Формулы, применяемые при решении иррациональных уравнений.

Пусть f и g - некоторые функции, к- целое число, тогда:

1.

2.

3.

4.

5.

Для каждой из формул 1-5 (без учета указанных ограничений) ОДЗ правой ее части может быть шире ОДЗ левой.

Отсюда следует, что преобразования уравнений с формальным использованием формул 1-5 “слева–направо”, приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного.

В этом случае могут появиться посторонние корни исходного уравнения, поэтому обязательным этапом в решении исходного уравнения является проверка.

Преобразование уравнений с формальным использованием формул  1-5 “справа – налево” недопустимо, т.к. возможно сужение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно и потеря корней.

Так, например, если заменить уравнение  (ОДЗ: ) уравнением  (ОДЗ: ), то произойдет сужение ОДЗ исходного уравнения и потеря корня x=-1.

Пример 4.

a)  <=>  <=>

<=>

<=>  <=> <=>

  <=>  <=>

Ответ: 3; 1,4 .

b)  <=>

<=> <=> <=> x=6,5 ∨ x=-3,5

Ответ: 6,5 ; -3,5.

Решение уравнений с использованием замены переменной.

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример 5.

a )  

Пусть тогда исходное уравнение примет вид:  корни которого y=6 и . Решая уравнение , получаем x=3 и x=-4,5.

Ответ:

В следующих примерах используется более сложная замена переменной.

b )  

Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования:  

  

Замена приводит уравнение к виду  корнями которого являются y=1 и y=-2

Осталось решить совокупность двух уравнений:

<=> <=>  <=> x=0

Ответ: {0}

Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение.

Теорема. Уравнение  , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений  

Пример 6 .

При уравнение принимает вид: которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

Выделить общий множитель часто бывает очень трудно. Иногда это удается сделать после дополнительных преобразований. В приведенном ниже примере для этого рассматриваются попарные разности подкоренных выражений.

Пример 7 .

Если внимательно посмотреть на уравнение, то можно увидеть, что разности подкоренных выражений первого и третьего , а также второго и четвертого членов этого уравнения равны одной и той же величине

В таком случае далее следует воспользоваться тождеством:

Уравнение примет вид:

или

Корень уравнения 2x+4=0 т.е. число x=-2 при подстановке в исходное уравнение дает верное равенство.

Уравнение не имеет решений, так как его левая часть положительна в своей области определения.

Ответ: {-2}.

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: