Эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне.

Теорема. Определения по Коши и по Гейне эквивалентны.

Пример. Доказать по определению .

Запишем определение: . Когда значения нашей функции принадлежат , аргумент принадлежит интервалу . Нам необходимо найти максимальный размер окрестности принадлежащий указанному интервалу. Окрестность - интервал симметричный относительно числа 2. Используя график функции и изображения окрестностей, находим, что .

Критерий Коши существования предела функции.

Теорема. (Критерий Коши). Для того, чтобы существовал конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы была определена в некоторой окрестности точки , быть может кроме самой этой точки, и

Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел.

Теорема. Если , где - конечное число, то на некоторой окрестности -ограничена, то есть .

Доказательство. Пусть , тогда . Преобразуем последнее неравенство: . Отсюда имеем, что для любого , т.е. функция ограничена числом . Теорема доказана.

Теорема о сохранении знака функции, имеющей конечный предел

Теорема. (О сохранении знака). Если , где - конечное число, то на некоторой окрестности , если , и , если .

Доказательство.Пусть , тогда . Последнее неравенство запишем в виде: . Если , то из левого неравенства имеем . Если , то из правого неравенства имеем . Теорема доказана.

Теорема о зажатой функции.

Теорема. (О зажатой функции). Если и на некоторой окрестности ,тогда .

Непрерывность функции. Непрерывность сложной функции

Определение. Функция непрерывна в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе и в самой тоске , и если , т.е. .

Из определения следует, что для непрерывной функции справедливо равенство:

, то есть предел можно вносить в аргумент непрерывной функции.

Определение*. Функция непрерывна в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе и в самой тоске , и если ее приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента , стремится к нулю при , т.е. .

Теорема. Если и непрерывны в точке , то непрерывны их сумма, разность, произведение и частное.

Теорема. (О непрерывности сложной функции). Пусть задана функция , непрерывная в точке , и функция , непрерывная в точке , и пусть . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Классификация точек разрыва. Примеры

Разрывы бывают устранимые и неустранимые. Отличают неустранимые разрывы первого и второго рода.

Функция в точке имеет устранимый разрыв, если предел слева равен пределу справа и не равен значению функции в точке . Такой разрыв можно устранить, изменив значение функции в одной точке. Пример: .

Функция в точке имеет неустранимый разрыв первого рода, если конечный предел слева не равен конечному пределу справа. Пример: .

Функция в точке имеет неустранимый разрыв второго рода, если хотя бы один из пределов не существует или равен . Примеры: ; .

Замечательные пределы.

- первый замечательный предел.

Используя тригонометрический круг, определение синуса и тангенса, а также неравенство , можно при записать выражение . Разделим его на и получим . По теореме о зажатой функции имеем .