Содержание дисциплины. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах)

Для усвоения курса по теоретической механике и механике сплошных сред требуется владение теорией пределов, операциями дифференцирования (в том числе частными производными), интегрирования (в том числе интегрированием по поверхности и объему), основными операциями векторного анализа (взятие градиента, производной по направлению, дивергенции, ротора), методами решения простых обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.  

Студент должен владеть основными методами и представлениями из теории электромагнитных явлений (потенциалы электромагнитного поля, уравнения Максвелла, сила Лоренца), знать основы геометрической оптики (уравнение эйконала), а также основные законы термодинамики.

Понятия, законы и методы, введенные в курсе теоретической механики и механики сплошных сред, будут использоваться в курсах электродинамики, радиоэлектроники, термодинамики, статистической физики, квантовой механики, дисциплинах специализации на всех специализациях физического факультета.

 

Содержание дисциплины

Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах)

ОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ, 3-й семестр – зачет, 4-й семестр зачет, экзамен

Вид учебных занятий	Количество часов
Всего часов аудиторных занятий	144
Лекции	72
Практические занятия (семинары)	72
Всего часов самостоятельной работы	72
Подготовка к лекционным занятиям	36
Подготовка к семинарским занятиям	36
Подготовка к зачету	6
Подготовка к экзамену	30
Всего часов по дисциплине	252

 

 

2.2. Тематический план учебной дисциплины

 

№ п/п	Раздел дисциплины	Количество часов
		лекции	практические занятия	лабораторные занятия
1.	Введение	2	---	–
2.	Основные понятия и законы механики	2	2	---
3.	Законы изменения и сохранения импульса кинетического момента и энергии точки и системы материальных точек	4	4
4.	Движение в центрально-симметричном поле	4	2	–
5.	Задача двух тел	4	2	---
6.	Упругое рассеяние частиц	2	---	---
7.	Движение относительно неинерциальных систем отсчета	4	4	---
8.	Уравнения Лагранжа	6	10	---
9.	Линейные колебания	6	6	---
10.	Динамика твердого тела	4	4	–
11.	Канонические уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона	4	6	---
12.	Метод Рауса	2	2	---
13.	Метод канонических преобразований	4	4
14.	Метод уравнения Гамильтона-Якоби	4	4	---
15.	Интегральные вариационные принципы	4	2	---
16.	Интегральные инварианты Пуанкаре	2	---	---
17.	Переменные действие-угол и адиабатические инварианты	2	---	---
18.	Основные понятия и законы механики сплошных сред	4	---	---
19.	Идеальная жидкость	2	4	---
20.	Вязкая жидкость	2	4
21.	Звуковые и ударные волны	2	2
22.	Теория упругости	2	2
	Контрольные работы		8	---
	Итого	72	72	---

Содержание лекционного курса

 

В скобках указаны формируемые компетенции и уровень освоения как на лекционных, так и на последующих семинарских занятиях

 

· 1. – репродуктивный (освоение знаний, выполнение деятельности по образцу, инструкции или под руководством);

· 2. – продуктивный (планирование и самостоятельное выполнение деятельности, решение проблемных задач; применение умений в новых условиях);

· 3. – творческий (самостоятельное проектирование экспериментальной деятельности; оценка и самооценка инновационной деятельности).

ТЕМА 1. Основные понятия и законы классической механики

Основные понятия и постулаты классической механики. Пространство и время. Сила и масса. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Законы Ньютона. Кинематика точки в различных системах координат (декартовы, цилиндрические, сферические, полярные). Естественный способ задания движения системы. Решение уравнений движения и начальные условия (ОК-(1,5,18,20,21)/1,ПК-1-5,10/(1-2)).

 

ТЕМА 2. Законы изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии.

Законы изменения и сохранения импульса точки, момента количества движения и энергии. Потенциальные силы. Гироскопические силы. Диссипативные силы. Система N материальных точек. Центр масс. Закон изменения импульса системы точек. Теорема о сохранении импульса системы материальных точек. Закон изменения момента количества движения системы материальных точек. Момент сил. Теорема о сохранении полной энергии системы материальных точек с потенциальными силами. Теорема вириала (ОК-(1,5,18,20,21)/1,ПК-1-5,10/(1-2)).

 

 

ТЕМА 3. Движение в центрально-симметричном поле.

Основные закономерности движения материальной точки в центрально-симметричном поле. Законы сохранения момента импульса и энергии материальной точки. Понятие эффективной потенциальной энергии. Интегралы траектории и закона движения материальной точки. Апсидальные точки. Классификация возможных типов движения материальной точки в поле центральных сил. Условие падения частицы на центр. Движение под действием силы обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра силы. Законы Кеплера. Уравнение траектории движения материальной точки в кулоновском поле. Эксцентриситет траектории, афелий, перигелий. Вектор эксцентриситета. Орбитальные полеты космических аппаратов. Коррекция траектории движения (ОК-(1,5,18,20,21)/1,ПК-1-5,10/(1-2)).

 

 

ТЕМА 4. Задача двух тел.

Уравнения движения двух взаимодействующих материальных точек в инерциальной системе отсчета. Движение центра масс системы точек. Система центра масс. Радиусы-векторы материальных точек, их скорости и ускорения в системе центра масс. Эквивалентная задача о движении m точки в центральном поле. Законы сохранения момента импульса и энергии m точки. Траектории движения двух точек с потенциальной энергией U( r )= -a/r. Третий закон Кеплера (ОК-(1,5,18,20,21)/1,ПК-1-5,10/(1-2)).

 

 

ТЕМА 5. Упругое рассеяние частиц.

Постановка задачи об упругом рассеянии частиц. Кинематика упругого рассеяния частиц. Граничные условия в проблеме рассеяния частиц. Полный и относительный импульс частиц. Импульсы двух частиц после рассеяния. Диаграммы импульсов. Лабораторная система отсчета и система центра масс. Углы рассеяния частиц. Определение импульсов частиц в конечном состоянии в терминах начальной асимптотики и угла рассеяния. Прицельный параметр. Дифференциальное эффективное сечение рассеяния. Полное эффективное сечение рассеяния в классической механике. Вычисление дифференциального эффективного сечения рассеяния частиц в кулоновском поле. Формула Резерфорда. Экспериментальная проверка формулы Резерфорда (ОК-(1,5,18,20,21)/1,ПК-1-5,10/(1-2)).

 

ТЕМА 6. Движение относительно неинерциальных систем отсчета.

Задание положения одной произвольной системы отсчета S’ относительно другой S. Ориентация системы отсчета S’ относительно инерциальной системы отсчета S. Углы Эйлера. Произвольное движение твердого тела и его разложение на поступательное движение и вращение. Теорема Эйлера о движении твердого тела с одной неподвижной точкой. Угловая скорость вращения. Кинематические формулы Эйлера. Связь между положениями, скоростями и ускорениями материальной точки относительно двух произвольных систем отсчета. Уравнения движения точки относительно неинерциальной системы отсчета. Кориолисова и переносная силы инерции. Уравнения движения материальной точки около поверхности Земли относительно Земли (ОК-(1,5,18,20,21)/1,ПК-1-5,10/(1-2)).

 

ТЕМА 7. Уравнения лагранжа.

Основная задача динамики несвободной системы N материальных точек. Понятие о связях. Реакции связей. Голономные связи. Стационарные связи. Понятие действительного, возможного и виртуального перемещения материальной точки. Виртуальная работа реакций связей. Идеальные связи. Основная задача динамики системы N материальных точек с k идеальными голономными связями. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Уравнения Лагранжа с реакциями связей ( 1 рода). Основное уравнение механики – дифференциальный вариационный принцип Даламбера – Лагранжа. Положение равновесия системы. Принцип виртуальных перемещений. Понятие независимых обобщенных координат. Число степеней свободы системы N материальных точек с k голономными связями. Уравнения Лагранжа в независимых обобщенных координатах (2 рода). Понятие обобщенной силы. Система уравнений Лагранжа 2 рода для систем с потенциальными силами. Функция Лагранжа (лагранжиан системы). Понятия обобщенной энергии и обобщенного импульса. Законы изменения и сохранения обобщенной энергии и обобщенного импульса. Структура кинетической энергии системы в обобщенных координатах. Понятие обобщенно-потенциальных сил. Сила Лоренца – обобщенно-потенциальная сила. Структура обобщенного потенциала в обобщенных координатах. Диссипативная функция Рэлея. Структура функции Лагранжа в обобщенных координатах. Структура обобщенного импульса и обобщенной энергии в обобщенных координатах. Функция Лагранжа линейного гармонического осциллятора. Функция Лагранжа заряда, движущегося в электромагнитном поле задаваемом потенциалами f и А. Функция Лагранжа двойного плоского маятника (ОК-(1,5,18,20,21)/1,ПК-1-5,10/(1-2)).

 

 

ТЕМА 8. Линейные и нелинейные колебания.

Движение системы с одной степенью свободы под действием потенциальных и диссипативных сил. Функция Лагранжа системы. Положение равновенсия. Разложение кинетической энергии, потенциальной энергии и диссипативной функции Рэлея в ряд по степеням отклонения обобщенных координат и скоростей от равновесных значений. Уравнение движения Лагранжа. Собственные одномерные колебания. Характеристическое уравнение. Частота колебаний, коэффициент затухания. Положение устойчивого равновесия системы с s степенями свободы. Теорема Лагранжа (достаточный признак устойчивости положения равновесия механической системы). Система уравнений Лагранжа для механической системы с s степенями свободы в окрестности положения устойчивого равновесия. Характеристическое уравнение для определения частот собственных колебаний. Главные, нормальные координаты. Вид функции Лагранжа в нормальных координатах. Продольные колебания линейной трехатомной симметричной молекулы. Определение частот собственных колебаний плоского двойного маятника. Собственные колебания системы под действием обобщенно-потенциальных и диссипативных сил. Вынужденные колебания и резонанс. Общие свойства нелинейных систем. Устойчивость по Ляпунову. Функция Ляпунова. Решение нелинейных уравнений методом усреднения (ОК-(1,5,18,20,21)/1,ПК-1-5,10/(1-2)).

 

ТЕМА 9. Динамика твердого тела.

 

    Уравнения движения твердого тела. Импульс, момент импульса и энергия твердого тела. Законы изменения импульса, кинетического момента и энергии твердого тела. Кинетическая энергия вращения. Кинетический момент вращения твердого тела. Тензор инерции и моменты инерции. Главные оси и главные моменты инерции. Асимметричный, симметричный и шаровой волчок. Уравнения движения твердого тела с одной неподвижной точкой. Динамические уравнения Эйлера. Свободное вращение симметрического волчка. Плоскопараллельное движение твердого тела (ОК-(1,5,18,20,21)/1,ПК-1-5,10/(1-2)).

 

ТЕМА 10. Канонические уравнения гамильтона и вариационные принципы.

Обобщенные координаты и обобщенные импульсы. Переменные Гамильтона. Преобразование Лежандра. Функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона. Гамильтониан линейного гармонического осциллятора, математического маятника, электрического заряда, движущегося в электромагнитном поле. Фазовое пространство. Фазовая траектория. Теорема Лиувилля. Особые точки динамических систем, нуль-изоклины. Устойчивые, неустойчивые фокусы, седла, устойчивые и неустойчивые узлы, центры. Фазовый портрет математического маятника. Особые точки гамильтоновых систем. Сепаратриса. Фазовый портрет осциллятора с затуханием. Метод фазовых портретов в механике. Решение задачи о движении материальной точки в кулоновском поле методом фазовых портретов. Функция Рауса. Метод Рауса исследования систем с циклическими координатами. Использование метода Рауса в задаче о движении сферического маятника. Законы изменения и сохранения гамильтониана системы. Скобка Пуассона и ее свойства. Фундаментальные скобки Пуассона. Теорема Якоби-Пуассона. Определение интегралов движения материальной точки в центрально-симметричном поле с помощью вычисления скобок Пуассона. Интегральный вариационный принцип Гамильтона-Остроградского. Функция действия системы. Прямой и окольный пути механической системы. Вывод уравнений Лагранжа 2 рода из принципа наименьшего действия Гамильтона-Остроградского. Вычисление действия на прямом и окольном путях при движении точки в однородном поле тяжести. Обобщенно-консервативные системы. Принцип наименьшего действия Мопертюи – Лагранжа. Изоэнергетическое варирование. Укороченное действие. Пример: движение точки в однородном поле тяжести. Принцип наименьшего действия в форме Якоби и геодезические линии в координатном пространстве. Теорема Нетер. Использование теоремы Нетер для получения интегралов движения системы N материальных точек в случае центрально-симметричного взаимодействия (ОК-(1,5,18,20,21)/1,ПК-1-5,10/(1-2)).

ТЕМА 11. Метод канонических преобразований и уравнение гамильтона-Якоби.

Понятие канонического преобразования. Типы канонических преобразований. Производящая функция канонического преобразования. Вывод уравнений канонического преобразования. Метод канонических преобразований в задаче о линейном гармоническом осцилляторе. Скобка Пуассона – инвариант канонического преобразования. Интегральные инварианты Пуанкаре. Скобка Лагранжа. Теорема о связи скобок Лагранжа и Пуассона. Вычисление фундаментальных скобок Пуассона с помощью этой теоремы. Два подхода в использовании метода канонических преобразований. Уравнение Гамильтона – Якоби. Общий и полный интегралы уравнения Гамильтона – Якоби. Решение основной задачи механики с помощью полного интеграла. Уравнение Гамильтона-Якоби для линейного гармонического осциллятора. Уравнение Гамильтона-Якоби для материальной точки, движущейся в кулоновском потенциальном поле. Физический смысл полного интеграла. Метод разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. Основные случаи разделения переменных для обобщенно-консервативных систем. Определение полного интеграла для систем с циклическими координатами. Аналогия между движением материальной точки и распространением монохроматической волны в оптически неоднородной среде. Оптико-механическая аналогия Гамильтона. Два типа периодичности при движении механических систем (либрация, вращение). Переменные действие – угол. Определение частот периодических движений. Переменные действие-угол для линейного гармонического осциллятора. Адиабатический инвариант механической системы. Адиабатический инвариант линейного гармонического осциллятора. Каноническая теория возмущений (ОК-(1,5,18,20,21)/1,ПК-1-5,10/(1-2)).

 

ТЕМА 12. Основные понятия и законы механики сплошных сред.

Понятие физического поля. Физически бесконечно малая частица. Поле скоростей и перемещений. Деформация малой частицы. Тензоры поворота, деформаций, скоростей поворота, скоростей деформаций. Закон сохранения массы и уравнение непрерывности. Поверхностные и объемные силы. Тензор напряжений. Закон изменения импульса, момента импульса точки сплошной среды. Симметричность тензора напряжений. Закон изменения кинетической энергии. Закон изменения внутренней энергии и энтропии. Система уравнений механики сплошных сред (ОК-(1,5,18,20,21)/1,ПК-1-5,10/(1-2)).

 

ТЕМА 13. Идеальная жидкость.

Уравнения движения идеальной жидкости. Уравнение Эйлера. Уравнение гидростатики. Законы Паскаля и Архимеда. Барометрическая формула. Изэнтропическое стационарное течение идеальной жидкости. Линия тока. Интеграл Бернулли. Формула Торичелли. Потенциальное течение идеальной жидкости. Интеграл Коши. Стационарное потенциальное течение идеальной жидкости. Тензор плотности потока импульса. Плотность потока энергии. Теорема Томпсона о сохранении циркуляции скорости. Звуковые волны в идеальной жидкости. Волновое уравнение для возмущений плотности и давления. Звуковые волны, скорость звука. Общее рещение волнового уравнения. Сверхзвуковой поток. Число и конус Маха. Физическая картина образования поверхностей разрыва в идеальной жидкости. Граничные условия на поверхности разрыва. Тангенциальный разрыв. Ударная волна. Ударная адиабата (адиабата Гюгонио). Ударная волна в идеальном газе. Скачки плотности, температуры, скорости. Магнитогидродинамика идеальной жидкости. Магнитогидродинамические волны Альфвена (ОК-(1,5,18,20,21)/1,ПК-1-5,10/(1-2)).

 

ТЕМА 14. Вязкая жидкость. Теория упругости.

Тензор напряжений для вязкой жидкости. Уравнения изменения импульса и энергии вязкой жидкости. Уравнение Навье-Стокса. Число Рейнольдса. Закон подобия Рейнольдса. Течение Пуазейля. Формула Стокса. Закон Гука и уравнения изменения импульса. Уравнения движения идеально упругого тела. Тензор упругости. Равновесие изотропных тел. Упругие волны. (ОК-(1,5,18,20,21)/1,ПК-1-5,10/(1-2)).

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: