Множество действительных чисел.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Множество действительных чисел.

I .Аксиомы сложения.

1. - переместительный.

2. - сочетательный.

3. - существует «0».

4. - существует противоположное число.

II . Аксиомы умножения.

1. - - переместительный.

2. - сочетательный.

3. - существует «1».

4. - существует обратное число.

5. - распределительный.

III . Аксиомы порядка.

1. Если , то или .

2. Если и , то .

3. Если , то .

4. Если и , то .

IV . Аксиома Архимеда.

1. Для любого существует , удовлетворяющее неравенству .

V . Аксиома непрерывности.

1. Для всякой системы вложенных числовых отрезков, стремящихся к нулю, существует единственное число, принадлежащее всем отрезкам данной системы.

Теорема о точной грани ограниченного множества

Теорема. Всякое ограниченное сверху не пустое множество имеет точную верхнюю грань.

Доказательство. Внутри множества возьмем произвольную точку и Отрезок пополам и выбираем правый из половинок, отрезок обозначаем . Разбиваем отрезок пополам . Продолжая разбиения получим систему вложенных отрезков, длина которых стремится к нулю. Действительно,

Полученная система вложенных отрезков, стремящихся к нулю, в соответствие с аксиомой V, имеет общую точку .

Понятие числовой последовательности. Ее предел

Определение. Числовая последовательность – бесконечное множество пронумерованных чисел.

; ; ; ; .

Определение*. Числовая последовательность – функция, заданная на множестве натуральных чисел.

Определение. Последовательность неубывающая, если

Определение. Последовательность ограничена сверху, если

Определение. Последовательность не ограничена сверху, если (отрицание к предыдущему определению)

Определение. Число называется пределом последовательности , если

Это записывается

Определение*. , если

Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.

Теорема. Если имеет предел, то он единственный.

Доказательство. Пусть имеет два предела и . Возьмем

Мы получили, что начиная с номера , который больше и , все члены последовательности лежат в окрестности точки и в окрестности точки . Противоречие, т.к. окрестности точек и не пересекаются. Теорема доказана.

Теорема. Если имеет конечный предел, то она ограничена.

Доказательство. Пусть . Возьмем найдем Из последнего неравенства следует

Пусть наибольшее среди чисел … , Тогда превосходит модуль всех членов нашей последовательности, т.е. последовательность ограничена. Теорема доказана.

Определение. Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся последовательностью или фундаментальной последовательностью.

Теорема о зажатой функции.

Теорема. (О зажатой функции). Если и на некоторой окрестности ,тогда .

Классификация точек разрыва. Примеры

Разрывы бывают устранимые и неустранимые. Отличают неустранимые разрывы первого и второго рода.

Функция в точке имеет устранимый разрыв, если предел слева равен пределу справа и не равен значению функции в точке . Такой разрыв можно устранить, изменив значение функции в одной точке. Пример: .

Функция в точке имеет неустранимый разрыв первого рода, если конечный предел слева не равен конечному пределу справа. Пример: .

Функция в точке имеет неустранимый разрыв второго рода, если хотя бы один из пределов не существует или равен . Примеры: ; .

Замечательные пределы.

- первый замечательный предел.

Используя тригонометрический круг, определение синуса и тангенса, а также неравенство , можно при записать выражение . Разделим его на и получим . По теореме о зажатой функции имеем .