ∙ f ∙ e) = -5460973

 

                

Найденные коэффициенты a, b , c подставляем в уравнение  и полученные значения заносим в таблицу

 

X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Y	-8,0436	-4,5067	-1,9258	-0,3009	0,3679	0,0806	-1,1627	-3,3621	-6,5176	-10,6291

Результаты вычислений можно представить графически:

 

Программа для вычислений коэффициентов a , b , с:

 

PRINT "Y=a*X^2+b*X+c"

CLS

n = 10

DIM x(n), y(n)

DATA 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

FOR i = 1 TO n

READ x(i)

NEXT i

DATA -8.5, -3.5, -1.9, -0.7, 0.0, -0.3, -1.5, -2.7, -5.2, -11.7

FOR i = 1 TO n

READ y(i)

NEXT i

FOR i = 1 TO n

PRINT "X="; x(i); "Y="; y(i)

NEXT i

PRINT

FOR i = 1 TO n

a = a + x(i): a1 = x(i)

b = b + y(i): b1 = y(i)

c = c + x(i) ^ 2: c1 = x(i) ^ 2

d = d + x(i) ^ 3: d1 = x(i) ^ 3

e = e + x(i) ^ 4: e1 = x(i) ^ 4

f = f + x(i) * y(i): f1 = x(i) * y(i)

g = g + x(i) ^ 2 * y(i): g1 = x(i) ^ 2 * y(i)

PRINT "i="; i, "a="; a1; "b="; b1; "c="; c1; "d="; d1; "e="; e1; "f="; f1; "g="; g1

NEXT i

PRINT

dd = (e * c * n + d * a * c + d * a * c) - (c * c * c + d * d * n + a * a * e)

da = (g * c * n + d * a * b + f * a * c) - (b * c * c + f * d * n + a * a * g)

db = (e * f * n + g * a * c + d * b * c) - (c * f * c + d * g * n + b * a * e)

dc = (e * c * b + d * a * g + d * f * c) - (c * c * g + d * d * b + a * f * e)

PRINT "dd="; dd, "da="; da, "db="; db, "dc="; dc

PRINT

a = da / dd

b = db / dd

c = dc / dd

PRINT "a="; a, "b="; b, "c="; c

PRINT

FOR i = 1 TO n

y1 = a * x(i) ^ 2 + b * x(i) + c

PRINT "i="; i, "y1="; y1

NEXT i

END

 

 

Отделение корней уравнения

 

Составляем приблизительную схему:

 

x	-∞	-3	-1	0	1	3	∞
знак f(x)	+	+	+	+	+	-	+

Следовательно, уравнение имеет два действительных корня, лежащих в интервалах:

 

[1, 3] и [3, ¥].

 

Определенный интеграл

 

Вычислить интеграл с тремя десятичными знаками по формулам левых и правых прямоугольников, трапеций и Симпсона при n = 10, оценивая точность с помощью сравнения полученных результатов.

Заданы значения:

 

b0	b1	b2	b3	x1	x2	n
9	-18	16	15	0,4	1,9	10

Метод прямоугольников

 

Приведем обобщенные формулы:

по левой стороне

по правой стороне      

Интерполирование

 

Дана таблица значений

 

X	Y
-3	-5
-1	-10
2	2
3	-10

 

Определить значения функции для х = -2, 0, 1 с точностью 0,01.

 

Таблица результатов:

 

X	Y
	ф. Ньютона	ф. Лагранжа
-2	-12,33	-12,33
0	-3,30	-3,30
1	2,47	2,47

 

График функции:

Метод Гаусса.

 

Это метод решения системы линейных уравнений, состоящий в том, что последовательным исключением неизвестных систему

 

 

приводят к эквивалентной системе с треугольной матрицей:

 

 

Решение матрицы находят по рекуррентным формулам:

 

 

Дана система:

 

 

Построим определители

 

 

Результаты вычислений:

 

x ₁ = 25,515 x ₂ = 31,070 x ₃ = 38,665 x ₄ = -5,160

 

Метод деления пополам

Ответ:

Х = 9,682417Е-02

F = 2,351603Е-05

CLS

10 PRINT "ВВЕДИТЕ ИНТЕРВАЛ"

'NPUT "(A, B)="; A, B

‘A = 0: B = 1

E1 = .00001

X = B: GOSUB 40: F1 = F: IF F = 0 THEN 50

X = A: GOSUB 40: IF F = 0 THEN 50

IF SGN(F1) = SGN(F) THEN GOTO 10

20 X = (A + B) / 2: GOSUB 40

IF SGN(F1) = SGN(F) THEN B = X: F1 = F: GOTO 30

A = X

30 IF ABS(A - B) > E1 THEN 20

X = (A + B) / 2: GOSUB 40: GOTO 50

40 F = -6 + 61 * X + 10 * X ^ 2: RETURN

50 PRINT "X ="; X: PRINT "F = "; F

END

 

 

Метод простой итерации

CLS

'INPUT "X ="; X

‘X = -1 

E1 = .0000000001#

N = 100 

FOR i = 1 TO N

GOSUB 500

IF (F - X) < X * E1 THEN 1000

X = F

NEXT i

PRINT " нет точности"

STOP

500

F = -6 + 61 * X + 10 * X ^ 2

RETURN

1000 PRINT " X ="; X: END

 

Х = 9,682421Е-02

 

 

Метод хорд

 

INPUT "НАЧАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ X1=";X1

Е1=1Е—8

Н=1E—4

100

Х = Х1: GOSUB 500: Y = F

Х = Х1+Н: GOSUB 500

Y = Y * Н / (F —Y)

Х1 =Х1 — Y

IF ABS (Y)>E1 THEN 100

Х = Х1: GOSUB 500

GOTO 1000

F = -6 + 61 * X + 10 * X ^ 2

RETURN

1000

PRINT "КОРЕНЬ. X="; X1

END

 

Х = 9,682424Е-02

 

Кафедра «Металлорежущие станки и инструменты»

КУРСОВАЯ РАБОТА

1234Следующая ⇒

Поделиться: