Устройство и основы теории сейсмоприёмников

Сейсмоприёмник (СП) или геофон (в иностранной литературе) – устройство, воспринимающее механические колебания среды, в которой он установлен, и преобразующее их в электрические колебания (сигнал). Так как механические колебания среды есть непрерывная функция времени (t), то сигнал также является непрерывной функцией t, аналогом механических колебаний. (термин «аналоговый» в сейсморазведке синоним термина «непрерывный во времени»). Для преобразования механических колебаний в электрический сигнал используются следующие физические явления:

- электромагнитная индукция;

- пьезоэлектрический эффект;

- изменение емкости воздушного конденсатора;

- магнитострикционный эффект (точнее – эффект Виллари, обратный магнитострикции).

В наземных и скважинных наблюдениях используются главным образом электромеханические (индукционные) СП, в морской – пьезоэлектрические.

4.1. Индукционные сейсмоприёмники.

       

  Конструктивная схема СП.                Кинематическая схема СП.

Преобразователь представляет собой подвижную (подвешенную на пру­жине с одной степенью свободы) катушку, помещенную в поле постоянного магнита, жестко закрепленного на корпусе. При перемещении катушки изме­няется величина магнитного потока, проходящего через катушку, и на её выводах возникает ЭДС.

4.1.1. Вывод дифференциального уравнения индукционного СП

Корпус СП с помощью штыка жестко закреплен на грунте.

Пусть в результате упругих колебаний корпус СП переместился вверх на расстояние х_к.

Под действием сил инерции инертная масса сместилась вверх на х_М < х_к. Относительное удлинение пружины (перемещение инертной массы относительно корпуса) составляет  x = x_M - x_к                                                 (25)

Примечания:

1. Возникновение ЭДС(и как следствие – электрического сигнала) связано с движением инертной массы: x_M= x_M (t ); x _к = x _к (t ).

2. При рассмотрении движения можно исключить силу начального растяже­ния пружины: при малых смещениях х она полностью уравновешивается силой тяжести.

Движение СП рассмотрим в спектральной области:

~ смещение корпуса           x _к (t ) <=> X _к ( w );

~ смещение катушки         x_M (t ) <=> X_M ( w );

~ относительное смещение х( t ) <=> X ( w );

Движение инертной массы осуществляется при участии следующих сил:

* Сила упругости пружины    f_y ( t ) <=> F_y ( w )

При малой амплитуде колебаний f_y(t) связано с удлинением f_y ( t ) с законом Гука:      f_y ( t ) = - N х( t ) <=> F_y ( w ) = - NX ( w )                      (26)

где N – коэффициент упругости пружины;

Сила f_y ( t ) имеет знак, противоположный знаку х( t ),т.к. стремится восстановить первоначальное состояние пружины.

* Сила инерции    f_n ( t ) <=> F_n ( w )

В соответствии с первым законом Ньютона f_n ( t ) прямо пропорционально ускорению инертной массы и направлена в сторону, противоположную ускорению.

f_n(t)= - М  = - М            (26)

В соответствии с теоремой о спектре производной:

F_n(w) = (j w)²М×[Х( w )+Х_к( w )]                                      (27)

* Сила затухания    f_T(t) <=> F_T(w)

Для гашения собственных колебаний упругой системы СП в неё вводят элемент затухания. Для упрощения рассуждений примем ,что колебания сис­темы {пружина+инертная масса} погружена в вязкую жидкость и на неё действует сила вязкого трения, которая при небольших скоростях перемещения  прямо пропорциональна скорости смещения

f_T(t)= - D                                                              (28)

где D – коэффициент вязкого трения (или коэффициент демпфирования).

Согласно теореме о спектре производной   F_T (ω) = - jω D X(ω)  (29)

Кроме механических сил в СП действует электромагнитная сила, возникающая в схеме индукционного преобразователя.

- Скорость смещения инертной массы ( катушки) относительно магнита . Тогда ЭДС в обмотке:    e =w =       (30)

где w – число витков катушки,

j  - магнитный поток, пронизывающий виток,

 =   – коэффициент электромеханической связи. (31)

- Сила тока, создаваемого ЭДС            i= ,                               (32)

где Z-комплексное сопротивление электрической .цепи (будем полагать чисто активным; Z=R).

- При протекании тока i в катушке преобразователя создаётся электромагнитная сила f_э(t), направленная в сторону, противоположную направления смещения катушки (правило Ленца):

f _э (t)= - w·i                                                 (33)

~ с учётом (31):      f _э (t)= - i

~ заменяя i из(32) и учитывая (30): f _э ( t )= - ²            (34)

~ в спектральной области:   f _э ( t )  <=> F _э( w )= ² X( (35)

= В соответствии с правилом Д’Аламбера уравнение движения инертной массы можно записать как      : f_y ( t ) + f_n ( t ) + f_T ( t ) = f _э ( t ) =0
В частотной области оно будет иметь вид:

    - NX - ( j w )² × ( X + X_k ) × M - j w DX - ( j w ² × X )/ R =0                         (36)
Здесь Х=Х( w ) и Х _k = Х _{k (} w )

~ Разделяя в (36) движение грунта и движение катушки получим:

{ N +( j w )² M +( j w )( D + ² / R )} X = - ( j w )² MX_k = - j w MG   (37)

где G = G(w )= j w X_k ( w ) - спектр скорости смещения корпуса СП.

Т.О.соотношение (37) устанавливает связь между спектром смещения корпуса Х _{k (} w ) или спектром скорости смещения G(w ) и спектром относительного перемещения инертной массыX( w ).

-  Представим полное сопротивление электрической цепи как

R = R ₁ + R ₂                                               (38)

где R₁ - сопротивление преобразователя; R₂ - сопротивление нагрузки.

-   Пусть измеряемой реакцией СП на механическое смещение является падение напряжения U(t) на нагрузке R₂

Т.Е. U ( t ) =   ó U ( w ) = ,где е( t )ó E ( w )

- Из (30) E ( w )=( j w ) Х( w ).Тогда:

U(w)= [( j w ) X ]= [( j w ) X ]                               (39)

Выражая X(w) через U(w) и заменяя в (37)

{( j w )²М+( j w )[ D + ² / R ]+ N } / = - ( j w )М G(w),  или:

{( j w )²М+( j w )[ D + ² / R ]+ N } U(w)= - М G(w) (40)

Выражение(40) в спектральной форме  описывает действие индукцион­ного СП, связывая спектр скорости смещения корпуса ( G ( w )) со спектром снимаемого с нагрузки напряжения ( U (( w )).

 Слагаемые в левой части уравнения(40) можно рассматривать как:
~ ²  / R = D ₁                 -        электрическое демпфирование.  

Тогда можно представить:

~ = _c                         -        коэффициент затухания СП

~ =2 f _{0 c} = w _{0 c} -         частота собственных колебаний СП

~ ( R )/ R =а                  -         ”чувствительность “ СП

Разделив на М левую и правую части выражения (40) можно записать:

[( j w )²+2( j w ) _c+w ² _{0 c} ] U(w)=-а( j w )² G(w)                         (41)

 

4.1.2. Характеристики СП с активной нагрузкой

Из уравнения движения (41)можно получить комплексную частотную характеристику СП (и, следовательно, АЧХ,ФЧХ).

Входной функцией преобразователя СП являются скорость (спектр) скорости смещения корпуса                      g ( t)   ó G ( w ). Выходной функцией – напряжение на активной нагрузке R₂:         u ( t )   ó U ( w ) (cпектр напряжения).

Комплексная частотная характеристика СП:

H_c ( w ) = U ( w )/ G ( w ),     или в соответствии с выражением (41)

H_c ( w ) =   =      (42)

 Обозначим:

n = w ¤ w _0с = f / f _{0 c}    – относительная частота колебаний

b = x_c / w _{0 c} - коэффициент затухания, отнесённый к собственной частоте СП,

Тогда       H_c=                                                         (43)

АЧХ и ФЧХ СП можно получить представив H_c ( w ) как сумму действительной и мнимой части H_c ( w ) = A ( w ) - jB ( w ), соответственно:

АЧХ: | H_c n | =K_c( n )==
ФЧХ: ϰ _c ( n ) = arc tg (B/A)

Опуская громоздкие преобразования можно получить:

÷ H_c ( n ) ç =К_c ( n )= ;                      (44)

ϰ _c ( n )=arc tg ;                                              (45)

АЧХ (44) выражает зависимость отношения спектра электрического на­пряжения U к спектру скорости смещения корпуса G от частоты вынужден­ных гармонических колебаний.

ФЧХ (45) определяет сдвиг фазы напряжения по отношению к фазе ско­рости.

Рассмотрим характер зависимости частотной характеристики от затухания.

Из (44) видно, что:

при n =0:   К_с(0) = 0 (все кривые исходят из начальной координаты),

при n =1:   К_с (1) = a / 2 b ,

при n = ¥ :   К_с( n ) ® a ,   т.к. b << n, то подкоренное выражение в знаменателе равенства (44) (1-2n² + n⁴ + 4n²)= (1+2n²+n⁴)=(1+n²)², при n >>1 выражение  (1+n²)²   стремится к n⁴.

-Экстремальные значения К _c ( n ) можно найти из соотношения  d К _c ( n )/ d n =0:

  n ₁ = 0 (минимальное значение), n ₂ = ;                       (46)

~ Из (46) видно, что так К _c ( n ) является действительной величиной только при  b £ 1

~ Величина   b = 1 / = 0.707 называется оптимальным затуханием.

Графики АЧХ показаны на рисунке ниже:

Выделяется ещё одно – критическое – значение относительного затухания b :

        b = 1 = b _{критическое}             (47)

 

 

Затухание реальных СП выбирается обычно в интервале b _опт < b < b _крит

 

Логарифмическая крутизна АЧХ:

S ( n )=   = ;                       (48)

При n << 1 (т.е. w<<w_0с), то S(n) » 2: это означает, что спектр сигналов, который лежит в этом диапазоне относительных частот, дважды дифференцирован, т.е .U(t) по форме совпадает со второй производной скорости смещения g (t).

При n→1 логарифмическая крутизна S(n) » 1.  Для оценки значения S ( n ) при n>>1 преобразуем выражение (48) 

S ( n ) =  = ;
подставляя в него граничные значения относительного затухания реально используемого интервала b _опт < b < b _крит получим, что S ( n ) ≈ 1. Это означает, выходной сигнал сейсмоприёмника U(t) по форме совпадает со скоростью смещения g (t).

Определим граничные относительные частоты (n_гран) для b ³ b_опт.

~ Из анализа графиков: К _c ( n _max ) = К _c ( ¥ )= a

~ Исходя из условия К _c ( n _гр )=0.707 К _c ( n _max )=0.707a и учитывая ,что 0.707 » ), выражение (44) можно записать как:    n⁴_гр+2(1-2b²) n²_гр-1 = 0

при b_опт= =>   n⁴_гр =1, n_гр=1.

при b_кр=1    =>    n⁴_гр-2n²_гр-1=0 => n_гр»1.56

Фазовые характеристики СП:

Из выражения (45) следует :

                                              (49)

 

Графики фазово-частотных характеристик сейсмоприёмника показаны ниже:

 

- Все фазовые характеристики
пересекаются в точке n=1

- Используя эту особенность
можно определить собствен-­
ную частоту СП: меняя
затухание a найти точку пе
ресечение графиков ϰ(n),
откуда w₀=w.

 

4.1.3. Реакция СП на импульсное воздействие

Для оценки реакции СП на импульсное воздействие получим на основании выражения (42) импульсную реакцию СП (используя Фурье-преобразование f ( t )= F ( w ) e^{j w t} d w).  Преобразуем H(w) в h(t).

h_c (t)= H_c(w) e^jwt dw)=  e^jwtdw (50)

Исследуем полученное выражение.                                               

Возможны два случая:

~ при b < 1 решением (50) будет :

h_c ( t ) = A  sin(w ₁ t + j ₀)  (при t 0)                            (51)

Выражение (51) описывает затухающую синусоиду, затухания определяется экспоненциальной функцией , а быстрота затухания – коэффициентом α _с.

~ при b > 1  решением (50) будет:

 h_c(t)= e + e ]e                  (53)

h_c ( t ) - гранично-апериодическая функция.

4.2. Пьезоэлектрические сейсмоприёмники

В жидкой среде существуют только волны давления и для преобразо­вания механических колебаний в электрический сигнал целесообразно использовать пьезоэлектрический эффект. В пьезокерамическом элементе, ра­ботающим на сжатие или изгиб, на гранях возникают электрические заряды.  Вследствие присущей элементу электрической ёмкости (С) на гранях возникает разность потенциалов U₁, прямо пропорциональная приложенному давлению p:                   U ₁=d × p                                                      (55)

где d - коэффициент, зависящий от вида пьезоэлемента , его конструктив-
   ных особенностей, количества совместно используемых элементов.

Переменное во времени давление в безграничной среде можно предста­вить как                       p ( t ) = r V_pg(t)                                         (56)

   где   r - плотность жидкости;

V _r - cкорость продольных волн в жидкости;

g(t) - скорость относительного перемещения частиц в жидкости.

Эквивалентная схема пьезосейсмоприёмника предствлена ниже:

R-активнаянагрузка

L-индуктивность трасформатора.

 

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: