Режим модуляции добротности.

Время  , Если  - получается «пичковый» режим генерации.

Режим синхронизации мод.

 

 

Это определяет поле на выходе лазера.

На выходе получается динамический режим – последовательность коротких импульсов. Каждая из мод приобретает боковые частоты, которые взаимодействуют и происходит энергообмен, моды «завязываются» по фазе.

 

Основные уравнения лазерной генерации.

Уравнения для электромагнитных колебаний.

Свет- электромагнитная волна, описывается уравнениями Максвелла.

(в нашем случае нет заряда, поэтому =0, нет магнитных зарядов - =0)

Волновое уравнение:

 

 

Вектор смещения , где -поляризация среды

 

Волновое число q-й моды:

, Компоненты -ортогональны

Скалярное произведение:

=>

Физический смысл случая, когда q=l: математическое условие ортогональности означает отсутствие обмена энергии между модами => они не взаимодействуют, они независимы.

Т.к. моды ортогональны, то любое поле в резонаторе можно представить как совокупность мод (линейная комбинация):

1. ,

2.

3.

Умножим данное выражение на  и проинтегрируем ( ):

( - скалярное произведение- проекция, т.е. только поляризация которая проектируется на моду, q-ю моду «расшатывает» не вся поляризация, а только ее проекция на q-. моду)

Канонический вид:

, где - проекция поляризации на q-ю моду

- время жизни фотона в резонаторе

- частота моды.

 

Уравнения для поляризации и инверсии населенностей.

Основные положения квантовой механики.

Уравнение Шредингера в стационарном режиме:

 - задача на собственные функции и собственные значения.

Где - гамильтониан, -энергия состояния.

, -кинетическая энергия, U- потенциальная энергия. Операторное представление:  -кинетическая энергия  - радиус-вектор - импульс - поляризация.

Дипольный момент.

 

Наблюдаемая величина – дипольный момент . Если нас интересует среднее значение величины, то:

,

Все состояния описываются волновыми функциями, они либо четные, либо нечетные.

Если  , =0, , , .

Если частица в состоянии 11 или 22, то она не излучает, если в 12 или 21- излучение происходит только при переходе из одного состояния в другое.

 

Энергия.

, ,

, ,

4. Эрмитовы операторы:

,

5. Принцип суперпозиции:

Система описывается: -плотность вероятности и -вероятности обнаружить систему в состоянии 1 и 2 соответственно.

6. Значение дипольного момента:

, но =0, =0 , следовательно:

, где и -матричные элементы.

Если состояние определяется (состояний может быть много):

…

Среднее по i состояниям:

, где - вероятность i-го состояния.

Выражение -величина, которая содержит 2 усреднения: по квантово-механическому состоянию и по ансамблю (i)

Получаем:

=

ρ- учитывает не только квантово-механическое, но и термодинамическое состояние системы.

-матрица плотности. Она описывает ансамбль микрочастиц.

-вероятность того, что любая частица находится в 1 состоянии в ансамбле. ( -вероятность, что можно получить i-е состояние, - вероятность обнаружения 1 частицу в 1 квантовом состоянии)

- квантово-механическое среднее

- усреднение по ансамблю

 - след матрицы (spur)

, =

=

Инверсия.

Для получения динамического уравнения для поляризации необходимо знать какому уравнению подчиняются  и

Обоснуем уравнение движения для матрицы плотности:

( )  (из уравнения Шредингера находим с_m и с_n , далее находим )

1) Уравнение Шредингера для динамической системы.

 -уравнение движения

 , в уравнение подставляем  как линейную суперпозицию и получаем уравнения для с₁ и с₂ в отдельности.

 подставляем в уравнение:

, получаем  (произведение матриц)

- коммутатор.

-Уравнение движения матрицы плотности.

Поляризация.

Поляризация P (сумма дипольных моментов в единице объема)

P=N_общ , где:

-оператор дипольного момента

- средняя величина квантово-механическая

- средняя величина по ансамблю

N_общ – число частиц в единице объема

=

-гамильтониан, оператор полной энергии.

,  - может быть 2 состояния,  и .

В общем случае , где -без взаимодействия, -дипольное взаимодействие.

,

Энергия взаимодействия :  ,

Гамильтониан всей системы: =

Уравнение для каждого матричного элемента матрицы плотности:

 ,

N₁=N_общ , N₂=N_общ  , ,

Если посмотреть на уравнения 1 и 2, то при поле =0 населенности должны остаться теми же, как и во время генерации.

«От руки» мы должны дописать слагаемое – релаксационные члены (в отсутствии поля генерации)

где Т1 –время продольной релаксации,  Т2 –время поперечной релаксации.

Уравнения учитывают релаксационные члены.

Надо получить уравнение для поляризации и инверсии населенностей.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: