Распространение неведения

 

Законы физики сохраняют информацию. Количество битов, записанных системой (например, воздушным шариком с гелием), не уменьшается. Такое сохранение информации ограничивает эффективность тепловых машин и одновременно отвечает за второе начало термодинамики. Но здесь есть проблема. Согласно законам физики, общее количество информации не может также и увеличиваться. По существу, они гласят, что при отсутствии взаимодействия с другой системой количество информации в системе остается тем же. Но как же энтропия – а это форма информации – может увеличиваться, если при этом не увеличивается суммарное информационное содержание физической системы? Как может быть, что известная информация становятся неизвестной?

В первоначальном виде энтропия рассматривалась как величина, измеряющая, насколько полезна энергия. Энергия с небольшим количеством энтропии – это полезная (свободная) энергия; энергия с большим количеством энтропии бесполезна. Возможно, легче понять увеличение энтропии в такой формулировке: энергия переходит из полезной формы в бесполезную. Горячая ванна остывает. В автомобиле заканчивается бензин. Молоко скисает. Как можно рассмотреть этот процесс с точки зрения информации? Ответ заключается в фундаментальном свойстве природы, который я называю «распространением неведения». Можно сказать, что неизвестные биты заражают известные.

Мы видели, что энтропия – это информация о микроскопических движениях атомов, таких крошечных, что мы не можем увидеть их даже под самым мощным микроскопом. Каждый атом гелия в нашем воздушном шарике содержит двадцать битов. Но если мы не знаем, где находится отдельный атом в воздушном шарике и как быстро он движется (с точностью, позволенной квантовой механикой), то понятия не имеем, что это за биты. Другими словами, энтропия – невидимая информация – является также мерой неведения.

Кое-какая информация об атомах в воздушном шарике у нас, конечно, есть. Например, мы можем измерить его макроскопическое состояние: размер, температуру, давление, которое атомы гелия оказывают на его стенки. Обычно у нас есть только несколько сотен битов макроскопической информации о физической системе, например о воздушном шарике. Для любой системы можно провести различие между битами, значения которых (0 или 1) мы знаем, и теми, значений которых мы не знаем. Биты, значений которых мы не знаем, составляют энтропию системы: бит энтропии – это бит неведения.

Обратите внимание, что разделение информации на известную и неизвестную до некоторой степени субъективно. Разные люди знают разные вещи. Допустим, например, вы отправили мне короткое электронное письмо, содержащее 100 битов информации. Вы знаете, что это за биты, ведь это вы их отправили. Для вас информация этого электронного письма известна. Пока я не открою это письмо, я не знаю, что это за биты: для меня они все еще невидимы, и на этой стадии я бы посчитал эти 100 битов энтропией. Поэтому разные наблюдатели могут придавать разное значение энтропии системы. Помните демона Максвелла? Он контролирует микроскопические состояния газа, и у него больше информации, чем у наблюдателя, который просто знает температуру и давление газа. Соответственно, для демона в газе меньше энтропии, чем для стороннего наблюдателя. Для целей второго начала термодинамики важно общее количество информации в физической системе. Общее количество информации в физической системе, известной и неизвестной, не зависит от того, кто и как наблюдает за ней.

Предположим, неизвестный бит информации взаимодействует с известным битом информации. После этого взаимодействия первый бит по-прежнему остается неизвестным, но теперь и второй бит тоже становится неизвестным. Неизвестный бит как бы заразил известный, распространяя неведение и увеличивая общую энтропию системы. Идеи вычисления, о которых мы говорили выше, можно использовать для того, чтобы прояснить «заразную» природу неведения.

Возьмем два бита. Значение первого неизвестно – оно может быть или 0, или 1. Значение второго бита известно – скажем, это 0. Таким образом, оба бита вместе находятся в состоянии 00 или 10. Теперь применим к битам следующую простую логическую операцию. Инвертируем второй бит, но если и только если первый бит равен 1. Эту операцию можно назвать «условное не» (controlled-not ), потому что она выполняет инверсию (или операцию «не») со вторым битом, используя как сигнал управления состояние первого бита (который в данном случае неизвестен).

Итак, если первый бит будет равен 1, то операция «условное не» изменит второй бит с 0 на 1. Если значение первого бита – 0, то после операции «условное не» значение второго бита останется равным 0. Таким образом, после операции «условное не» пара битов будет или в состоянии 00, или в состоянии 11. Теперь два бита коррелируют – то есть имеют одно и то же значение. Если мы посмотрим на первый бит, то узнаем значение второго бита, и наоборот.

Мы как не знали значение первого бита, так и не знаем его после выполнения операции: он по-прежнему находится в состоянии 0 или в состоянии 1. Но посмотрим на второй бит. Теперь он тоже может находиться в состоянии 0 или 1. Второй бит, значение которого до операции было 0, теперь тоже имеет неизвестное значение. Операция «условное не» заставила неизвестную информацию первого бита «заразить» второй бит – незнание распространилось! (Распространение неведения обратимо. Чтобы вернуть оба бита в исходное состояние, нужно выполнить операцию «условное не» повторно. Операция «условное не» является обратной по отношению к самой себе: выполнить ее дважды – все равно что не делать ничего вообще.)

Распространение неведения увеличивает энтропию отдельных битов в системе. Энтропия первого бита по-прежнему составляет один бит, но энтропия второго увеличивается. Тем не менее энтропия пары битов, взятых вместе, остается постоянной! Перед операцией «условное не» два бита могли находиться в одном из двух состояний – 00 или 10. В системе один бит энтропии – в первом бите из пары. После операции «условное не» пара битов может находиться в одном из двух состояний – 00 или 11. Мы по-прежнему видим один бит энтропии, но теперь он распределен между двумя битами.

Распространение неведения отражается в росте величины, которая называется «взаимная информация». У каждого бита после операции есть собственный бит энтропии, но у двух битов, взятых вместе, тоже есть только один бит энтропии. Взаимная информация равняется сумме энтропий, взятых по отдельности, минус энтропия двух битов, взятых вместе. Другими словами, у двух битов есть ровно один бит взаимной информации. Какую бы информацию они ни содержали, они содержат ее вместе.

 

Неведение атомов

 

«Заразный» характер информации относится и к сталкивающимся атомам, и к битам в вычислении. Идею о том, что энтропия отдельных атомов газа имеет тенденцию увеличиваться, впервые выдвинул Людвиг Больцман в 1880-х гг. Больцман определил величину, которую назвал «H », как степень, до которой мы знаем положение и скорость любого данного атома газа.

Величина «H » Больцмана фактически является энтропией отдельного атома, умноженного на минус один. Больцман показал, что, когда положения и скорости атомов не коррелирует, то есть независимы друг от друга, столкновения между ними уменьшают «H » и увеличивают энтропию отдельных атомов. Последующие столкновения, утверждал он, продолжат увеличивать эту энтропию. Он пришел к выводу, что его H -теорема является обоснованием второго начала термодинамики и доказывает математически, что энтропия должна увеличиваться.

Проблема H -теоремы Больцмана состоит в том, что она, строго говоря, не является истинной для атомов газа. Больцман был прав в том, что столкновения между первоначально некоррелирующими атомами увеличивают энтропии отдельных атомов. Эти энтропии увеличиваются из-за «заразного» характера информации. Когда сталкиваются два атома, любая неопределенность по поводу положения и скорости первого атома имеет тенденцию «заражать» второй атом, делая его положение и скорость более неопределенными и тем самым увеличивая его энтропию. Такое увеличение энтропии второго атома похоже на увеличение энтропии второго бита, описанного выше, когда этот бит был подвергнут операцией «условное не», где неизвестный бит выступал в роли управляющего.

Ошибка H -теоремы связана с последующими столкновениями атомов. Если два атома столкнулись и обменялись информацией, последующие столкновения могут уменьшить энтропию отдельных атомов. Чтобы понять, как взаимодействие между двумя атомами, которые сталкивались раньше, может уменьшить их энтропию, вернитесь к паре битов, которую мы обсуждали выше. При первом применении операции «условное не» энтропия управляющего бита заразила второй бит, увеличив его энтропию на один бит. Но если операцию «условное не» применить снова, второй бит восстанавливает свое первоначальное, известное состояние, уменьшая свою энтропию на один бит.

В принципе, похожую обратную операцию, результатом которой будет аналогичное уменьшение энтропии, можно придумать и для атомов. Когда Больцман представил свою H -теорему как доказательство второго начала термодинамики, его коллега Йозеф Лошмидт указал, что H -теорема не может быть всегда истинной, ведь обращением скоростей атомов можно «взять назад» их столкновение и уменьшить их энтропии. (Гипотетическое существо, которое могло бы изменить скорости атомов на противоположные, называют демоном Лошмидта. В те времена у всех были свои демоны.) Услышав этот (правильный) аргумент, Больцман был вынужден прибегнуть к сарказму: «Валяйте, обратите их».

Первоначальный довод Больцмана в пользу его H -теоремы был основан на предположении о природе столкновений атомов, получившем название «гипотезы молекулярного хаоса». Даже если положения и скорости двух атомов могли бы иметь корреляцию до их столкновения, утверждал Больцман, многократные столкновения между многими атомами должны ослаблять эту корреляцию, и, в сущности, два сталкивающихся атома газа не должны быть коррелированными в момент столкновения. Сразу после столкновения положения и скорости двух атомов коррелируют. Но поскольку они продолжают сталкиваться с другими атомами, их корреляция друг с другом должна ослабевать. Больцман утверждал, что к моменту следующего столкновения эти два атома можно рассматривать как не имеющие корреляции, то есть как будто они никогда не сталкивались раньше. Если предположение о молекулярном хаосе справедливо, то энтропии отдельных атомов почти всегда увеличиваются. Это увеличение можно в принципе отменить, если обратить процесс столкновения, а-ля Лошмидт. Но на практике такое обращение происходит редко.

Гипотеза молекулярного хаоса – хорошая гипотеза, она верна для многих сложных систем, например для газов. Но она не является истинной для всех физических систем. Как мы увидим, во многих физических системах можно обратить взаимодействия между частями системы, тем самым отменяя увеличение энтропии этих частей.

Но в целом предположение Больцмана работает хорошо. Даже после того как атомы столкнулись один раз, их последующие столкновения имеют тенденцию увеличивать энтропии каждого из них. Почему гипотеза молекулярного хаоса так хорошо работает? В своей магистерской работе «Распространение неведения» и диссертации доктора философии «Черные дыры, демоны и утрата когерентности» я ответил на этот вопрос, предложив подход к объяснению второго начала термодинамики через распространение неведения. Этот метод показывает, что H-теорема Больцмана «почти истинна» для «почти всех» физических систем.

 

Снукер

 

Пожалуй, надо немного рассказать о том, как формировался мой подход к теме. Окончив Гарвард, я поступил в Кембриджский университет, получив стипендию Маршалла. Эти стипендии дает британское правительство в благодарность за американский план Маршалла, который помог восстановить Европу после Второй мировой войны. (Однако дальше стипендий эта благодарность не распространяется. В самый первый день в Кембридже я зашел в паб под названием «Локомотив». У парня, сидевшего рядом со мной за стойкой, был зеленый «ирокез» и ошейник. Когда я сказал ему, что его правительство платит за то, чтобы я, американец, учился в Кембридже, он весьма неблагодарно настоял на том, чтобы я покинул помещение.) Первый год в Кембридже я провел, слушая спецкурс по математике и физике под названием «Part III Maths», одна из целей которого состоит в том, чтобы выявлять перспективных ученых и избавляться от остальных. Студенты, которые получают лучшие оценки по Part III, потом, как правило, переходят к написанию диссертации. Самых лучших студентов в Кембридже называют «ковбоями». Максвелл, например, был типичным «ковбоем». Что касается остальных – ну, наградой для худшего студента по окончании курса была деревянная ложка в четыре фута длиной.

Чтобы стать «ковбоем», нужно было прилагать неимоверное количество усилий. Многие из моих сокурсников буквально дневали и ночевали в библиотеке в течение всего курса. Что-то личное в них можно было увидеть только после диплома. О веселой студенческой жизни в Кембридже я только читал – в романах Э. М. Форстера и поэмах Уилфреда Оуэна. Конечно, я хотел избежать наказания ложкой, но если и существовала область физики, которая меня интересовала, то это было взаимодействие между механикой и динамикой жидкости, проявляющееся в соревнованиях по гребле на мужских восьмерках или в путешествиях на лодке в Грантчестер. После утренних лекций я шел в паб у реки, вниз от здания факультета прикладной математики и теоретической физики, чтобы съесть корнуоллского мясного пирога и выпить пинту Гиннеса. Затем я направлялся в гребной клуб или в общежитие, чтобы сыграть пару партий в снукер.

Снукер – игра, похожая на бильярд. В нее тоже играют киями и шарами, но игровой стол намного больше бильярдного. Длина кия позволяет дотянуться до дальнего конца стола, и его вполне можно использовать для прыжков с шестом. Снукер имеет нечто общее с крикетом, боулингом на траве и выпасом овец, и это – классическая черта британские спортивных телепрограмм: большое зеленое пространство, по которому разбросаны маленькие объекты (люди, шары, овцы). Цель снукера, как и бильярда, состоит в том, чтобы загонять шары в лузы. Эта процедура называется поттинг. Но в снукере, в отличие от бильярда, нужно выбирать между шарами разного цвета: желтыми, синими, розовыми и черными.

Снукер прекрасно иллюстрирует тайну увеличения энтропии. Столкновение двух шаров для снукера в пространстве двух измерений содержит почти все элементы столкновения между двумя атомами гелия в трехмерном пространстве. В начале игры шары находятся в определенных позициях и имеют нулевую скорость: у них очень небольшая энтропия. После нескольких ударов они распределяются по всему столу, причем их положение зависит от истории столкновений между шарами и от небольших вариаций в том, как по ним ударили кием. Неопределенность, связанная с ударом кием по битку (белому шару), – несколько битов неизвестной информации – заражает все шары, с которыми затем сталкивается биток.

В начале XX в. Эмиль Борель (автор идеи о печатающих обезьянах) предположил, что увеличение энтропии может являться результатом взаимодействий между системами, распространяющими информацию вокруг себя. Взяв это замечание Бореля за исходное, в своей диссертации я показал, что взаимодействия между частями системы, например атомами газа или шарами на столе для снукера, имеют тенденцию увеличивать энтропии этих частей, даже если они взаимодействовали раньше. Этот результат подтверждает гипотезу молекулярного хаоса Больцмана, ведь он показывает, что столкновение между двумя атомами почти всегда будет увеличивать их энтропию, даже если эти атомы сталкивались раньше. В итоге энтропии отдельных частей системы, например газа, имеют тенденцию увеличиваться до максимального возможного значения.

Сталкиваясь друг с другом, атомы обмениваются информацией и распространяют энтропию. Любое незнание о состоянии одного атома распространяется на состояние другого. Распространение неведения также знакомо игрокам в снукер, где действуют те же самые правила. Биток передает часть своей скорости (а значит, и некоторые из своих битов) красному шару. Красный шар ударяется о розовый шар, распространяя некоторые из своих битов, включая и те, которые он получил от битка, на скорость розового шара. По мере того как происходят новые столкновения, количество битов неведения, распределенное между шарами, растет, до тех пор пока биты (и шары) не распространятся по всему столу. Биты заразны.

 

 

Особенно интересный случай такого процесса заражения битами возникает, когда часть информации о системе является макроскопической (то есть информацией, к которой мы можем получить доступ напрямую, с помощью наблюдений и измерений), а остальная информация микроскопическая, «невидимая» (иначе говоря, энтропия). Можно ожидать, что со временем микроскопическая, скрытая информация, начнет заражать макроскопическую, видимую. В конечном счете информация и энтропия битов всей системы достигнет максимально возможных значений.

Такое заражение макроскопических битов микроскопическими – особенность хаоса. Мы помним, что хаотическая система – та динамика, которая имеет тенденцию усиливать небольшие отклонения, отчего микроскопическая информация перекачивается на макроскопический уровень. В хаотической системе невидимая информация, находящаяся в микроскопических битах, заражает макроскопические биты, заставляя видимые характеристики системы изменяться непредсказуемым образом, – точно так же, как эффект бабочки влияет на траекторию движения урагана.

Столкновение шаров для снукера – тоже хаотический процесс. Предположим, вы немного ошиблись, когда били по первому шару, и начальная скорость и направление движения битка оказались не совсем такие, как вы хотели. Эта ошибка усилится, когда биток ударит по красному шару. В направлении, в котором теперь движется красный шар, будет более заметная ошибка, чем ошибка в начальной скорости и направлении битка. Чем больше столкновений, тем больше усиливается начальная ошибка. Если вы планировали ударить красным шаром по розовому шару и забить этим шаром третий шар в лузу, вам это вряд ли удастся: к третьему столкновению, как правило, начальная ошибка увеличится настолько, что задать подходящую скорость и направление движения последнего шара не получится совсем.

Неведение распространяется, энтропия отдельных элементов системы растет. При таком взгляде на второе начало термодинамики увеличение энтропии похоже на эпидемию. Биты неведения – словно вирусы, которые копируются и распространяются в процессе взаимодействия. Заражение продолжается до тех пор, пока все элементы системы не будут инфицированы. В этот момент энтропии частей системы, взятые по отдельности, будут близки к своему максимальному значению.

 

Эффект спинового эха

 

Когда Йозеф Лошмидт предположил, что можно уменьшить энтропию газа, одновременно обратив скорости всех его атомов, Больцман над ним посмеялся. Но, как мы сейчас увидим, идею Лошмидта можно реализовать в реальных физических системах. В таких системах, как может показаться, энтропия уменьшается, нарушая второе начало термодинамики (хотя на самом деле это не так).

Что произойдет, если изменить направления движения компонентов системы на противоположные? За счет взаимодействия между частями системы все ходы сами собой окажутся «взяты назад», а энтропии уменьшатся. Конечно, первоначальное предложение Лошмидта – обратить скорости атомов газа – невыполнимо на практике. Но для некоторых систем лозунг Больцмана «обратить движение вспять» можно реализовать.

Простой пример такой обратимой динамики – операция «условное не», описанная выше. В этой очень простой логической операции инвертируется один бит в том и только том случае, если значение управляющего бита 1. Как мы уже говорили, если начальное значение второго бита 0, а значение управляющего бита может быть или 0, или 1, то после операции значение обоих битов будет или 0, или 1. Операция «условное не» заставляет второй бит, сначала имевший нуль битов энтропии, подстроиться под состояние первого бита так, что энтропия второго бита в новом состоянии составит один бит. Неведение первого бита заражает второй, и его энтропия увеличивается.

Чтобы взять назад операцию «условное не», нужно просто выполнить ее во второй раз. После первой операции значение обоих битов будет или 0, или 1. Во время второй операции, если значение управляющего бита равно 0, то значение второго бита останется 0, а если значение управляющего бита 1, то второй бит изменит свое состояние с 1 на 0. В любом случае вторая операция отменит первую и вернет второму биту значение 0. В результате энтропия этого бита уменьшится от одного до нуля битов.

 

 

Другое применение предложения Лошмидта – эффект спинового эха. Чтобы понять, что это такое, рассмотрим следующую макроскопическую аналогию. Бегуны выстраиваются в ряд у линии старта. Звучит стартовый выстрел, и они срываются с места. Но бегут они с разной скоростью, причем некоторые по внутренним дорожкам, а некоторые по внешним, так что через несколько кругов бегуны распределятся по всему пространству трека. Через десять минут звучит второй выстрел. Услышав его звук, бегуны разворачиваются и начинают бежать в противоположном направлении. Если все они бегут с той же скоростью, что и раньше, то постепенно начинают сходиться в одном месте трека, а расстояния между ними уменьшаются. Через десять минут все вместе они окажутся на линии старта.

В эффекте спинового эха бегуны – это ядерные спины[22]. Протоны и нейтроны, из которых состоят ядра атомов, вращаются, как небольшие волчки. Спин традиционно описывают словами «вверх» или «вниз», в зависимости от направления вращения: если вы представите себе лежащие на столе наручные часы, то вращение «вверх» будет против часовой стрелки, а вращение «вниз» – по часовой. Есть другой удобный способ запомнить, что такое спин «вверх» и спин «вниз»: согните пальцы правой руки в том направлении, в котором вращается протон или нейтрон. Тогда большой палец будет направлен вдоль оси вращения, а его направление будет определять «направление» спина – «вверх» или «вниз»[23].

Возьмем несколько протонов, которые первоначально вращаются в одном и том же направлении. Раз их вращения известны, энтропия каждого равна нулю. Теперь подадим импульс микроволнового излучения и заставим все протонные спины прецессировать. (Прецессия – это «блуждание» оси, которое демонстрирует косо стоящий волчок под воздействием силы тяжести[24]. Ядерные спины похожи на небольшие волчки, ось которых отклоняется от начального положения под влиянием силы магнетизма.) Каждый спин прецессирует со своей скоростью, немного отличной от скорости других, и скоро спины наших протонов указывают во всех направлениях, как бегуны, распределившиеся по всему треку. Скорость прецессии каждого спина определяется его локальным магнитным полем; эта скорость является «невидимой» информацией, недоступной макроскопическому наблюдателю. Так как направления, в которых указывают спины, теперь неизвестны, спины сами по себе теперь обладают высокой, почти максимальной энтропией. Она равна числу битов, необходимых для указания текущих направлений спинов (то есть «вверх» или «вниз») с точностью, позволенной квантовой механикой.

Увеличение энтропии отдельных спинов – пример увеличения энтропии в процессе распространения информации. Прецессирующие спины «заразились» информацией в локальном магнитном поле. Если бы мы обладали этой информацией, то могли бы узнать, в каких направлениях указывают спины. Но у нас нет такой информации, и, так как спины начинают коррелировать с магнитным полем, энтропия каждого из них увеличивается.

Теперь устроим спиновое эхо. Включаем второй микроволновой импульс, который инвертирует углы прецессии, к примеру угол +60° превращается в –60°. Теперь каждый спин продолжает прецессировать, но при этом «отыгрывает назад» угол, набранный ранее. Через такое же время, которое потребовалось, чтобы спины стали неизвестными, они снова будут указывать в одном и том же направлении. Их энтропия вновь уменьшилась до нуля!

Эффект спинового эха впервые был продемонстрирован в эксперименте пятьдесят лет назад[25]. Есть и более сложные аналоги концепции Лошмидта, но все они сводятся к одной и той же процедуре. Если вы достаточно квалифицированный экспериментатор и Больцман говорит: «Обратите их», вы сможете это сделать!

Почему же эффект спинового эха не нарушает второго начала термодинамики, которое гласит, что увеличение энтропии невозможно отменить? В случае эффекта спинового эха только кажется, что на первом этапе эксперимента энтропия увеличивается. Хотя энтропия спинов, взятых по отдельности, увеличивается, а затем уменьшается в период действия «эха», энтропия спинов, взятых вместе с магнитным полем, остается неизменной.

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: