Двойственные задачи линейного программирования

С экономической точки зрения двойственную задачу можно интерпретировать так: какова должна быть цена единицы каждого из ресурсов, чтобы при заданных количествах ресурсов b_i и величинах стоимости единицы продукции C_j минимизировать общую стоимость затрат? А исходную задачу определим следующим, образом: сколько и какой продукции x_j(_j =1, 2, …, n) необходимо произвести, чтобы при заданных стоимостях C_{j (j}=1, 2, …, n) единицы продукции и размерах имеющихся ресурсов b_i(_i=1, 2, …, n) максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении. Большинство задач линейного программирования изначально определяются как исходные или двойственные задачи. Сделав вывод можно говорить о паре двойственных задач линейного программирования.

Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом сопоставить некоторую другую задачу (линейного программирования), называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой задаче. Дадим определение двойственной задачи по отношению к общей задаче линейного программирования, состоящей, как мы уже знаем, в нахождении максимального значения функции:
F=c₁x₁+c₂x₂+…c_nx_n
при условиях

равнивая две сформулированные задачи, видим, что двойственная задача составляется согласно следующим правилам:

1. Целевая функция исходной задачи задается на максимум, а целевая функция двойственной на минимум.

2. Матрица

составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений исходной задачи, и аналогичная матрица

в двойственной задаче получаются друг из друга транспонированием (т.е. заменой строк столбцами, а столбцов – строками).

3. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в системе исходной задачи, а число ограничений в системе двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче.

4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе исходной задачи, а правыми частями в соотношениях системы двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи.

5. Если переменная x_j исходной задачи может принимать только лишь положительные значения, то j-е условие в системе двойственной задачи является неравенством вида «> ». Если же переменная x_j может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то1 – соотношение в системе представляет собой уравнение. Аналогичные связи имеют место между ограничениями исходной задачи и переменными двойственной задачи. Если i – соотношение в системе исходной задачи является неравенством, то i-я переменная двойственной задачи . В противном случае переменная у_j может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Двойственные пары задач обычно подразделяют на симметричные и несимметричные. В симметричной паре двойственных задач ограничения прямой задачи и соотношения двойственной задачи являются неравенствами вида « «. Таким образом, переменные обеих задач могут принимать только лишь неотрицательные значения.

Двойственная задача тесно связана задачей линейного программирования. Задача первоначальная называется исходной. Решение двойственной задачи может быть получено из решения исходной и наоборот. Связующим фактом этих двух задач являются коэффициенты C_j функции исходной задачи. Данные коэффициенты называются свободными членами системы ограничений двойственной задачи. Коэффициенты B_i системы ограничений исходной задачи называются коэффициентами двойственной задачи. Транспонированная матрица коэффициентов системы ограничений исходной задачи является матрицей коэффициентов системы ограничений двойственной задачи.

Симметричные, несимметричные, смешанные двойственные задачи.

Произвольную задачу линейного программирования можно определенным образом сопоставить с другой задачей линейного программирования, называемой двойственной. Первоначальная задача является исходной. Эти две задачи тесно связаны между собой и образуют единую двойственную пару.

Различают симметричные, несимметричные и смешанные двойственные задачи.
1. Виды двойственных задач и составление их математических моделей

Симметричные двойственные задачи

Дана исходная задача

L (x) = c1x1 + c2x2 +…+ cnxn → max

при ограничениях:

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1 │ y1,

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 │ y2,

………………………………………

am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm │ ym,

xj ≥ 0, j = 1, n, i = 1, m.

Задача дана в неканоническом виде. Составим математическую модель двойственной задачи, для этого:

- каждому неравенству системы ограничений исходной задачи приводим в соответствие переменную yi;

- составляем целевую функцию, коэффициентами которой являются свободные члены системы ограничений исходной задачи;

- составляем систему ограничений. Коэффициенты системы ограничений образуют транспонированную матрицу коэффициентов системы ограничений исходной задачи. Знаки неравенств меняются на противоположные;

- свободными членами системы ограничений являются коэффициенты целевой функции исходной задачи. Все переменные двойственной задачи неотрицательны.
Математическая модель двойственной задачи имеет вид

S(y) = b1y1 + b2y2 +…+ bmym → min

при ограничениях:

a11y1 + a12y2 + … + am1ym ≤ c1,

a12y1 + a21y2 + … + am2ym ≤ c2,

………………………………………

a1ny1 + a2ny2 + … + amnym ≤ cn,

yj ≥ 0, i = 1, m, j = 1, n.

Несимметричные двойственные задачи
Дана исходная задача

L (x) = c1x1 + c2x2 +…+ cnxn → max

при ограничениях:

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 │ y1,

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 │ y2,

………………………………………

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm │ ym,

xj ≥ 0, j = 1, n.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: