Линейные операции над векторами.

Транспонирование матриц

Транспонирование матриц – переход от матрицы А к матрице, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

Свойства транспонированной матрицы:

1. (A^T)^T=A

2. Линейность: (A+B)^T= A^T+B^T

3. Умножение на число: (xA)^T= x*(A^T)

4. (A*B)^T= B^T*A^T

Умножение матриц

Свойства умножения

1. АB != BA

2. 0A = A0 = 0

3. ABC = A(BC)

4. (A+B)C = AC + BC

Пример 1. Рассмотрим для начала простейший пример, когда необходимо найти произведение двух матриц А и В размером 2x2, если

Решение:

Элементы матрицы С находятся по следующему алгоритму:

Элемент матрицы С, стоящий на первой строке, в первом столбце находится как сумма произведений первой строки матрицы А на первый столбец матрицы В.

Элемент матрицы С, стоящий на первой строке, во втором столбце находится как сумма произведений первой строки матрицы А на второй столбец матрицы В.

Элемент матрицы С, стоящий на второй строке, в первом столбце находится как сумма произведений второй строки матрицы А на первый столбец матрицы В.

Элемент матрицы С, стоящий на второй строке, во втором столбце находится как сумма произведений второй строки матрицы А на второй столбец матрицы В.

Таким образом, мы получили

То есть мы получили, что

№8. Определители n-го порядка. Их свойства и методы вычисления.

Определителем n-го порядка называется число, равное алгебраической сумме всевозможных произведений элементов взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца.

Знак каждого слагаемого определяется числом инверсий в перестановках составленных из первых и вторых индексов сомножителей : если оно четное «+», нечетное «-».

Инверсия - когда большее число стоит перед меньшим.

Св-ва определителей:

1. В определителе строки и столбцы равнозначны.

2. Если все Эл-ты в строке или столбце = 0, то определитель =0.

3. Общий множитель строки или столбца можно выносить.

4. Если в определителе переставить местами 2 строки, то знак определителя изменится на противоположный.

5. Если в определителе 2 одинаковых строки/столбца, то определитель =0.

6. Если в определителе 2 строки пропорциональны, то определитель =0.

7. Определитель можно разложить на сумму.

8. Если в определителе некоторая строка/столбец является линейной комбинацией другой строки-столбца, то определитель =0.

9. Если к Эл-ам некоторой строки добавить соотв. Эл-ты другой строки умноженные на число не равное 0, то определитель не изменится.

Минор- определитель полученный из определителя n-го порядка вычеркиванием К каких-то строк и К столбцов.

Теорема Лапласа.

Определитель n-го порядка равен сумме произведений Эл-ов некоторой строки/столбца на их алгебраические дополнения.

Алгебраическое дополнение – A_ij=(-1)ⁱ⁺^jM_ij

Определитель треугольного вида равен произведению Эл-ов главной диагонали.

№9. Обратная матрица. Ее свойства и методы вычисления.

Определение: А^-1называется обратной матрице А, если выполняются условия A·A^-1= A^-1·A=E

Теорема: если для матрицы А существует обратная, то она единственная.

Теорема: для того, чтобы для квадратной матрицы А существовала A^-1 необходимо и достаточно, чтобы определитель 0. Т.е. перед началом вычислений нужно найти определитель.

Первый способ нахождения ОМ:

1) Находим алгебраические дополнения (АД) для матрицы (a_ij - A_ij). АД: например, А₂₁ – минор, получаемый вычеркиванием 2й строки и 1го столбца

2) Составляем матрицу С = (A_ij)^T.

Второй способ:

1) Записываем матрицу (А | E).

2) Приводим левую половину к виду единичной матрицы (Е). Матрица, получившаяся справа будет обратной

Для приведения матрицы к виду единичной используются следующие элементарные преобразования:

1. Перемена местами двух любых уравнений;

2. Умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля;

3. Прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.

Свойства ОМ:

1) (A^-1)^-1 = А

2) (А·B)^-1 = B^-1·A^-1

№10. Ранг матрицы. Методы его вычисления.

Ответ: Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров матрицы , отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю. Ранг невырожденной квадратной матрицы порядка равен, так как ее определитель является минором порядка и у невырожденной матрицы отличен от нуля.

Рассмотрим прямоугольную матрицу. Выделим в этой матрице k произвольных строк и k произвольных столбцов (k≤n, k≤m). Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы А, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k-го порядка матрицы. Так, у матрицы с тремя строками и пятью столбцами возможны миноры первого, второго и третьего порядка. Рангом матрицы А (обозначается r(A)) называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы принимают равным нулю.

Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы. Ранг матрицы не изменится от следующих преобразований, называемых элементарными преобразованиями матрицы: - замены строк столбцами, а столбцов соответствующими строками; - перестановки строк матрицы; - вычеркивания строки, все элементы которой равны нулю; - умножения строки на число, отличное от нуля; - прибавления к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на одно и то же число. Сама матрица при элементарных преобразованиях меняется, но ранг матрицы не изменится.

№11. Метод Гаусса для преобразования матрицы. Его применение для решения задач линейной алгебры.

Метод Гаусса применим для систем т линейных уравнений с п неизвестными:

, где x₁ , x₂, …, x_n – неизвестные.

a_i _j - коэффициенты при неизвестных.

b_i - свободные члены (или правые части)

Решения СЛАУ по методу Гаусса состоит из двух этапов.

– Первый этап (прямой ход метода) – система приводится к треугольному виду.

– Второй этап (обратный ход) – неизвестные определяются последовательно, начиная с последнего неизвестного (в последнем уравнении) и кончая первым (в первом уравнении).

Для приведения матрицы к треугольному виду используются следующие элементарные преобразования:

1. перемена местами двух любых уравнений;

2. умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля;

3. прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.

После данных преобразований должна получиться треугольная матрица вида:

или

Для первой системы просто последовательно находят значения неизвестных, начиная с нижнего уравнения.

Вторая система будет иметь бесчисленное множество решений. Чтобы найти эти решения, во всех уравнениях системы члены с неизвестными х _k₊₁, … , x_k переносят в правую часть. Эти неизвестные называются свободными и придают им произвольные значения. Из полученной треугольной системы находят х₁, … , x_k, которые будут выражаться через свободные неизвестные.

№12. Предел функции в точке и на бесконечности. Геометрическая интерпретация. Определенности и неопределенности, возникающие при нахождении приделов.

Понятие непрерывности функции непосредственно связано с понятием предела функции.

Число A называется пределом функции f в точке a, предельной для множества E, если для любой окрестности V(A) точки A, существует такая проколотая окрестность точки a, что её образ при отображении f является подмножеством заданной окрестности V(A) точки A.

Предел функции f в точке a, предельной для множества E, обозначается так: или , если можно опустить упоминание множества E.

Поскольку каждой окрестности может быть сопоставлена своя правильная (симметричная) окрестность, то определение предела можно сформулировать на языке -δ в том виде, как это принято в математическом анализе:

Предел функции в точке f в точке a, предельной для множества E, непосредственно связан с пределом последовательности.

Будем рассматривать всевозможные последовательности точек множества E, имеющих своим пределом точку a, и соответствующие им последовательности значений функции в точках последовательности. Если предел функции функции f в точке a существует, то этот предел будет пределом каждой последовательности .

Верно и обратное: если все последовательности сходятся к одному и тому же значению, то функция имеет предел, равный данному значению.

Другими словами:

Пределы на бесконечности

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).

Определения, аналогичные «ε−δ»

Пусть задана числовая функция с неограниченной сверху областью определения, то есть и Число называется пределом функции f при (предел в плюс бесконечности), если

Пишут:

Аналогично пусть и Число называется пределом функции f при (предел в минус бесконечности), если

Пишут:

Если пределы в и существуют и равны, то говорят что функция имеет предел в бесконечности:

Число называется пределом функции f при (предел в бесконечности), если

Неопределенность

Неопределенности такого вида возникают при вычислении пределов типа: , если

При этом возможны частные случаи:

1)Числитель и знаменатель дроби - многочлены.

Для вычисления предела необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на множитель, порождающий нуль.

2) Числитель или знаменатель дроби, или оба содержат иррациональность. Для решения примера необходимо освободиться от иррациональности, умножив числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, сократить дробь на множитель, порождающий нуль.

3) Выражение содержит тригонометрические функции. Для решения примера необходимо путем тригонометрических и алгебраических преобразований свести его к первому замечательному пределу.

Неопределенность вида

1) Числитель и знаменатель дроби при - полиномы.

Для раскрытия неопределенности целесообразно числитель и знаменатель разделить на степень с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу.

Неопределенность вида

Для раскрытия этой неопределенности необходимо путем преобразования исходного выражения получить неопределенность вида или , т.е свести к предыдущим случаям

Неопределенность вида

Этот случай нахождения предела функции можно привести к случаю или

путем преобразования функции к виду дроби.

Неопределенность вида

Неопределенности такого вида появляются при решении примеров вида:

, где , или , где , .

Преобразуя выражения, сводим их ко второму замечательному пределу.

№13. Методы нахождения предела функции в точке и на бесконечности. Замечательные пределы.

1. Подстановка: при х®х₀ и х₀Îобласти определения ф-ции f(x), предел ф-ции f(x)= его частному значению при х=х₀

limf(x)=f(x₀)

x®x₀

2. Сокращение: при х®¥ и х®х₀f(x)/g(x)=0/0, то сокращают числитель и знаменатель на множитель, стремящийся к 0.

3. уничтожение иррациональности (* числитель и знаменатель на 1 число).

4.деление на наивысшую степень х: при х®¥ и х®х₀f(x)/g(x)=0/0, то делим числитель и знаменатель на наивысшую степень.

5. Приведение к замечательным пределам:

Сравнение функций

при если

при если существуют интеграл , содержащий точку a, и постоянная M, такие, что

Локально эквивалентные функции:

при если

Некоторые эквивалентности (при ):

Производная функции в точке

Пусть дана определена в окрестности . Рассмотрим

Если этот предел существует, то он называется производной функции f в точке .

Производная функции – предел отн6ошений приращения функции к приращению аргумента, при приращении аргумента .

Операция вычисления или нахождения производной в точке называется дифференцированием.

Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Формулы Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы, т.е. определитель матрицы А

Δ = det (a_ij)

и n вспомогательных определителей Δ_i (i = ), которые получаются из определителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

Δ · x_i = Δ_i (i = ). (1)

Из (1) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы: если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x_i = Δ_i / Δ.

Если главный определитель системы Δ и все вспомогательные определители Δ_i = 0 (i = ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы Δ = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.

det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы совпадает с вектором C = A^-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X = C, C = A^-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

№27. Представление чисел в памяти ЭВМ. Приближенные числа. Погрешность решения вычислительных задач, ее источники.

Существуют два способа представления чисел в памяти ЭВМ. Они называются так: форма с фиксированной точкой и форма с плавающей точкой. Форма с фиксированной точкой применяется к целым числам, форма с плавающей точкой — к вещественным числам (целым и дробным). Под точкой здесь подразумевается знак-разделитель целой и дробной части числа. Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного числа А и заменяющее его в вычислениях. Абсолютной погрешностью или, короче, погрешностью приближенного числа называется разность между этим числом и его точным значением Δx = |x – x0|. Относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу e(x)= Δx/ x0 Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами (источниками): 1. Математическое описание задачи является неточным, в частности, неточно заданы исходные данные описания.2. Применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, и поэтому вместо получения точного решения приходится прибегать к приближенному.3. При выполнении арифметических операций на ЭВМ или любым другим образом, как правило, производятся округления. (Это же относится к вводу чисел в память ЭВМ и выводу полученных результатов.) Погрешности, соответствующие этим причинам, называются: неустранимая погрешность, погрешность метода, вычислительная погрешность.

№28. Прямые вычислительные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод оптимального исключения.

ыва

№29. Итерационные вычислительные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простой итерации.

Рассмотрим систему:

Для неё итерационное вычисление буде т выглядеть так:

Сходимость методу будет осуществлять

Алгоритм:

1. Условие преобразуется к виду , где — сжимающая

2. Задаётся начальное приближение и точность

3. Вычисляется очередная итерация

- Если , то и возврат к шагу 3.

- Иначе и остановка.

№30. Итерационные вычислительные методы решения не линейных уравнений. Метод бисекции. Метод простой итерации.

Методы решения нелинейных уравнений (метод простой итерации, метод Ньютона, модифицированный метод Ньютона, метод секущих). Метод бисекции или метод деления отрезка пополам — простейший численный метод для решения нелинейных уравнений вида f(x)=0. Предполагается только непрерывность функции f(x).

Теорема (Больцано — Коши).Пусть функция , тогда

Следствие.Пусть функция , тогда если , то .

Таким образом, если мы ищем ноль, то на концах отрезка функция должна быть разных знаков. Разделим отрезок пополам и возьмём ту из половинок, для которой на концах функция по-прежнему принимает значения разных знаков. Если серединная точка оказалось искомым нулём, то процесс завершается.Если задана точность вычисления

, то процедуру следует продолжать до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше

.Для поиска произвольного значения достаточно вычесть из значения функции искомое значение и искать ноль получившейся функции. Задача заключается в нахождении корней нелинейного уравнения

Для начала итераций необходимо знать интервал [x_L,x_R] значений x, на концах которого функция принимает значения разных знаков:

Из непрерывности функции f и условия (2) следует, что на интервале [x_L,x_R] существует хотя бы один корень уравнения (в случае наличия нескольких корней метод приводит к нахождению одного из них)Выберем точку внутри интервала

Если f(x_M) = 0, то корень найден. Если

разобьём этот интервал на два [x_L,x_M] и [x_M,x_R]. Теперь найдём новый интервал, в котором функция меняет знак. Пусть

и соответственно корень находится внутри интервала [x_L,x_M]. Тогда обозначим x_R=x_M и повторим описанную процедуру до достижения требуемой точности. За количество итераций N первоначальный отрезок делится в 2^N раз. Метод простой итерации (метод последовательных повторений). Для применения метода простой итерации следует исходное уравнение

преобразовать к виду, удобному для итерации

. Это преобразование можно выполнить различными способами. Функция

называется итерационной функцией. Расчетная формула метода простой итерации имеет вид:

. Теорема о сходимости метода простой итерации. Пусть в некоторой

- окрестности корня

функция

дифференцируема и удовлетворяет неравенству

, где

- постоянная . Тогда независимо от выбора начального приближения из указанной

- окрестности итерационная последовательность не выходит из этой окрестности, метод сходится cо скоростью геометрической последовательности и справедлива оценка погрешности: , .Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности

>0 вычисления следует вести до тех пор пока не окажется выполненным неравенство

. Если величина

, то можно использовать более простой критерий окончания итераций:

.Ключевой момент в применении метода простой итерации состоит в эквивалентном преобразовании уравнения. Способ, при котором выполнено условие сходимости метода простой итерации, состоит в следующем: исходное уравнение приводится к виду

. Предположим дополнительно, что производная

знакопостояна и

на отрезке [a,b]. Тогда при выборе итерационного параметра

метод ходится и значение

Линейные операции над векторами.

В математике различают скалярные и векторные величины. Скалярные величины полностью определяются своим значением, например, температура тела, масса, объем и т.д. Но для силы, скорости, ускорения, кроме величины надо указать еще и направление в пространстве. Такие величины называют векторными. Отметим также, что с математической точки зрения вектором можно назвать любой объект, а не только направленный отрезок. Лишь бы были определены операции их сложения и умножения на число.

Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B, обозначается AB. Будем считать, что два вектора AB и CD равны, если они одинаково направлены и длины отрезков AB и CD равны |CD|=|AB|.

Cвободные векторы это такие векторы, которые можно перемещать параллельно самим себе.

Нулевым называется вектор, начало, и конец которого совпадают.

Длина нулевого вектора равна нулю, и ему можно принимать любое направление.

Длиной или нормой вектора AB называется длина отрезка AB и обозначается |AB|.

Вектор a, длина которого равна 1, называется единичным или ортом.

Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными. Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.

Суммой двух векторов a и b называется вектор b+a.

Суммой конечного числа n векторов a1,a2,…,an называется замыкающий вектор O A n.

Вектор (-b) называется противоположным вектору b, если (−b)||b,||- b||=||b|| и его направление противоположно вектору b.

Разностью двух векторов a и b называется вектор a−b, являющийся суммой векторов a и (-b ).

Произведением вектора a на действительное число α называется вектор b=aα, длина которого |b|=|aα|=|a||α|, а направление совпадает с a, если 0<λ и противоположно a, если 0>α.

Введенные операции сложения векторов и умножения на число называются линейными и обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности:

№2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Базис. Представление векторов в базисе

Линейной комбинацией называется множество векторов вида:

. Исходное множество , .

Теорема: векторное множество будет линейно-независимым, если линейная комбинация этих векторов обращается 0, когда действительные множители равны 0 (ни один из векторов не выражается через другие).

Любые 4 вектора в пространстве линейно независимы.

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой.

Базисом на плоскости называются любые 2 линейно независимых вектора, взятые в определенном порядке.

Базисом в пространстве называются любые 3 линейно независимых вектора, взятые в определенном порядке.

Выражение называется разложением вектора по базису. Числа и называются координатами вектора а в базисе e₁ и e₂.

Основное значение базиса заключается в том, что вместо выполнения линейных операций над векторами можно выполнять операции над их координатами.

№3. Скалярное произведение двух векторов, его свойства. Вычисление в декартовой системе координат.

Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними.

Свойства:

1. Переместительное: ab=ba

2. Ассоциативность:

3. Дистрибутивность:

Вычисление: a*b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

№4. Векторное произведение двух векторов, его свойства, Вычисление в декартовой системе координат. Геометрический смысл.

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям: длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ; между ними *вектор c ортогонален каждому из векторов a и b *вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой. Обозначение:

Геометрически векторное произведение есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах , представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Свойства векторного произведения:1)При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е 2)Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть 3)Векторное произведение обладает распределительным свойством: Если два вектора a и b определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель: или где — символ Леви-Чивиты. Геометрические свойства векторного произведения 1)Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.2)Модуль векторного произведения равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b(см. Рисунок 1)3)Если e — единичный вектор, ортогональный векторам a и b, а S — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула: 4)Если c — какой-нибудь вектор, π — любая плоскость, содержащая этот вектор, e — единичный вектор, лежащий в плоскости π и ортогональный к c, g — единичный вектор, ортогональный к плоскости π и направленный так, что тройка векторов ecg является правой, то для любого лежащего в плоскости π вектора a справедлива формула 5)При использовании скалярного произведения можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение называется смешанным.

№5. Смешанное произведение трех векторов, его свойства. Вычисление в декартовой системе координат. Геометрический смысл.

Смешанным произведенем трех векторов a, b, c называется число, равное векторному произведению (a*b), множенному скалярно на вектор c, то есть (a*b)c. Свойства:

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. (а х b )•с=(b х с)•а=(с х а)•b .

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков вкторного и скалярного умножения, т. е. (ахb )•с=а*(bx с).

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых вух векторов-сомножителей, т. е. abc =-acb , abc =-bac , abc =-cba .

4. Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю огда и только тогда, когда они компланарны. Если abc =0 , то а, b и с— компланарны.

Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение 3-х векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах, т.е. . Таким образом, и . Декарт: =

№6. Матрица. Их виды. Линейные операции над матрицами.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Обычно матрицы представляются двумерными (прямоугольными) таблицами. Квадратной называют матрицу, количество строк в которой равно количеству столбцов. Треугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю. Диагональная матрица — квадратная матрица, все недиагональные элементы которой равны нулю. Обра́тная ма́трица — такая матрица A-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: Нулева́я ма́трица — это матрица, размера mxn, все элементы которой равны нулю. Разреженная — в вычислительной математике матрица, содержащая много нулей. Единичная, Обратная Перестановочная, Симметричная. Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен b_ij = λa_ij. Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен c_ij = a_ij + b_ij Вычитание матриц A − B определяется аналогично сложению, это операция нахождения матрицы C, элементы которой c_ij = a_ij – b_ij

№7. Умножение матриц. Транспонирование матриц.

Транспонирование матриц

Свойства транспонированной матрицы:

1. (A^T)^T=A

2. Линейность: (A+B)^T= A^T+B^T

3. Умножение на число: (xA)^T= x*(A^T)

4. (A*B)^T= B^T*A^T

Умножение матриц

Свойства умножения

1. АB != BA

2. 0A = A0 = 0

3. ABC = A(BC)

4. (A+B)C = AC + BC

Решение:

Элементы матрицы С находятся по следующему алгоритму:

Таким образом, мы получили

То есть мы получили, что

№8. Определители n-го порядка. Их свойства и методы вычисления.

Инверсия - когда большее число стоит перед меньшим.

Св-ва определителей:

1. В определителе строки и столбцы равнозначны.

2. Если все Эл-ты в строке или столбце = 0, то определитель =0.

3. Общий множитель строки или столбца можно выносить.

4. Если в определителе переставить местами 2 строки, то знак определителя изменится на противоположный.

5. Если в определителе 2 одинаковых строки/столбца, то определитель =0.

6. Если в определителе 2 строки пропорциональны, то определитель =0.

7. Определитель можно разложить на сумму.

Минор- определитель полученный из определителя n-го порядка вычеркиванием К каких-то строк и К столбцов.

Теорема Лапласа.

Алгебраическое дополнение – A_ij=(-1)ⁱ⁺^jM_ij

Определитель треугольного вида равен произведению Эл-ов главной диагонали.

№9. Обратная матрица. Ее свойства и методы вычисления.

Определение: А^-1называется обратной матрице А, если выполняются условия A·A^-1= A^-1·A=E

Теорема: если для матрицы А существует обратная, то она единственная.

Первый способ нахождения ОМ:

2) Составляем матрицу С = (A_ij)^T.

Второй способ:

1) Записываем матрицу (А | E).

2) Приводим левую половину к виду единичной матрицы (Е). Матрица, получившаяся справа будет обратной

Для приведения матрицы к виду единичной используются следующие элементарные преобразования:

1. Перемена местами двух любых уравнений;

2. Умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля;

Свойства ОМ:

1) (A^-1)^-1 = А

2) (А·B)^-1 = B^-1·A^-1

№10. Ранг матрицы. Методы его вычисления.

№11. Метод Гаусса для преобразования матрицы. Его применение для решения задач линейной алгебры.

Метод Гаусса применим для систем т линейных уравнений с п неизвестными:

, где x₁ , x₂, …, x_n – неизвестные.

a_i _j - коэффициенты при неизвестных.

b_i - свободные члены (или правые части)

Решения СЛАУ по методу Гаусса состоит из двух этапов.

– Первый этап (прямой ход метода) – система приводится к треугольному виду.

Для приведения матрицы к треугольному виду используются следующие элементарные преобразования:

1. перемена местами двух любых уравнений;

2. умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля;

После данных преобразований должна получиться треугольная матрица вида:

или

Для первой системы просто последовательно находят значения неизвестных, начиная с нижнего уравнения.

Понятие непрерывности функции непосредственно связано с понятием предела функции.

Другими словами:

Пределы на бесконечности

Определения, аналогичные «ε−δ»

Пишут:

Аналогично пусть и Число называется пределом функции f при (предел в минус бесконечности), если

Пишут:

Если пределы в и существуют и равны, то говорят что функция имеет предел в бесконечности:

Число называется пределом функции f при (предел в бесконечности), если

Неопределенность

Неопределенности такого вида возникают при вычислении пределов типа: , если

При этом возможны частные случаи:

1)Числитель и знаменатель дроби - многочлены.

Неопределенность вида

1) Числитель и знаменатель дроби при - полиномы.

Неопределенность вида

Этот случай нахождения предела функции можно привести к случаю или

путем преобразования функции к виду дроби.

Неопределенность вида

Неопределенности такого вида появляются при решении примеров вида:

, где , или , где , .

Преобразуя выражения, сводим их ко второму замечательному пределу.

№13. Методы нахождения предела функции в точке и на бесконечности. Замечательные пределы.

1. Подстановка: при х®х₀ и х₀Îобласти определения ф-ции f(x), предел ф-ции f(x)= его частному значению при х=х₀

limf(x)=f(x₀)

x®x₀

2. Сокращение: при х®¥ и х®х₀f(x)/g(x)=0/0, то сокращают числитель и знаменатель на множитель, стремящийся к 0.

3. уничтожение иррациональности (* числитель и знаменатель на 1 число).

5. Приведение к замечательным пределам:

12 3 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2019-04-19; Просмотров: 192; Нарушение авторского права страницы