Постулаты Эйнштейна в специальной теории относительности

Решающий вклад в создание специальной, а затем и общей теории относительности был внесен Альбертом Эйнштейном. В 1905 году в журнале «Аннален фюр физик» 26-летний, никому неизвестный служащий швейцарского патентного бюро Альберт Эйнштейн опубликовал небольшую 3-страничную статью «К электродинамике движущихся сред». По утверждениям историков физики, о результатах опытов Майкельсона-Морли он не слышал.

Концепция Эйнштейна позволяет отказаться от существования эфира и построить теорию, называемую ныне специальной теорией относительности (СТО) и и подтверждаемая всеми известными сегодня опытами.

В основе СТО лежат два постулата.

1. «Принцип постоянства скорости света».

Скорость света не зависит от скорости движения источника света, одинакова во всех инерциальных системах координат, и равна в вакууме с=3 ×10⁸ м/с.

Позднее, в общей теории относительности (ОТО), опубликованной в 1916 году, утверждалось, что скорость света остается неизменной и в неинерциальных системах координат.

1. Специальный принцип относительности.

Законы природы одинаковы (инвариантны, ковариантны) во всех инерциальных системах координат.

Эйнштейн позднее писал:

«Во всех инерциальных системах координат законы природы находятся в согласии. Физической реальностью обладает не точка пространства и не момент времени, когда что-либо произошло, а только само событие. Нет абсолютного (независимого от пространства отсчета) соотношения в пространстве, и нет абсолютного соотношения во времени, но есть абсолютное (независимое от пространства отсчета) соотношение в пространстве и времени» (подчеркнуто Эйнштейном).

Позднее Эйнштейн утверждал справедливость и этого постулата для всех, в том числе и неинерциальных, систем отсчета.

В математическом аппарате СТО используется четырехмерный xyzt пространственно-временной континуум (пространство Минковского) и преобразования координат Лоренца, как математическое отражение объективно существующих в материальном мире фактов.

Предположение об абсолютности скорости света приводит к целому ряду следствий, необычных и не наблюдаемых в условиях механики Ньютона. Одно из следствий постоянства скорости света состоит в отказе от абсолютного характера времени, который был привит в механике Ньютона. Нужно теперь допустить, что время течет по-разному в разных системах отсчета — события, одновременные в одной системе, окажутся неодновременными в другой.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета K и K', движущиеся относительно друг друга. Пусть в темной комнате, движущейся с системой K', вспыхивает лампа. Поскольку скорость света в системе K' равна (как и во всякой системе отсчета) c, то свет достигает обеих противоположных стен комнаты одновременно. Не то будет происходить с точки зрения наблюдателя в системе K. Скорость света в системе K также равна c, но так как стены комнаты движутся по отношению к системе K, то наблюдатель в системе K обнаружит, что свет коснется одной из стен раньше, чем другой, т.е. в системе K эти события являются неодновременными.

Таким образом, в механике Эйнштейна относительны не только свойства пространства, но и свойства времени.

34. Преобразования Лоренца

Классические преобразования Галилея несовместимы с постулатами СТО и, следовательно, должны быть заменены. Эти новые преобразования должны установить связь между координатами (x, y, z) и моментом времени t события, наблюдаемого в системе отсчета K, и координатами (x', y', z') и моментом времени t' этого же события, наблюдаемого в системе отсчета K'.

Кинематические формулы преобразования координат и времени в СТО называются преобразованиями Лоренца. Они были предложены в 1904 году еще до появления СТО как преобразования, относительно которых инвариантны уравнения электродинамики. Для случая, когда система K' движется относительно K со скоростью υ вдоль оси x, преобразования Лоренца имеют вид:

K' → K K → K' β = υ / c.

Из преобразований Лоренца вытекает целый ряд следствий. В частности, из них следует релятивистский эффект замедления времени и лоренцево сокращение длины. Пусть, например, в некоторой точке x' системы K' происходит процесс длительностью τ₀ = t'₂ – t'₁ (собственное время), где t'₁ и t'₂ – показания часов в системе K' в начале и конце процесса. Длительность τ этого процесса в системе K будет равна

Аналогичным образом, можно показать, что из преобразований Лоренца вытекает релятивистское сокращение длины. Одним из важнейших следствий из преобразований Лоренца является вывод об относительности одновременности. Пусть, например, в двух разных точках системы отсчета K' (x'₁ ≠ x'₂) одновременно с точки зрения наблюдателя в K' (t'₁ = t'₂ = t') происходят два события. Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдатель в системе K будет иметь

Следовательно, в системе K эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются неодновременными. Более того, знак разности t₂ – t₁ определяется знаком выражения υ(x'₂ – x'₁), поэтому в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Этот вывод СТО не относится к событиям, связанным причинно-следственными связями, когда одно из событий является физическим следствием другого. Можно показать, что в СТО не нарушается принцип причинности, и порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

Относительность одновременности пространственно-разобщенных событий можно проиллюстрировать на следующем примере.

Пусть в системе отсчета K' вдоль оси x' неподвижно расположен длинный жесткий стержень. В центре стержня находится импульсная лампа B, а на его концах установлены двое синхронизованных часов (рис. 4.4.1(a)), система K' движется вдоль оси x системы K со скоростью υ. В некоторый момент времени лампа посылает короткие световые импульсы в направлении концов стержня. В силу равноправия обоих направлений свет в системе K' дойдет до концов стержня одновременно, и часы, закрепленные на концах стержня, покажут одно и то же время t'. Относительно системы K концы стержня движутся со скоростью υ так, что один конец движется навстречу световому импульсу, а другой конец свету приходится догонять. Так как скорости распространения световых импульсов в обоих направлениях одинаковы и равны c, то, с точки зрения наблюдателя в системе K, свет раньше дойдет до левого конца стержня, чем до правого (рис. 4.4.1(b)).

Рисунок 4.4.1. Относительность одновременности. Световой импульс достигает концов твердого стержня одновременно в системе отсчета K' (a) и не одновременно в системе отсчета K (b)

Преобразования Лоренца выражают относительный характер промежутков времени и расстояний. Однако, в СТО наряду с утверждением относительного характера пространства и времени важную роль играет установление инвариантных физических величин, которые не изменяются при переходе от одной системы отсчета к другой. Одной из таких величин является скорость света в вакууме c, которая в СТО приобретает абсолютный характер. Другой важной инвариантной величиной, отражающей абсолютный характер пространственно-временных связей, является интервал между событиями.

Пространственно-временной интервал определяется в СТО следующим соотношением:

где t₁₂ – промежуток времени между событиями в некоторой системе отсчета, а l₁₂ – расстояние между точками, в которых происходят рассматриваемые события, в той же системе отсчета. В частном случае, когда одно из событий происходит в начале координат (x₁ = y₁ = z₁ = 0) системы отсчета в момент времени t₁ = 0, а второе – в точке с координатами x, y, z в момент времени t, пространственно-временной интервал между этими событиями записывается в виде

С помощью преобразований Лоренца можно доказать, что пространственно-временной интервал между двумя событиями не изменяется при переходе из одной инерциальной системы в другую. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность расстояний и промежутков времени, протекание физических процессов носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.

Если одно из событий представляет собой вспышку света в начале координат системы отсчета при t = 0, а второе – приход светового фронта в точку с координатами x, y, z в момент времени t (рис. 4.1.3), то

x2 + y2 + z2 = c2t2,

и, следовательно, интервал для этой пары событий s = 0. В другой системе отсчета координаты и время второго события будут другими, но и в этой системе пространственно-временной интервал s' окажется равным нулю, так как

Для любых двух событий, связанных между собой световым сигналом, интервал равен нулю.

Из преобразований Лоренца для координат и времени можно получить релятивистский закон сложения скоростей. Пусть, например, в системе отсчета K' вдоль оси x'движется частица со скоростью Составляющие скорости частицы u'_x и u'_z равны нулю. Скорость этой частицы в системе K будет равна

С помощью операции дифференцирования из формул преобразований Лоренца можно найти:

Эти соотношения выражают релятивистский закон сложения скоростей для случая, когда частица движется параллельно относительной скорости систем отсчета K и K'.

При υ << c релятивистские формулы переходят в формулы классической механики:

ux = u'x + υ, uy = 0, uz = 0.

Если в системе K' вдоль оси x' со скоростью u'_x = c распространяется световой импульс, то для скорости u_x импульса в системе K получим

Таким образом, в системе отсчета K световой импульс также распространяется вдоль оси x со скороСледствия из преобразования Лоренца

С помощью преобразований Лоренца можно получить новые представления о свойствах пространства и времени, существенно отличающиеся от классических представлений. Наиболее важными из них являются сокращение линейных размеров движущихся тел, относительность длительности событий, а также релятивистский закон сложения скоростей. Эти свойства вытекают как следствия из преобразований Лоренца.

9.1. Сокращение размеров движущихся тел (Лоренцево сокращение)

Рассмотрим неподвижный в системе отсчета K’ стержень, расположенный параллельно оси X’ (рис. 9.1), то есть вдоль направления движения этой системы относительно системы К. Поперечными размерами стержня будем пока условно пренебрегать. Так как рассматривается движение в плоскости X0Y, то на рисунке ось Z условно не показана. Пусть собственная длина стержня (длина в системеК')

, (9.1)

где - координаты концов стержня.

В системе К, относительно которой стержень движется, его длину определяют как расстояние , между координатами и его концов, взятыми в один и тот же момент времени , то есть . Воспользовавшись преобразованиями Лоренца (8.7) для координат и , запишем:

^, (9.2)

откуда

Рис. 9.1

^. (9.3)

Таким образом, из выражения (9.3) следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения в раз.

Это изменение продольного размера тела при его движении называют Лоренцевым сокращением. Линейные размеры тела максимальны в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится.

Если рассматриваемый стержень будет иметь поперечные размеры, то есть размеры в направлении осей Z’ и Y’, то в соответствии с теми же преобразованиями Лоренца можно получить, что поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, то есть

(9.4)

Лоренцево сокращение геометрических размеров тел не является кажущимся и не связано с физическим воздействием движения на размеры тел. Оно отражает не абсолютность пространственных интервалов, а их зависимость от выбора системы отсчета. Понятие пространственного размера абсолютно лишь в том смысле, что всякий материальный объект обладает пространственной протяженностью. Однако численное значение пространственных характеристик тел относительно, в различных системах отсчета оно неодинаково. Это объясняется тем, что значения пространственных характеристик присущи не материальным объектам самим по себе, а лишь отношениям этих объектов к системам отсчета.

стью c, что согласуется с постулатом об инвариантности скорости света.

35. Сложение скоростей в релятивистской механике

Мы говорили, что скорость света — максимально возможная скорость распространения сигнала. Но что будет, если свет испускается движущимся источником в направлении его скорости V ? Согласно закону сложения скоростей, следующему из преобразований Галилея, скорость света должна быть равна c + V. Но в теории относительности это невозможно. Посмотрим, какой закон сложения скоростей следует из преобразований Лоренца. Для этого запишем их для бесконечно малых величин:

По определению скорости ее компоненты в системе отсчета K находятся как отношения соответствующих перемещений к временным интервалам:

Аналогично определяется скорость объекта в движущейся системе отсчета K', только пространственные расстояния и временные интервалы надо взять относительно этой системы:

Следовательно, разделив выражение dx на выражение dt, получим:

Разделив числитель и знаменатель на dt', находим связь x-компонент скоростей в разных системах отсчета, которая отличается от галилеевского правила сложения скоростей:

Кроме того, в отличие от классической физики, меняются и компоненты скоростей, ортогональные направлению движения. Аналогичные вычисления для других компонент скоростей дают:

Таким образом, получены формулы для преобразования скоростей в релятивистской механике. Формулы обратного преобразования получаются при замене штрихованных величин на нештрихованные и обратно и заменой V на –V.

Теперь мы можем ответить на вопрос, поставленный в начале данного раздела. Пусть в точке 0' движущейся системы отсчета K' установлен лазер, посылающий импульс света в положительном направлении оси 0'х'. Какой будет скорость импульса для неподвижного наблюдателя в системе отсчета К? В этом случае скорость светового импульса в системе отсчета К' имеет компоненты

Применяя закон релятивистского сложения скоростей, находим для компонент скорости импульса относительно неподвижной системы К :

Мы получаем, что скорость светового импульса и в неподвижной системе отсчета, относительно которой источник света движется, равна

Тот же результат получится при любом направлении распространения импульса. Это естественно, так как независимость скорости света от движения источника и наблюдателя заложена в одном из постулатов теории относительности. Релятивистский закон сложения скоростей — следствие этого постулата.

Действительно, когда скорость движения подвижной системы отсчета V << c, преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея, мы получаем обычный закон сложения скоростей

При этом ход течения времени и длина линейки будут одинаковы в обеих системах отсчета. Таким образом, законы классической механики применимы, если скорости объектов много меньше скорости света. Теория относительности не зачеркнула достижения классической физики, она установила рамки их справедливости.

Пример. Тело со скоростью v₀ налетает перпендикулярно на стенку, двигающуюся ему навстречу со скоростью v. Пользуясь формулами для релятивистского сложения скоростей, найдем скорость v₁ тела после отскока. Удар абсолютно упругий, масса стенки намного больше массы тела.

Воспользуемся формулами, выражающими релятивистский закон сложения скоростей.

Направим ось х вдоль начальной скорости тела v₀ и свяжем систему отсчета K' со стенкой. Тогда v_x = v₀ и V = –v. В системе отсчета, связанной со стенкой, начальная скорость v'₀ тела равна

Поскольку стенку можно считать бесконечно массивной, по закону сохранения энергии после упругого удара тело отскочит в обратном направлении с тем же (относительно стенки) абсолютным значением скорости:

Вернемся теперь назад в лабораторную систему отсчета К. Подставляя в релятивистский закон сложения скоростей v'₁вместо v'_x и учитывая опять же V = –v, находим после преобразований:

Проанализируем теперь предельные случаи.

• Если скорости тела и стенки малы (v₀ << с, v << с), то можно пренебречь всеми членами, где эти скорости и их произведение делятся на скорость света. Получаем тогда из найденной формулы результат классической механики

Скорость шара после отскока увеличивается на удвоенную скорость стенки; направлена она, естественно, противоположно начальной. Ясно, что в релятивистском случае этот результат не годится. В частности, при v₀ = v = с/3 из него следует, что скорость тела после отскока будет равна v₁ = –с, чего не может быть.

• Пусть теперь на стенку налетает тело, двигающееся со скоростью света (например, лазерный луч отражается от двигающегося зеркала). Подставляя v₀ = с в найденное соотношение, получаем

Иными словами, скорость лазерного луча изменила направление, но не свою абсолютную величину, как и должно быть.

• Рассмотрим теперь случай, когда стенка движется с релятивистской скоростью. В этом случае найденное соотношение дает нам

Тело после отскока также будет двигаться со скоростью, близкой к скорости света.

• Наконец, подставим в найденное соотношение значения v₀ = v = с/3 :

В отличие от классической механики, теория относительности дает для скорости после отскока значение, меньшее скорости света.

• Напоследок посмотрим, что случится, если стенка удаляется от тела с той же скоростью (v = –v₀). Имеем в этом случае:

Как и в классической механике, тело стенку не догонит, и его скорость не изменится.

Релятивистский импульс частицы

В релятивистской физике для описания механического движения вводятся 4-вектора положения частицы , перемещения и скорости . Вводим импульс по аналогии с ньютоновой механикой - как произведение инвариантной массы (массы покоя), одинаковой в инерциальных системах отсчета I и II, на 4-скорость. Итак, четырехмерным импульсом называется величина .

 

(17.1)

Сокращенно пишем , где пространственная и временная компоненты 4-импульса имеют вид

 

.

(17.2)

Здесь - так называемый релятивистский 3-импулъс. Очевидно, 4-импульсу отвечает его инвариант

(17.3)

Масса покоя - - инвариант преобразований Лоренца. При небольших скоростях, когда , он переходит в инвариант преобразований Галилея.

• 36. Коэффициент Лоренца – фактор для определения степени временного замедления, сокращения длины и релятивистской массы перемещающегося объекта.
• Классическая механика – все физические законы природы, характеризующие поведение обычного мира.
• Специальная теория относительности: скорость света остается стабильной в любой системе отсчета.

Кинетическая энергия основывается на массе тела и скорости. Задается формулой: (m – масса, v – скорость тела).

Классическая кинетическая энергия связана с импульсом уравнением:

(р – импульс).

Если скорость объекта составляет примечательную часть световой, то для определения кинетической энергии нужно воспользоваться специальной теорией относительности. Здесь необходимо изменить выражение для линейного импульса. Формула:

p = mγv, где γ – коэффициент Лоренца:

Кинетическая энергия обладает связью с импульсом, поэтому релятивистское выражение отличается от классического:

Из формулы видно, что энергия объекта подходит к бесконечности, когда скорость приближается к световой. Поэтому нельзя ускорить объект на этой черте.

Математическим побочным результатом выступает уравнение эквивалентности массы-энергии. Тело в позиции покоя обязано обладать энергией:

Eпокоя = E0 = mc2.

 

Общая формула для энергии объекта, не пребывающего в позиции покоя:

 

KE = mc2 - m0c2 (m – релятивистская масса объекта, а m0 – масса объекта в состоянии покоя).

 

При низких скоростях релятивистская кинетическая энергия может аппроксимироваться классической. Это показывают на разложении Тейлора:

 

Eк ≈ mc2 (1 + 0.5 v2/с2) - mc2 = 0.5 mv2.

 

Выходит, что полную энергию можно поделить на энергию массы покоя с добавлением классический кинетической при небольших скоростных показателях. Релятивистская энергия.

Теорема о кинетической энергии, которую мы доказали в ньютоновской механике, верна также и для релятивистской частицы. Необходимо только видоизменить формулу кинетической энергии частицы

 

 

, (8.1)

 

 

и получить релятивистское выражение для кинетической энергии. Воспользуемся с этой целью формулой релятивистской массы

 

 

. (8.2)

 

 

Подставляя сюда и возводя в квадрат, получим

 

 

. (8.3)

 

 

Дифференцируя это выражение, учитывая, что масса покоя m величина постоянная, будем иметь

 

.

 

Учитывая в левой части соотношение , получим

 

(8.4)

 

 

С другой стороны, формулу работы можно преобразовать следующим образом:

 

 

, (8.5)

 

 

где мы воспользовались основным уравнением релятивистской динамики

 

 

(8.6)

 

 

и соотношениями

Формула (8.5), полученная для механической работы, верна как в классической, так и в релятивистской механике. Для ее расчета необходима связь между скоростью и импульсом частицы. В релятивистской механике, учитывая формулу (8.4) в подынтегральном выражении (8.5), будем иметь

 

. (8.7)

 

Здесь и - значения массы частицы в начальном и конечном состояниях.

Значит, в релятивистской механике работа, совершенная силой, определяется только приращением релятивистской массы частицы и только ею. Если движение частицы начиналось из состояния покоя, то и, обозначив конечную скорость через , для работы (8.7) будем иметь

 

 

. (8.8)

 

 

Здесь выражен тот факт, что, согласно теореме о кинетической энергии, эта работа идет на увеличение кинетической энергии частицы. Учитывая в (8.8) нормировку кинетической энергии: в состоянии покоя , получим

 

. (8.9)

 

 

Это и есть формула релятивистской кинетической энергии. В случае малых скоростей, разложив выражение знаменателя формулы (8.9) в ряд по степеням малой величины :

 

 

и пренебрегая членами порядка выше , из (8.9) получим ньютоновское выражение кинетической энергии (8.1).

Введем обозначение

 

, (8.10)

 

и назовем эту величину полной или релятивистской энергией частицы. Тогда из формулы (8.9) будем иметь

 

, (8.11)

 

где величина

 

(8.12)

 

является релятивистской энергией частицы в состоянии покоя и называется энергией покоя. Графики, приведенные на рис. 8.1, выражают зависимости ньютоновской и релятивистской кинетических энергий от скорости. Как и для других классических и релятивистских величин, здесь также разница между ними становится существенной при скоростях близких к скорости света. Причем, все релятивистские величины превышают по значению соответствующие ньютоновские величины.

 

Рис. 8.1

 

Поскольку релятивистская и кинетическая энергии отличаются друг от друга на постоянную величину (энергию покоя), то теорема о кинетической энергии верна также для релятивистской энергии:

 

. (8.13)

 

Закон взаимосвязи массы и энергии

Найдем кинетическую энергию релятиви­стской частицы (материальной точки). Раньше (§ 12) было показано, что при­ращение кинетической энергии материаль­ной точки на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении:

dT = dA или dT=Fdr. (40.1)

69

Учитывая, что dr = vdt, и подставив в (40.1) выражение (39.2), получим

Преобразовав данное выражение с учетом того, что vdv=vdv, и формулы (39.1), придем к выражению

т. е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы.

Так как кинетическая энергия покоя­щейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя то, то, проинтегриро­вав (40.2), получим

Т=(m-m₀)с², (40.3)

или кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид

Выражение (40.4) при скоростях v<<с пе­реходит в классическое:

T = m₀v²/2

(разлагая в ряд (1-v²/с²)^-1/2= 1 +¹/₂Xv²/c²+³/₈v⁴/c⁴+... при v<<с, правомерно

пренебречь членами второго порядка ма­лости).

А. Эйнштейн обобщил положение (40.2), предположив, что оно справедли­во не только для кинетической энергии материальной точки, но и для полной энер­гии, а именно: любое изменение массы Dm сопровождается изменением полной энер­гии материальной точки,

DE=с²Dm. (40.5) Отсюда А. Эйнштейн пришел к универсальной зависимости между полной энер­гией тела Е и его массой m:

Уравнение (40.6), равно как и (40.5), вы­ражает фундаментальный закон приро­ды— закон взаимосвязи (пропорциональ­ности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме. Отме­тим, что в полную энергию Е не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле.

Закон (40.6) можно, учитывая выра­жение (40.3), записать в виде

Е = m₀с² + Т,

откуда следует, что покоящееся тело (Т = = 0) также обладает энергией

Е₀=m₀с²,

называемой энергией покоя. Классическая механика энергию покоя Е₀ не учитывает, считая, что при v=0 энергия покоящегося тела равна нулю.

В силу однородности времени (см. § 13) в релятивистской механике, как и в классической, выполняется закон со­хранения энергии: полная энергия замкну­той системы сохраняется, т. е: не изменя­ется с течением времени.

Из формул (40.6) и (39.4) найдем релятивистское соотношение между пол­ной энергией и импульсом частицы:

Возвращаясь к уравнению (40.6), от­метим еще раз, что оно имеет универсаль­ный характер. Оно применимо ко всем формам энергии, т. е. можно утверждать, что с энергией, какой бы формы она ни была, связана масса

m=Е/с² (40.8)

70

связи и устойчивость системы каких-либо частиц (например, атомного ядра как системы из протонов и нейтронов), рас­сматривают энергию связи. Энергия связи системы равна работе, которую необходи­мо затратить, чтобы разложить эту систе­му на составные части (например, атомное ядро—на протоны и нейтроны). Энергия связи системы

где m_0i — масса покоя i-й частицы в сво­бодном состоянии; m₀ — масса покоя системы, состоящей из n частиц.

Закон взаимосвязи (пропорционально­сти) массы и энергии блестяще подтвер­жден экспериментом о выделении энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергетиче­ских эффектов при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.

Рассматривая выводы специальной те­ории относительности, видим, что она, как, впрочем, и любые крупные открытия, по­требовала пересмотра многих установив­шихся и ставших привычными представле­ний. Масса тела не остается постоянной величиной, а зависит от скорости тела; длина тел и длительность событий не яв­ляются абсолютными величинами, а носят относительный характер; наконец, масса и энергия оказались связанными друг с другом, хотя они и являются качественно различными свойствами материи.

Эту ломку укоренившихся представле­ний некоторые буржуазные философы пы­тались использовать для распространения двух разновидностей идеализма: энерге­тизма и философского релятивизма. Пер­вая из этих теорий рассматривала воз­можность преобразования массы в энер­гию и, наоборот, энергии в массу, «доказывая» «эквивалентность материи и энергии». Закон взаимосвязи массы и энергии действительно утверждает, что любые превращения энергии тела сопровождаются изменениями его массы, одна­ко при этом масса не «переходит в энер­гию». Закон взаимосвязи массы и энергии является подтверждением неразрывности материи и движения — одного из основ­ных положений диалектического материа­лизма.

Философский релятивизм считает, что наше познание относительно и зависит «от выбора точки зрения наблюдателя». Одна­ко из постулатов и следствий теории Эйн­штейна относительность нашего познания не вытекает. Тот факт, что длина тел и длительность событий в разных инерци­альных системах отсчета различны, не да­ет оснований считать, что объективное описание окружающего нас мира невоз­можно. В. И. Ленин в книге «Материализм и эмпириокритицизм» писал: «Человече­ские представления о пространстве и вре­мени относительны, но из этих относитель­ных представлений складывается абсо­лютная истина, эти относительные пред­ставления, развиваясь, идут по линии абсолютной истины, приближаются к ней. Изменчивость человеческих представле­ний о пространстве и времени так же мало опровергает объективную реальность того и другого, как изменчивость научных зна­ний о строении и формах движения мате­рии не опровергает объективной реально­сти внешнего мира» (Полн. собр. соч. Т. 18. С. 181).

Основной вывод теории относительно­сти сводится к тому, что пространство и время органически взаимосвязаны и об­разуют единую форму существования ма­терии — пространство-время. Только по­этому пространственно-временной интер­вал между двумя событиями является абсолютным, в то время как простран­ственные и временные промежутки между этими событиями относительны. Следова­тельно, вытекающие из преобразований Лоренца следствия являются выражением объективно существующих пространствен­но-временных соотношений движущейся материи.

Исходные представления Эффект Доплера (ЭД) обычно определяют как изменение ча- стоты колебаний, воспринимаемых наблюдателем, при движении источника колебаний и наблюдателя относительно друг друга. Такое определение неполнo: оно учитывает лишь одно из прояв- лений эффекта и одну из причин его возникновения. Чтобы прийти к исчерпывающему определению ЭД, следует обратиться к процессам излучения и приёма. Источник создаёт сигнал, т. е. возмущение среды, интенсивность которого заданным образом меняется во времени. Это возмущение (волна) распространяется в среде со скоростью, соответствующей его физической природе (звук, свет, волны на поверхности жидкости и т. д.). После прохождения через передающую среду сигнал регистри- руется приёмником. Во многих средах сигналы распространяются без искажений, из- меняя интенсивность, но сохраняя форму (например, звук в возду- хе, свет в воздухе и вакууме). То есть сигналу 𝑓 (︀ 𝑡 )︀ соответствует волна 𝛼 (︀ 𝑟 )︀ · 𝑓 (︀ 𝑡 − 𝑟 𝑢 )︀ , где 𝑡 — время, 𝑟 — расстояние от источника, 3 𝑢 — скорость распространения, 𝛼 (︀ 𝑟 )︀ — функция расстояния от ис- точника.1 Это означает равенство фазовых скоростей гармонических волн разных частот (поскольку сигнал может быть представлен суммой гармонических колебаний, а волна — суммой гармонических волн разных частот). В средах с дисперсией, где фазовые скорости гармонических волн зависят от частоты, форма зарегистрированного сигнала изменяет- ся. Пусть в бездисперсной среде источник (излучатель, передатчик) генерирует два одинаковых коротких импульса в моменты 𝑡1 и 𝑡 ′ 1 ; обозначим интервал между ними как 𝜏1 = 𝑡 ′ 1 − 𝑡1. Импульсы достиг- нут приёмника (наблюдателя, детектора) в моменты 𝑡2 и 𝑡 ′ 2 , причём 𝑡2 = 𝑡1 + 𝜏12, а 𝑡 ′ 2 = 𝑡 ′ 1 + 𝜏 ′ 12, где через 𝜏12, 𝜏 ′ 12 обозначены соот- ветствующие времена распространения (длительности прохождения через передающую среду). Интервал между зарегистрированными импульсами 𝜏2 = 𝑡 ′ 2 − 𝑡2. Очевидно равенство 𝜏2 = 𝜏1 + (𝜏 ′ 12 − 𝜏12) (1) или 𝑑𝑡2 = 𝑑𝑡1 + 𝑑𝜏12. (2) Легко понять также, что 𝜏12 = 𝑙2 (︀ 𝑡2 )︀ Z 𝑙1 (︀ 𝑡1 )︀ 𝑑𝑙 𝑢 , (3) где 𝑙1 (︀ 𝑡1 )︀ и 𝑙2 (︀ 𝑡2 )︀ — точки расположения излучателя и приёмника на траектории волны, 𝑢 — скорость волны. Соотношения (1), (2), (3) останутся в силе, если под 𝑡1 и 𝑡 ′ 1 под- разумевать моменты начала и окончания сигнала. Из (1) видно: ра- венство длительностей излучаемого и принимаемого сигналов имеет место только тогда, когда в процессе приёма не происходит изме- нение длительности распространения: 𝜏12 = 𝜏 ′ 12. Для бездисперсной среды эффект Доплера заключается в неравенстве длительностей 1Здесь и далее предполагается «точечность» источника и приёмника — ма- лость их размеров по сравнению с расстоянием между ними, а также изотроп- ность и прозрачность среды. 4 излучения и приёма сигнала, обусловленном изменением времени распространения в процессе приёма. В среде с дисперсией гармонические волны (составляющие исход- ной волны) остаются гармоническими. Время их распространения также может изменяться в процессе приёма. Если за 𝑑𝑡1 произведено 𝑑𝑁 гармонических возмущений (волн), то 𝑑𝑁 = 𝜈1 𝑑𝑡1, (4) где 𝜈1 — частота передатчика. Эти волны будут зарегистрированы за 𝑑𝑡2: 𝑑𝑁 = 𝜈2 𝑑𝑡2 (5) (𝜈2 — частота приёма). Для отношения частот получаем 𝜂 ≡ 𝜈2 𝜈1 = 𝑑𝑡1 𝑑𝑡2 = 1 𝑑𝑡2 ⧸︀ 𝑑𝑡1 . (6) Таким образом, отношение частот — производная функции, свя- зывающей 𝑡1 и 𝑡2. Соотношение (6) справедливо для волн любой физической при- роды. Из (2) видно 𝜂 = 𝑑𝑡1 𝑑𝑡2 = 1 − 𝑑𝜏12 𝑑𝑡2 . (7) Интервал 𝜏12 зависит как от длины траектории волны, так и от скорости её распространения вдоль этой траектории. Или, другими словами: 1) от положения излучателя и детектора в моменты 𝑡1 и 𝑡2 соответственно; 2) от состояния передающей среды в интервале вре- мени от 𝑡1 до 𝑡2. Если ввести показатель преломления 𝑛 (︀ 𝑙, 𝑡)︀ , т. е. от- ношение некоторой скорости 𝑢0 к скорости волны: 𝑛 (︀ 𝑙, 𝑡)︀ ≡ 𝑢0 ⧸︀ 𝑢 (︀ 𝑙, 𝑡)︀ , то (3) можно записать так: 𝜏12 = 1 𝑢0 𝑙2(𝑡2) Z 𝑙1(𝑡1) 𝑛 (︀ 𝑙, 𝑡)︀ 𝑑𝑙 ≡ ℒ 𝑢0 . (8) Здесь 𝑙 — координата вдоль траектории волны, 𝑙1 и 𝑙2 — соответ- ственно положения излучателя и детектора в моменты излучения и 5 приёма. Интеграл ℒ — эквивалентная длина пути (ЭДП)2 — учиты- вает обе причины изменения 𝜏12. Теперь возможно другое определение, пригодное и для сред с дис- персией: эффект Доплера заключается в неравенстве частот излу- чаемой и принимаемой гармонических волн, если в процессе приёма изменяется эквивалентная длина пути. В средах с дисперсией показатель преломления и ЭДП зависят от частоты: 𝑛 = 𝑛 (︀ 𝑙, 𝑡, 𝜈)︀ , ℒ = ℒ (︀ 𝜈 )︀ . Из (6) следуют полезные формулы: 𝜂 = 𝜈2 𝜈1 = 𝜔2 𝜔1 (𝜔𝑖 = 2𝜋𝜈𝑖 ; 𝑖 = 1, 2), (9) 𝜈2 − 𝜈1 𝜈1 = ∆𝜈 𝜈1 = ∆𝜔 𝜔1 = 𝜂 − 1. (10) Как видно из изложенного, моменты излучения 𝑡1 и приёма 𝑡2 однозначно связаны. Поэтому в качестве текущего времени можно выбирать как 𝑡1, так и 𝑡2. Далее в ряде конкретных ситуаций вычисляется величина 𝜂, ко- торая в любой среде имеет смысл отношения регистрируемой часто- ты к излучаемой, а в бездисперсной среде — обратной мгновенной деформации сигнала во времени (см. (6)). Эффект Доплера — Если источник волн движется относительно среды, то расстояние между гребнями волн (длина волны) зависит от скорости и направления движения. Если источник движется по направлению к приёмнику, то есть догоняет испускаемую им волну, то длина волны уменьшается. Если удаляется — длина волны увеличивается.

Частота волны в общем виде, зависит только от того, с какой скоростью двигается приемник

где U — частота волны, регистрируемой приемником; U0— частота волны, испускаемой источником

Эффект Доплера

Как только волна пошла от источника, скорость ее распространения определяется только свойствами среды, в которой она распространяется, — источник же волны никакой роли больше не играет. По поверхности воды, например, волны, возбудившись, далее распространяются лишь в силу взаимодействия сил давления, поверхностного натяжения и гравитации. Акустические же волны распространяются в воздухе (и иных звукопроводящих средах) в силу направленной передачи перепада давлений. И ни один из механизмов распространения волн не зависит от источника волны. Отсюда и эффект Доплера.

Для того чтоб Эффект Доплера был более понятным, рассмотрим пример на машине с сиреной.

Предположим для начала, что машина стоит. Звук от сирены доходит до нас потому, что упругая мембрана внутри нее периодически воздействует на воздух, создавая в нем сжатия — области повышенного давления, — чередующиеся с разряжениями. Пики сжатия — «гребни» акустической волны — распространяются в среде (воздухе), пока не достигнут наших ушей и не воздействуют на барабанные перепонки. Так вот, пока машина стоит, мы так и будем слышать неизмененный тон ее сигнала.