Полученные результаты приводят к следующим выводам.

1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать то­лько направления скоростей и каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры (или траектории этих точек); мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, вос­ставленных из точек А и В к скоростям этих точек (или к каса­тельным к траекториям).

2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры, надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В. Тогда, вос­ставив из точек А и В перпендикуляры к и , построим мгно­венный центр скоростей Р и по направлению определим направ­ление поворота фигуры. После этого, зная , найдем скорость любой точки М плоской фигуры. Направлен век­тор перпендикулярно РМ в сторону поворота фигуры.

3. Угловая скорость плоской фигуры равна в каждый данный момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к ее расстоянию от мгновенного центра скоростей Р:

Рассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей.

а) Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверх­ности другого неподвижного, то точка Р катящегося тела, касаю­щаяся неподвижной поверхности (рис.7), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю ( ), и, следовательно, является мгновенным центром скоростей. Примером служит качение колеса по рельсу.

б) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна (рис.8,а), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны . При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что т. е. ; аналогичный результат получается для всех других точек. Следовательно, в рас­сматриваемом случае скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны друг другу и по модулю, и по направлению, т.е. фигура имеет мгновенное поступательное распределение скоростей (такое состояние движения тела называют еще мгновенно поступа­тельным). Угловая скорость тела в этот момент времени, как видно равна нулю.

Рис.7

Рис.8

в) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна , то мгновен­ный центр скоростей Ропределяется построением, показанным на рис.8,б. Справедливость построений следует из пропорции. В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения центра Р надо кроме направлений знать еще и модули скоростей .

г) Если известны вектор скорости какой-нибудь точки В фигуры и ее угловая скорость , то положение мгновенного центра скоростей Р, лежащего на перпендикуляре к (рис.8,б), можно найти как .

17 Из выражения V_M=V_A ⊕ V_MA (или V_M=V_A+ω ⊗ AM ) путем дифференцирования получаем

Рисунок 2.22

где a_MA^вр -вращательное ускорение точки M при вращении вокруг точки A ;

a_MA^вр=ε ⊗ АM, a_MA^вр ⊥ AM;

a_MA^вр=ε ⋅ АM

a_MA^ц - центростремительное ускорение точки M при вращении вокруг точки A ;

a_MA^ц=ω ⊗ (ω ⊗ AM )=ω ⊗ М_VA;

a_MA^ц=ω²AM

Центростремительное ускорение a_MA^ц направлено от точки M к полюсу A .

Численную величину полного ускорения можно определить, спроецировав векторное равенство (2.15) на выбранные оси координат:

Ускорение точки плоской фигуры равно сумме ускорения полюса и ускорения данной точки во вращательном движении вокруг полюса

или .

При плоском движении с учетом характера движения осестремительное ускорение называется центростремительным и обозначается символом .

Следствие. Проекции ускорений двух точек плоской фигуры на направление вектора, соединяющего эти точки, связаны равенством

.

Другим следствием теоремы об ускорениях точек при плоском движении твердого тела является равенство:

.

Вводя в рассмотрение вектор углового ускорения при плоском движении, теорема может быть записана в виде:

или .

⇐ Предыдущая12

Поделиться: