Оценка инструментальных погрешностей однократных технических измерений

Инструментальные погрешности устранить в принципе невозможно. Все средства измерения основаны на определенном методе измерения, точность которого конечна. Погрешность прибора определяется точностью деления шкалы прибора. Так, например, если шкала линейки нанесена через 1 мм, то точность отсчета (половина цены деления 0,5 мм) не изменить, если применить лупу для рассматривания шкалы.

Различают абсолютную и относительную погрешности измерения.

Абсолютная погрешность D измеряемой величины x равна разности измеренного и истинного значений:

D = x - x_ист.                                                           (4.6)

Относительная погрешность e измеряется в долях от найденной величины x:

.                                                                   (4.7)

Для простейших средств измерения – измерительных инструментов абсолютная погрешность измерения D равна половине цены деления. Относительная погрешность определяется по формуле (4.7).

Для измерительных приборов в зависимости от характера полосы погрешностей тарировки возможны следующие случаи:

а). Класс точности прибора указан на шкале в числа e_s, обведенного в круглую рамку. Тогда абсолютная погрешность результата D определяется как доля e_s ,%, от показания стрелки прибора x:

                                                              (4.8)

Относительная погрешность результата, %:

                                                                  (4.9)

б) Класс точности прибора указан на шкале в виде значения e_o без рамки. Тогда абсолютная погрешность результата измерений D определяется как доля e_o, %, от всей шкалы (диапазона) прибора x_д:

                                                          (4.10)

Относительная погрешность измерения, %, находится по формуле

                                                       (4.11)

в). В паспортных данных приводится формула для предельной допускаемой погрешности e, в %:

                                                    (4.12)

Абсолютная погрешность результата

.                                                            (4.13)

В тех случаях, когда выполняются косвенные измерения, искомая величина x определяется по формуле, в которую входят значения непосредственно измеряемых величин. Относительная погрешность e_k косвенного измерения определяется как среднее квадратическое предельных относительных погрешностей отдельных измерений

,                  (4.14)

где x₁, x₂,… x_n – измеренные значения, по которым вычисляется искомая величина x.

Абсолютная погрешность косвенного измерения определяется по формуле

                                                           (4.15)

Правила округления чисел

Величина погрешности результата измерений физической величины дает представление о том, какие цифры в числовом значении измеряемой величины сомнительны. Поэтому результаты измерений следует округлять перед тем, как производить с ними дальнейшие вычисления.

При округлении и последующей записи результатов измерения необходимо определять значащие цифры данного числа – это все цифры от первой слева, не равной нулю, до последней записанной цифры справа. При этом нули, следующие из множителя 10ⁿ, не учитываются.

Примеры: 1. Число 12,0         имеет три значащие цифры;

             2. Число 30                      две значащие цифры;

             3. Число 120·10³              три значащие цифры;

             4. Число 0,514·10           три значащие цифры;

              5. Число 0,0056               две значащие цифры.

Следует различать записи приближенных чисел по количеству значащих цифр.

Примеры:

1. Следует различать цифры 2,4 и 2,40:

– запись 2,4 означает, что верны только цифры целых и десятых; истинное значение числа может быть, например, 2,43 и 2,38.

– запись 2,40 означает, что верны и сотые доли числа; истинное значение числа может быть 2,403 и 2,398, но не 2,421 и не 2,382.

2. Запись 272 означает, что все цифры верны; если за последнюю цифру ручаться нельзя, то число должно быть записано 2,7·10².

3. Если в числе 4720 верны лишь две первые цифры, оно должно быть записано 47·10² или 4,7·10³.

Число, для которого указывается допускаемое отклонение, должно иметь последнюю значащую цифру того же разряда как и последняя значащая цифра отклонения.

Примеры:

Правильно:                                                     Неправильно:

1. 17,0 ± 0,2                                                17 ± 0,2 или 17,00 ± 0,2

2. 12,13 ±0,17                                             12,13 ± 0,2 или 12,1 ± 0,17

3. 46,40 ± 0,15                                             46,4 ± 0,15 или 46,402 ± 0,15

Округление числа представляет собой отбрасывание значащих цифр справа до определенного разряда с возможным изменением цифры этого разряда.

Пример: округление числа 132,48 до четырех значащих цифр будет 132,5.

В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не меняется.

Пример: округление числа 12,23 до трех значащих цифр дает 12,2.

В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) равна 5 или больше 5, сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Пример: округление числа 0,145 до двух значащих цифр дает 0,15.

Примечание. В тех случаях, когда следует учитывать результаты предыдущих округлений, поступают следующим образом:

1) если отбрасываемая цифра получилась в результате предыдущего округления в большую сторону, то последняя сохраняемая цифра не меняется (с переходом при необходимости в следующий разряд).

Пример: округление до одной значащей цифры числа 0,15 (полученного после округления числа 0,149) дает 0,1.

2) если отбрасываемая цифра получилась в результате предыдущего округления в меньшую сторону, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу (с переходом, при необходимости, в следующий разряд).

Пример: округление числа 0,25 (полученного в результате предыдущего округления числа 0,252) дает 0,3.

Округление следует выполнять сразу до желаемого количества значащих цифр, а не по этапам.

Пример: округление числа 565,46 до трех значащих цифр дает 565.

Округление по этапам:

I этап – 565,46 округляем до 565,5;

II этап – 565,5 округляем до 566 (ошибочно).

 

 

ЛЕКЦИЯ 8

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

План лекции

5.1. Планирование эксперимента как наука

5.2. Основные понятия теории планирования эксперимента

5.3. Метод наименьших квадратов

Планирование эксперимента как наука

На современном этапе развития науки и техники пристальное внимание ученых и инженеров уделяется тому, как лучше и эффективнее проводить эксперимент. Этот этап характеризуется существенным усложнением объектов исследования и используемого экспериментального оборудования; тенденцией к удлинению среднего времени экспериментирования и удорожанию исследований; необходимостью всемерного увеличения эффективности и улучшения качества проводимых исследований.

Долгое время считалось, что математик может вмешиваться в работу экспериментатора только на последнем этапе – при обработке результатов законченного опыта. Выбор стратегии эксперимента целиком определялся интуицией исследователя – этот процесс оставался неформализованным, лишь совсем недавно задача была сформулирована иначе. Было показано, что эффективность исследования может быть резко повышена, если математик примет участие в самом начале работы, планируя эксперимент. Теперь часто даже утверждается, что мало полезной информации можно извлечь из результатов эксперимента, если он был поставлен без консультации с математиком-специалистом по планированию эксперимента.

Теория планирования эксперимента началась с работ английского ученого Р. Фишера в 30-х годах XX столетия, использовавшего ее для решения агробиологических задач.

Планирование эксперимента состоит в выборе числа и условий проведения опытов, позволяющих получить необходимые знания об объекте исследования с требуемой точностью. Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.

Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов, при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

Эксперименты обычно ставятся небольшими сериями по заранее составленному алгоритму, оптимальному в некотором строго сформулированном смысле. После каждой небольшой серии опытов производится обработка результатов наблюдений и принимается строго обоснованное решение о том, что делать дальше. При выборе алгоритма планирования эксперимента, естественно, учитывается цель исследования, так и априорная информация о механизме изучаемого явления. Эта информация всегда бывает неполной, за исключением, может быть, тривиального случая – демонстрационных опытов. Критерий оптимальности планирования выбирается так, чтобы он хорошо соответствовал интуитивным представлениям экспериментаторов.

В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели, возникают погрешности, и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.

При этом важнейшим условием научно поставленного эксперимента является минимизация общего числа опытов, а следовательно, и затрат материальных, трудовых и временных ресурсов. Уменьшение числа опытов, конечно, не должно существенно отражаться на качестве полученной информации. Общая направленность теории планирования эксперимента может быть сформулирована следующим образом – «меньше опытов – больше информации – выше качество результатов».

Таким образом, использование теории планирования эксперимента обеспечивает:

1) минимизацию, т.е. предельное сокращение необходимого числа опытов;

2) одновременное варьирование всех факторов;

3) выбор четкой стратегии, что позволяет принимать обоснованные решения после каждой серии опытов;

4) минимизацию ошибок эксперимента за счет использования специальных проверок.

 

5.2. Основные понятия теории планирования эксперимента

Как правило, любой объект исследования (носитель некоторых неизвестных и подлежащих изучению свойств или качеств) можно представить в виде «черного ящика» с определенным количеством входов и выходов (рис. 5.1.).

 

Рис. 5.1. Структурная схема объекта исследования

 

Входные переменные Х_i, i = 1, 2,…k (где k – число переменных), определяющие состояние объекта называются факторами. Фиксированное значение фактора называют уровнем фактора. Основное требование к факторам достаточная управляемость, под которой понимается возможность установить нужный уровень фактора и стабилизировать его в течение всего опыта.

Выходная переменная Y_g (обычно g = 1) – это реакция объекта на входные воздействия; она носит название отклика, а зависимость

Y = f(X₁, X₂, …X_i,…X_k)                                                (5.1)

называется функцией отклика или цели. Обычно о характере этой зависимости имеется лишь общее представление. Выбор функции отклика определяется целью исследования, которая может представлять собой оптимизацию экономической (стоимость, производительность), технологической (точность, быстродействие), конструктивной (габариты, надежность) или другой характеристики объекта.

Геометрическое представление функции отклика в факторном пространстве Х₁, Х₂, …, Х_k называется поверхностью отклика

Если исследуется влияние на Y лишь одного фактора Х₁, то нахождение функции отклика – достаточно простая задача. Задавшись несколькими значениями этого фактора, в результате опытов получаем соответствующие значения Y и график Y =F(X) (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Построение функции отклика одной переменной по опытным данным

По его виду можно подобрать математическое выражение функции отклика. Если нет уверенности, что опыты хорошо воспроизводятся, то обычно опыты повторяют несколько раз и получают зависимость с учетом разброса опытных данных.

Если факторов два, то необходимо провести опыты при разных соотношениях этих факторов. Полученную функцию отклика в 3^х-мерном пространстве (рис. 5.3) можно анализировать, проводя ряд сечений с фиксированными значениями одного из факторов (рис. 5.3). Вычлененные графики сечений можно аппроксимировать совокупностью математических выражений.

Рис. 5.3. Сечения поверхности отклика при фиксированных откликах (а) и переменных (б, в)

При трех и более факторах задача становится практически неразрешимой рассматриваемым графическим методом. В этом случае для нахождения и анализа функции отклика используются математические методы.

Истинный вид функции отклика (5.1) до эксперимента чаще всего неизвестен, в связи с чем, для математического описания поверхности отклика используется статистическая модель процесса

Y_р = f(X₁, X₂, …X_i,…X_k).                                                          (5.2)

Уравнение (5.2) получают в результате эксперимента и называют аппроксимирующей функцией или регрессионной моделью процесса. Под аппроксимацией понимают замену точных аналитических выражений приближенными. В качестве уравнения регрессии обычно используют полином некоторой степени. Причем наибольшее распространение в инженерных расчетах получили полиномы первого и второго порядка, так как необходимая точность расчетов обычно весьма невелика (порядка 5 – 15 %).

Например, при k = 1 полином n-ой степени имеет вид

,

при k = 2 и n = 1, обычно записывается в виде

,

где a₀, a₁, a₂,…a_n – неизвестные коэффициенты регрессии, которые вычисляются на основании результатов эксперимента. Члены, содержащие произведения X₁X₂, X₂X₃ и т.д., называют членами, отражающими попарное взаимодействие факторов, члены X₁X₂X₃ – членами тройного взаимодействия, и т.д.

Каждый коэффициент характеризует роль соответствующей переменной в процессе или силу влияния факторов. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает этот фактор. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора отклик увеличивается, а если минус – уменьшается.

Задавшись некоторым сочетанием факторов X_ij (здесь i = 1, 2,…k – номер фактора, j =1, 2, …N – номер опыта), проведем первый опыт (j = 1) и получим функцию отклика Y_j = Y₁ при принятых значениях факторов (см. табл. 5.1).

Таблица 5.1

№ опыта	Значения функции отклика	Значения факторов
1	Y1	X11	X21	…	Xi1	…	Xk1
2	Y2	X12	X22	…	Xi2	…	Xk2
…	…	…	…	…	…	…	…
j	Yj	X1j	X2j	…	Xij	…	Xkj
…	…	…	…	…	…	…	…
N-1	YN-1	X1,N-1	X2,N-1	…	Xi,N-1	…	Xk,N-1
N	YN	X1,N	X2,N	…	Xi,N	…	Xk,N

 

Затем возьмем другое сочетание факторов и вновь поставим опыт. В результате зафиксируем отклик Y₂, соответствующий этому сочетанию и т.д. По результатам каждого опыта путем подстановки X_ij и Y_j в уравнение регрессии можно записать одно уравнение, в котором коэффициенты аппроксимирующего полинома неизвестны. Если число опытов совпадает с числом коэффициентов в аппроксимирующем полиноме, можно составить систему уравнений, решение которой дает значения искомых коэффициентов. В этом случае значения отклика Y, вычисленные по уравнению регрессии в точках эксперимента точно совпадают с их экспериментальными значениями. Кроме того, в силу конечного числа членов аппроксимирующего полинома расхождение между истинным и приближенным значениями функции отклика вне экспериментальных точек может быть значительным. В связи с изложенным возникает задача нахождения такого вида полинома и такого количества опытов, чтобы удовлетворялся некоторый критерий. Обычно в качестве критерия принимают сумму квадратов отклонений экспериментальных значений Y_j от их расчетного значения Y_jр. Наилучшим приближением аппроксимирующей функции к истинной считается функция, удовлетворяющая условию минимума этой суммы.

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: