Оценка случайных погрешностей при многократных измерениях постоянной величины

Если измерения провести многократно в одних и тех же условиях, то результаты отдельных измерений одинаково надежны. Такую совокупность измерений x₁, x₂ ...x_n называют равноточными измерениями.

При многократных (равноточных) измерениях одной и той же величины x случайные погрешности приводят к разбросу получаемых значений x_i, которые группируются вблизи истинного значения измеряемой величины Если проанализировать достаточно большую серию равноточных измерений и соответствующих случайных ошибок измерений, то можно выделить четыре свойства случайных ошибок:

1) число положительных ошибок почти равно числу отрицательных;

2) мелкие ошибки встречаются чаще, чем крупные;

3) величина наиболее крупных ошибок не превосходит некоторого определенного предела, зависящего от точности измерения;

4) частное от деления алгебраической суммы всех случайных ошибок на их общее количество близко к нулю, т.е.

На основе перечисленных свойств при учете некоторых допущений математически достаточно строго выводится закон распределения случайных ошибок, описываемый следующей функцией:

Закон распределения случайных ошибок является основным в математической теории погрешностей. Иначе его называют нормальным законом распределения измеряемых данных (распределением Гаусса). Этот закон в виде графика изображен на рис. 4.3 а.

 

а)                            б)

Рис. 4.3. Характеристики нормального закона распределения

р(x) – плотность вероятности получения отдельных значений x_i (сама вероятность изображается площадью под кривой);

m – математическое ожидание, наиболее вероятное значение измеряемой величины x (соответствующее максимуму графика), стремящееся при бесконечно большом числе измерений к неизвестному истинному значению x; , где n – число измерений. Таким образом, математическое ожидание m определяется как среднее арифметическое от всех значений x_i,

s – среднее квадратическое отклонение измеряемой величины x от значения m;  (x_i - m) – абсолютное отклонение x_i от m,

 

Площадь под кривой графика в каком-либо интервале значений x представляет собой вероятность получения случайного результата измерения в этом интервале. Для нормального распределения в интервал ±s (относительно m) попадают 0,62 всех проведенных измерений; в более широком интервале ±2s содержатся уже 0,95 всех измерений, а в интервал ±3s укладываются практически все результаты измерений (кроме грубых ошибок).

Среднее квадратическое отклонение s характеризует ширину нормального распределения. Если повысить точность измерения, разброс результатов резко уменьшится за счет уменьшения s (распределение 2 на рис. 4.3 б уже и острее, чем кривая 1).

Конечной целью эксперимента является определение истинной величины x, к которой при наличии случайных погрешностей можно лишь приблизиться, вычисляя математическое ожидание m для все большего числа экспериментов.

Разброс значений математического ожидания m, вычисленных для различного числа измерений n характеризуется величиной s_m;  При сравнении с формулой для s видно, что разброс величины m, как средней арифметической, в Ön меньше разброса отдельных измерений x_i. Приведенные выражения для s_m и s отражают закон возрастания точности при росте числа измерений. Из него следует, что для повышения точности измерений в 2 раза необходимо сделать вместо одного - четыре измерения; чтобы повысить точность в 3 раза, нужно увеличить число измерений в 9 раз и т.д.

Для ограниченного числа измерений значение m все же отличается от истинного значения величины x, поэтому наряду с вычислением m необходимо указать доверительный интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение x. Для технических измерений вероятность 0,95 считают достаточной, поэтому доверительный интервал при нормальном распределении составляет ±2s_m. Нормальное распределение справедливо для количества измерений n ³ 30.

В реальных условиях технический эксперимент редко проводится более 5 – 7 раз, поэтому недостаток статистической информации должен компенсироваться расширением доверительного интервала. В этом случае при (n < 30) доверительный интервал определяется как ± k_ss_m, где k_s – коэффициент Стьюдента, определяемый по справочным таблицам

С уменьшением числа измерений n коэффициент k_s увеличивается, что расширяет доверительный интервал, а при увеличении n значение k_s стремится к 2, что соответствует доверительному интервалу нормального распределения ± 2s_m.

Конечный результат многократных измерений постоянной величины всегда приводится к виду: m ± k_ss_m .

Таким образом, для оценки случайных погрешностей необходимо выполнить следующие операции:

1). Записать результаты x₁, x₂ ...x_n многократных измерений n постоянной величины;

2). Вычислить среднее значение из n измерений – математическое ожидание ;

3). Определить погрешности отдельных измерений х_i -m;

4). Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений (х_i -m)²;

если несколько измерений резко отличаются по своим значениям от остальных измерений, то следует проверить не являются ли они промахом (грубой ошибкой). При исключении одного или нескольких измерений п.п. 1...4 повторить;

5). Определяется величина s_m – разброс значений математического ожидания m;

6). Для выбранной вероятности (обычно 0,95) и числа проведенных измерений n определяется по справочной таблице коэффициент Стьюдента k_s;

7). Определяются границы доверительного интервала ± k_ss_m

8). Записывается окончательный результат m ± k_ss_m.

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: