При равномерном вращении (T — период вращения),

При равномерном вращении (T — период вращения),

Частота вращения — число оборотов в единицу времени.

{\displaystyle \nu ={1 \over T}={\omega \over 2\pi }} ,

Период вращения — время одного полного оборота. Период вращения {\displaystyle T} и его частота {\displaystyle \nu } связаны соотношением {\displaystyle T=1/\nu } .

Линейная скорость точки, находящейся на расстоянии R от оси вращения

{\displaystyle v={2\pi \nu R}={2\pi R \over T}} ,

Угловая скорость вращения тела — векторная величина.

{\displaystyle \omega ={2\pi \nu }={2\pi \over T}} .

Динамические характеристики[править | править вики-текст]

Свойства твердого тела при его вращении описываются моментом инерции твёрдого тела. Эта характеристика входит в дифференциальные уравнения, полученные из уравнений Гамильтона или Лагранжа. Кинетическую энергию вращения можно записать в виде:

{\displaystyle E={\frac {\omega ^{2}J}{2}}={2\pi ^{2}\nu ^{2}J}} .

В этой формуле момент инерции играет роль массы, а угловая скорость — роль скорости. Момент инерции выражает геометрическое распределение массы в теле и может быть найден из формулы {\displaystyle J=\int r^{2}dm} .

Момент инерции — физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении. Характеризует распределение масс в теле. Различают осевой и центробежный момент инерции. Осевой момент инерции определяется равенством:

{\displaystyle J_{a}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}} ,

где: m_i — масса i-й точки, r_i — расстояние от i-й точки до оси

Траектории всех точек тела располагаются в плоскостях, параллельных заданной плоскости.

Примером плоскопараллельного движения по отношению к вертикальной плоскости, относительно которой тело движется в параллельном направлении, является качение колеса по горизонтальной дороге (см. рисунок).

Пример плоскопараллельного движения относительно плоскости чертежа — качение колеса по горизонтальной дороге. Все точки колеса движутся параллельно плоскости рисунка.

Здесь плоскопараллельное движение в каждый момент времени может быть представлено в виде суммы двух движений — полюса C, являющегося не чем иным, как центром вращения колеса в связанной с ним системе координат (в общем случае по любой траектории на плоскости с точки зрения неподвижного наблюдателя) и вращательного движения остальных точек тела вокруг этого центра.

В общем случае их соотношение может быть любым не только по величине, но и по направлению. траектории всех точек тела располагаются в плоскостях, параллельных заданной плоскости.

Примером плоскопараллельного движения по отношению к вертикальной плоскости, относительно которой тело движется в параллельном направлении, является качение колеса по горизонтальной дороге (см. рисунок).

Пример плоскопараллельного движения относительно плоскости чертежа — качение колеса по горизонтальной дороге. Все точки колеса движутся параллельно плоскости рисунка.

Здесь плоскопараллельное движение в каждый момент времени может быть представлено в виде суммы двух движений — полюса C, являющегося не чем иным, как центром вращения колеса в связанной с ним системе координат (в общем случае по любой траектории на плоскости с точки зрения неподвижного наблюдателя) и вращательного движения остальных точек тела вокруг этого центра.

Рис.6

Если теперь в момент времени взять точку Р за полюс, то скорость точки А будет

так как . Аналогичный результат получается для любой другой точки фигуры. Следовательно, скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При этом

Из равенств, следует еще, что точек плоской фигуры пропорциональны их расстоя­ниям от МЦС.

Рис.7

Рис.8

в) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна , то мгновен­ный центр скоростей Ропределяется построением, показанным на рис.8,б. Справедливость построений следует из пропорции. В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения центра Р надо кроме направлений знать еще и модули скоростей .

г) Если известны вектор скорости какой-нибудь точки В фигуры и ее угловая скорость , то положение мгновенного центра скоростей Р, лежащего на перпендикуляре к (рис.8,б), можно найти как .

17 Из выражения V_M=V_A ⊕ V_MA (или V_M=V_A+ω ⊗ AM ) путем дифференцирования получаем

Рисунок 2.22

где a_MA^вр -вращательное ускорение точки M при вращении вокруг точки A ;

a_MA^вр=ε ⊗ АM, a_MA^вр ⊥ AM;

a_MA^вр=ε ⋅ АM

a_MA^ц - центростремительное ускорение точки M при вращении вокруг точки A ;

a_MA^ц=ω ⊗ (ω ⊗ AM )=ω ⊗ М_VA;

a_MA^ц=ω²AM

Центростремительное ускорение a_MA^ц направлено от точки M к полюсу A .

Численную величину полного ускорения можно определить, спроецировав векторное равенство (2.15) на выбранные оси координат:

Ускорение точки плоской фигуры равно сумме ускорения полюса и ускорения данной точки во вращательном движении вокруг полюса

или .

При плоском движении с учетом характера движения осестремительное ускорение называется центростремительным и обозначается символом .

Следствие. Проекции ускорений двух точек плоской фигуры на направление вектора, соединяющего эти точки, связаны равенством

.

Другим следствием теоремы об ускорениях точек при плоском движении твердого тела является равенство:

.

Вводя в рассмотрение вектор углового ускорения при плоском движении, теорема может быть записана в виде:

или .

Где

{\displaystyle \varepsilon } — угловое ускорение тела;

{\displaystyle \omega } — угловая скорость тела.

При равномерном вращении (T — период вращения),

12Следующая ⇒

Поделиться: