Дискретный вариационный ряд

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Номер интервала i	Среднее значение интервала	Относительная частота	Выборочная оценка плотности вероятности
1	149,5	0,005	0,002
2	152,5	0	0
3	155,5	0,025	0,008
4	158,5	0,035	0,012
5	161,5	0,105	0,035
6	164,5	0,19	0,063
7	167,5	0,195	0,065
8	170,5	0,19	0,063
9	173,5	0,105	0,035
10	176,5	0,075	0,025
11	179,5	0,04	0,013
12	182,5	0,015	0,005
13	185,5	0,015	0,005
14	188,5	0,005	0,002

Рис.1

Рис.2

На основании полученных выборочных данных необходимо сделать предположение, что изучаемая величина распределена по некоторому определённому закону. Для того чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют частоты полученных в наблюдениях значений, т.е. находят теоретически сколько раз величина Х должна была принять каждое из наблюдавшихся значений, если она распределена по предполагаемому закону. Для этого находят выравнивающие (теоретические) частоты по формуле:

(6)

где n – число испытаний,

- вероятность наблюдаемого значения , вычисленная при допущении, что Х имеет предполагаемое распределение.

Эмпирические (полученные из таблицы) и выравнивающие частоты сравнивают, и при небольшом расхождении данных делают заключение о выбранном законе распределения.

Предположим, что случайная величина Х распределена нормально (см. комментарии к задаче № 4). В этом случае выравнивающие частоты находят по формуле:

(7)

где n-число испытаний,

h-длина частичного интервала,

-выборочное среднее квадратичное отклонение,

( - середина i – го частичного интервала)

– функция Лапласа (8)

Результаты вычислений отобразим в таблице № 8.

Сравнение графиков (рис.2) наглядно показывает близость выравнивающих частот к наблюдавшимся и подтверждает правильность допущения о том, что обследуемый признак распределён нормально.

Таблица 8

Расчёт выравнивающих частот


149,5 152,5 155,5 158,5 161,5 164,5 167,5 170,5 173,5 176,5 179,5 182,5 185,5 188,5	-19,5 -16,5 -13,5 -10,5 -7,05 -4,05 -1,05 1,95 4,95 7,95 10,95 13,95 16,95 19,95	-3 -2,53 -2,06 -1,59 -1,11 -0,64 -0,17 0,31 0,78 1,25 1,73 2,2 2,67 3,15	0,004 0,02 0,048 0,11 0,22 0,33 0,396 0,38 0,3 0,18 0,09 0,04 0,011 0,003	0,42 1,55 4,54 10,68 20,37 31,0 37,48 36,0 28,0 17,34 8,44 3,37 1,06 0,26	1 2 5 11 20 31 37 36 28 17 8 3 1 0	0,05 0,01 0,025 0,055 0,1 0,155 0,185 0,18 0,14 0,085 0,04 0,015 0,005 0

Интервальный вариационный ряд графически изобразим в виде гистограммы (рис.3). На оси Х отложим интервалы длиной h=3, а на оси Y значения ,расчёт которых представлен в таблице №7. Площадь под гистограммой равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Графическое изображение вариационных рядов в виде полигона и гистограммы позволяет получать первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в совокупности наблюдений.

Рис.3

3) Найдём числовые характеристики вариационного ряда, используя таблицу №4.

Выборочная средняя ( ):

или , (9)

где - частоты,

а -объём выборки. Выборочная средняя является оценкой математического ожидания (среднего значения теоретического закона распределения).

В некоторых случаях удобнее рассчитать с помощью условных вариант. В нашем случае варианты - большие числа, поэтому используем разность:

(10)

где С – произвольно выбранное число (ложный нуль). В этом случае

. (11)

Для изменения значения варианты можно ввести также условные варианты путём использования масштабного множителя:

, (12)

где (b выбирается положительным или отрицательным числом).

. Здесь С – середина 8-го интервала.

Выборочная дисперсия ( ):

(13)

также может быть рассчитана с помощью условных вариант:

(14)

= (1*441+0*324+…+1*324)- 1,95²=40,21

Среднеквадратическое отклонение:

= (15)

= =6,34

Найдем несмещённую оценку дисперсии и среднеквадратического отклонения («исправленную» выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение) по формулам:

и (16)

= =40,41 и S= 6,34=6,36

Доверительный интервал для оценки математического ожидания с надёжностью 0,95 определяют по формуле:

P( -t Ф (t)= (17)

Из соотношения Ф(z)= /2 вычисляют значение функции Лапласа: Ф(z)=0,475. По таблице значений функции Лапласа ( Приложение 2) находят z=1,96. Таким образом,

168,55-1,96 ,

167,67<a<169,43.

Доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения случайной величины находят по формуле:

, (18)

где S – несмещённое значение выборочного среднего квадратичного отклонения;

q – параметр, который находится по таблице (Приложение 3) на основе известного объёма выборки n и заданной надёжности оценки .

На основании данных значений =0,95 и n=200 по таблице (Приложение 3) можно найти значение q=0,099. Таким образом,

5,79<

V= (19)

4) Проведём статистическую проверку гипотезы о нормальном распределении. Нормальный закон распределения имеет два параметра (r=2): математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. По выборочным данным (таблицы 5 и 7) полученные оценки параметров нормального распределения, вычисленные выше:

, , S=6,36.

Для расчёта теоретических частот используют табличные значения функции Лапласа Ф( z ). Алгоритм вычисления состоит в следующем:

- по нормированным значениям случайной величины Z находят значения Ф( z ), а затем :

, =0,5+Ф( ).

Например,

; ; Ф(-3,0)=-0,4987;

;

- далее вычисляют вероятности =P( ;

- находят числа , и если некоторое <5, то соответствующие группы объединяются с соседними.

Результаты вычисления , , и приведены в таблице 9.

По формуле

= (20)

можно сделать проверку расчетов.

По таблице (приложения 4) можно найти число по схеме: для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы l = k - r -1=9-2-1=6 =12,6. Следовательно, критическая область - (12,6; ). Величина =15,61 входит в критическую область, поэтому гипотеза о том, что случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения, отвергается.

При α=0,1 =10,6. Критическая область - (10,6; ). Величина =15,61 также входит в критическую область и гипотеза о нормальном законе распределения величины Х отвергается.

При α=0,01 =16,8, (16,8; ). В этом случае нет оснований отвергать гипотезу о нормальном законе распределения.

Таблица 9

Определение

i			Ф( )
0	149,5	0	-0,500	0,000	0,0013	0,0013	0,26	-
1	149,5 152,5	1	-0,449	0,0013	0,0059	0,0046	0,92	-
2	152,5 155,5	0	-0,494	0,0059	0,02	0,014	2,8	-
3	155,5 158,5	5	-0,48	0,02	0,057	0,037	7,4	2,54
4	158,5 161,5	7	-0,44	0,057	0,134	0,077	15,4	4,58
5	161,5 164,5	21	-0,37	0,134	0,26	0,126	25,2	0,7
6	164,5 167,5	38	-0,24	0,26	0,433	0,1725	34,5	0,36
7	167,5 170,5	39	-0,07	0,433	0,62	0,188	37,6	0,06
8	170,5 173,5	38	0,12	0,62	0,78	0,16	32	1,125
9	173,5 176,5	21	0,28	0,78	0,89	0,11	22	0,045
10	176,5 179,5	15	0,39	0,89	0,96	0,07	14	0,071
11	179,5 182,5	8	0,46	0,96	0,99	0,03	6	6,125
12	182,5 185,5	3	0,49	0,99	0,996	0,006	1,2	-
13	185,5 188,5	3	0,496	0,996	0,999	0,003	0,6	-
14	188,5	1	0,5	0,999	1,0	0,001	0,2	-

,0000

2 часть

1) Данные таблицы №3 сгруппируем в корреляционную таблицу №10.

2) Строим в системе координат множество, состоящее из 200 экспериментальных точек (рисунок 4).

По расположению точек делаем заключение о том, что экономико-математическую модель можно искать в виде .

3) Найдём выборочные уравнения линейной регрессии.

Для упрощения расчётов разобьём случайные величины на интервалы и выберем средние значения. Для величины Х указанные действия были выполнены в 1 части задания.

Таблица 10

Корреляционная таблица

	105	100	99	98	97	96	95	94	93	92	91	90	89	88	87	86	85	84	83	82	81	80	79	Y/X
1															1									148
1																1								155
2														1			1							156
2												1								1				157
1											1													158
3																1			1		1			159
3															1		1		1					160
6											1			1				2		1			1	161
6		1						1		1		1	1									1		162
9									1	1	2		1	3								1		163
15					1						2	2	3		1	1	1	3	2					164
15								4	1		2			1	4		1	1						165
8													2	1	1			3		1				166
14										1	2	1	3	2		1	3				1			167
10									2	1		1		2	1				1	1	1			168
15										2	5		1	2	3				1				1	169
15						1	1		1	1	3	4		2		1					1			170
11					1			1		1	3	1	2				1		1					171
12			2	1		1		1			2	1	1	1	1					1				172

Продолжение таблицы 10

	105	100	99	98	97	96	95	94	93	92	91	90	89	88	87	86	85	84	83	82	81	80	79	Y/X
9						1					1	3	2		1			1						173
6					1	1					1	1		1		1								174
6							1				1	2	1				1							175
10							1		3	1		1		1	1	1				1				176
1															1									177
4											1	2	1											178
3			1														2							179
3				1								1					1							180
2										1			1											181
1												1												182
1												1												183
1				1																				184
1											1													185
1										1						1								186
1																								187
1	1																							190
200	1	1	3	3	3	4	3	7	8	11	28	24	19	18	17	7	12	10	7	6	4	2	2

Рис.4

Для случайной величины Y, используя (1), получим h=2, число интервалов равно 13. Результаты внесём в таблицу со сгруппированными данными № 11.

Находим средние значения , по формулам:

, (21)

, (22)

, (23)

. (24)

149,5*86+155,5(82+…+90)+…+188,5*104=2986101

Используя формулы:

, (25)

, (26)

получим

= , =

Таблица 11

Сгруппированные данные выборки

№		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	XY	149,5	152,5	155,5	158,5	161,5	164,5	167,5170,5173,5	170,5	173,5	176,5	179,5	182,5	185,5	188,5
1	80				1	3		3	1							8
2	82			1	2	1	3	3	2		1					13
3	84			1	1	2	9	3	1	2		3				22
4	86	1		1	2		7	5	1	1	3			1		24
5	88			1		6	7	10	6	4	2	1				37
6	90			1	1	4	6	9	14	9	4	1	2	1		52
7	92					3	1	6	3		4	1		1		19
8	94					1	4		3	1	1					10
9	96						1		3	3						7
10	98								3			2	1			6
11	100					1										1
12	102
13	104														1	1
		1		5	7	21	38	39	38	21	15	8	3	3	1	200

4) Вычисляем выборочный коэффициент корреляции по формуле:

. (27)

Принято считать, что если 0,1< <0,3 – связь слабая, если 0,3< <0,5 – связь умеренная, если 0,5< <0,7 – связь заметная, если 0,7< <0,9 – связь высокая, если 0,9< <0,99 – связь весьма высокая.

Для данного примера связь между X и Y умеренная.

Затем получают выборочное уравнение линейной регрессии Y на X в виде:

(28)

и выборочное уравнение линейной регрессии X на Y :

. (29)

или

Вычисления сумм рекомендуем проводить с помощью пакетов прикладных математических программ (сегодня их существует много).

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ № 1- № 4

Вариант 1.

1. Фирма имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, В и С. На долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей бракованные, фирмой В – 5% и фирмой С – 6%.

1) Какова вероятность, что взятая наугад деталь была получена от фирмы А?

2) Какова вероятность, что взятая наугад и оказавшаяся бракованной деталь получена от фирмы А?

2. Накануне выборов 40% населения поддерживают «Партию квадратов», 40% - «Партию Кругов» и 20% еще не определились во мнении. Какова вероятность того, что, по крайней мере, половина из шести наудачу выбранных избирателей оказывают доверие «Партии квадратов»?

3. Имеется 8 изделий, из которых 3 дефектных. Для контроля взято наудачу 3 изделия. Случайная величина Х – число дефектных изделий в выборке.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Фирма «Клубок ниток» производит вязальные спицы. Наиболее популярны размеры

	Диаметр (мм)	Точность (мм)
Номер 10	3.25	± 0.125
Номер 11	3.00	± 0.125
Номер 12	2.75	± 0.125

«Клубок» производит нарезку игл из проволоки и их дальнейшую обработку. В результате чего средний диаметр заготовок становится 3.10 мм, а его среднее квадратическое отклонение 0.10 мм. Допустим, значение диаметра подчиняется закону нормального распределения. Требуется определить долю заготовок, пригодных для производства спиц №11, учитывая, что дальнейшая обработка не изменяет диаметр заготовок.

Вариант 2.

1. В центральную бухгалтерию корпорации поступили пачки накладных для проверки и обработки. 90% пачек были признаны удовлетворительными: они содержали только 1% неправильно оформленных накладных. Остальные 10% пачек накладных были признаны неудовлетворительными, так как содержали 5% неправильно оформленных накладных. Взятая наугад из пачки накладная оказалась оформленной неправильно. Учитывая это, какова вероятность того, что вся пачка накладных будет признана не соответствующей стандартам?

2. На курсах повышения квалификации бухгалтеров учат определять правильность накладной. В качестве проверки преподаватель предлагает слушателям проверить 10 накладных, 4 из которых содержат ошибки. Он берет наудачу из этих десяти три накладные и просит проверить. Какова вероятность того, что одна из них окажется ошибочной, а две других – нет? Что все три окажутся правильными?

3. Вероятность досрочно сдать экзамен на «5» для каждого из четырех сдающих студентов равна 0,6. Случайная величина Х – число студентов ( из этих четырех ), сдавших этот экзамен на «5».

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P( ).

Вариант 3.

1. Нефтяная компания, изучив данные геологоразведки, оценивает вероятность обнаружения нефти в некотором районе как 0,3. Из предыдущего опыта подобных работ известно, что если нефть действительно должна быть обнаружена, первые пробные бурения дают положительные образцы с вероятностью 0,4. Если оказалось, что первые бурения дали отрицательный результат, какова вероятность того, что нефть, тем не менее, будет обнаружена в данном районе?

2. Число дефектов в изделии может быть любым – 1, 2, 3, 4 и т.д. По оценке компании вероятность отсутствия дефекта составляет 0,9, а вероятность наличия одного дефекта – 0,05. Какова вероятность, что в изделии не больше, чем один дефект?

3. В программе экзамена 45 вопросов, из которых студент знает 30. В билете 3 вопроса. Случайная величина Х – число вопросов билета, которые знает студент.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Ошибка измерения высоты полета гидрометеорологического спутника относительно наземной станции подчинена нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю и средним квадратическим отклонением, равным 1 км. Ошибка принимает отрицательное значение, если измеряемая высота слишком мала и положительное значение, если измеряемая высота слишком велика. Найти вероятность того, что а) ошибка будет больше чем +0.75 км; б) значение ошибки будет заключено в пределах между + 0.10 км и + 0.60 км; в) ошибка будет меньше чем – 1.25 км.

Число дефектов в изделии может быть любым – 1, 2, 3, 4 и т.д. По оценке компании вероятность отсутствия дефекта составляет 0,9, а вероятность наличия одного дефекта – 0,05. Какова вероятность, что в изделии не больше, чем один дефект?

Вариант 4.

1. Среди студентов некоторой группы 2/5 юноши и 3/5 девушки. Половина студентов – юношей данной группы моложе 21 года, среди студенток – девушек моложе 21 года – 2/3. Чему равна вероятность того, что 1) случайно выбранный учащийся старше 21 года и 2) случайно выбранный учащийся, возраст которого меньше 21 года, - это девушка.

2. Экзамен на водительские права по правилам дорожного движения содержит 20 вопросов с тремя вариантами ответов в каждом. Для сдачи экзамена необходимо ответить правильно как минимум на 19 вопросов. Если будущий водитель выбирает ответы, полагаясь исключительно на удачу, то какова для него вероятность сдать экзамен?

3. Бросают две игральные кости. Случайная величина Х – модуль разности числа выпавших очков.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

Вариант 5.

1. Отдел закупок женского платья большого столичного торгового комплекса приобретает 20% своего товара у фабрики А, 30% у фабрики Б и оставшиеся 50% у разных мелких поставщиков. К концу сезона распродается 80% продукции фабрики А, 75% продукции фабрики Б и 90% продукции мелких поставщиков. Какова вероятность, что платье, оставшееся непроданным в конце сезона, было произведено на фабрике А?

2. Известно что 85% деревьев, высаживаемых фирмой «Флора-дизайн» приживается. Фирма получила заказ на озеленение внутреннего двора нового дома, в котором должна посадить 10 молодых берез. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока фирме придется заменить

а) три засохших саженца?

б) не более двух?

в) ни одного?

3. Зеленщик покупает персики большими партиями. Учитывая скоропортящийся характер товара, он допускает, что 15% фруктов будут подпорчены. Для проверки качества зеленщик выбирает 5 персиков. Случайная величина Х – число подпорченных фруктов среди выбранных.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность того, что зеленщик купит данную партию персиков, если для этого среди выбранных 5 персиков должно быть не более двух подпорченных.

4. Средний срок службы аккумуляторной батареи мобильного телефона нового поколения ‑ 1000 часов, его среднее квадратическое отклонение 100 часов. Действует нормальный закон распределения. Найти вероятность того, что аккумуляторная батарея случайно выбранного мобильного телефона выйдет из строя а) через 1050 часов работы; б) через 750 часов; в) не ранее, чем через 850 часов, но не позднее, чем через 1150 часов.

Вариант 6.

1. Розничная сеть имеет три магазина. На долю главного магазина приходится 50% продаж, тогда как на долю двух пригородных магазинов – 30% и 20%. Процент магазинных краж для этих магазинов составляет 1%, 0,8% и 0,75% соответственно. Какова вероятность, что украденная вещь находилась в продаже в главном магазине сети?

2. Лист экзаменационного тестирования содержит 10 вопросов. На каждый вопрос предлагается 5 ответов, среди которых только один верный. Если студент выбирает ответы случайным образом, какова вероятность того, что правильными будут а) ровно половина ответов? б) не менее восьми ответов? в) не более одного?

3. Производятся независимые испытания трех приборов. Вероятности отказа для них 0,2, 0,3, 0,1 соответственно. Случайная величина Х – число отказавших приборов.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P(0<X<5).

Вариант 7.

1. На курсах повышения квалификации бухгалтеров учат определять правильность накладной. В качестве проверки преподаватель предлагает слушателям проверить 10 накладных, 4 из которых содержат ошибки. Он берет наугад накладную и просит проверить. При условии того, что обучающийся идентифицирует неправильную накладную с вероятностью 0.8, а правильную накладную признает ошибочной с вероятностью 0,05, чему равна вероятность того, что выбранная накладная – ошибочная.

2. Исследование ископаемых частиц пыльцы растений, найденных в разных слоях донных осадков большого озера, обычно дает информацию о типичной растительности, окружавшей озеро в то время, когда формировался данный слой. Доля частиц пыльцы хвойных деревьев в донных осадках составляет 0.6. Если на анализ поступили 10 частиц пыльцы, какова вероятность того, что а) ровно пять, б) не более двух из них окажутся принадлежащими хвойным деревьям?

3. Обрыв произошел равновероятно на одном из 5 звеньев телефонной линии. Монтер обследует их последовательно до обнаружения обрыва. Случайная величина Х – число обследованных звеньев.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Пилорама «Стружкин и компания» производит и продает сухие доски. Наиболее популярные размеры дюймовой осиновой шлифованной доски

	Длина (м)	Точность (м)
Номер 4	3.25	± 0.125
Номер 5	3.00	± 0.125
Номер 6	2.75	± 0.125

На пилораме сушат сырые доски, после чего шлифуют их. Средний размер поступающих сырых досок (заготовок) 3м 10см, его среднее квадратическое отклонение 10см. Допустим, длина заготовок подчиняется закону нормального распределения. Требуется определить долю заготовок, пригодных для производства досок №5, учитывая, что сушка и шлифовка не изменяют длины заготовок, и дальнейшая обработка не включает распил досок по длине.

Вариант 8.

1. В школе обучается одинаковое количество мальчиков и девочек. У восьмидесяти процентов девочек и у тридцати процентов мальчиков длинные волосы. Какова вероятность того, что случайно выбранный ученик с длинными волосами ‑ мальчик?

2. Вероятность того, что пенициллин вылечит бактериальную инфекцию определенного типа, равна 75%. В течение небольшой эпидемии терапевт назначил антибиотик 8 больным. Какова вероятность того, что по крайней мере 6 из них вылечатся?

3. Банк предполагает разместить свободные средства. Менеджер отдела инвестиций должен выбрать один из трех инвестиционных проектов: А, В или С. Финансово-аналитический отдел подготовил экспертную информацию по этим проектам. Специалисты оценили возможные размеры доходов и соответствующие им вероятности. Считая доход по проекту А случайной величиной Х, по проекту В случайной величиной У и по проекту С Z, выбрать один из трех проектов, обосновать выбор с точки зрения ожидаемого дохода и рискованности инвестиции. Для выбранного проекта

1) Построить график функции распределения y = F(x) соответствующей случайной величины.

2) Найти вероятность того, что инвестиция окажется убыточной или не принесет никакого дохода.

Х	-500	-200	100	400	700
р	0.1	0.25	0.3	0.25	0.1

У	-100	0	100	200	300
р	0.1	0.25	0.3	0.25	0.1

Z	-500	-200	100	400	700
р	0.01	0.025	0.93	0.025	0.01

Вариант 9.

1. Предприниматель производит одинаковые детали на двух производственных линиях. Две пятых продукции сходит со старой линии, при этом 10% выпуска признается браком. Остальные три пятых продукции производятся на новейшей линии, для которой процент брака равен лишь 4%. Какова вероятность того, что оказавшаяся бракованной деталь была выпущена на старой производственной линии?

2. Известно, что 60% щенков собак определенной породы имеют черные глаза. Цвет глаз одного щенка не зависит от цвета глаз другого. Какова вероятность того, что в помете из девяти щенков по крайней мере одна треть будет иметь черные глаза?

3. Студенты Артемов и Белов стоят в очереди в раздевалку. Всего в очереди 6 человек. Случайная величина Х – число студентов, стоящих между ними.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P(-10<X<3).

Вариант 10.

1. Фирма собирается выпускать новый товар на рынок. Подсчитано, что вероятность хорошего сбыта продукции равна 0.6; плохого ‑ 0.4. Компания собирается провести маркетинговое исследование, вероятность правильности которого 0.8. Как изменятся первоначальные вероятности уровня реализации, если это исследование предскажет плохой сбыт?

2. Испорченный консервный аппарат неправильно запечатывает банку крышкой в одном случае из шести. Если инспектор выберет случайным образом 2 банки вышедшие из этого испорченного аппарата для проверки, какова вероятность, что поломка останется незамеченной? Если выбраны для проверки 4 банки, какова вероятность того, что по крайней мере 2 из них будут иметь плохие крышки?

3. Частный предприниматель сдает в наем 4 автомобиля. Средний спрос в будний день составляет 2 автомобиля. В году 312 будних дней. Определить вид распределения случайной величины Х – числа автомобилей, востребованных в течение буднего дня. Найти математическое ожидание и дисперсию Х. Построить график функции распределения y=F(x) для значений х≤5. Найти число будних дней, в течение которых спрос превысит предложение (дробное число округлить в большую сторону).

4. На автозаправочной станции показания автомата округляются до ближайшего целого числа литров бензина. Считая ошибку округления распределенной равномерно, найти математическое ожидание и дисперсию ошибки показания автомата. Найти вероятность того, что очередной клиент недополучит от 0,1 л до 0,3 л бензина.

Вариант 11.

1. Согласно оценке эксперта участок земли близ населенного пункта N окажется нефтеносным с вероятностью 0.2 и пустым с вероятностью 0.8. Потенциальный инвестор решил заказать дополнительное исследование. Нефтедобывающая компания, организующая это специфическое исследование, оценивает в 90% надежность подтверждения нефти в том случае, когда нефть есть, и в 70% надежность отрицания наличия нефти если нефти нет. Найти вероятности нефтеносности участка
1) в случае подтверждающего нефть результата исследования;

2) в случае отрицающего нефть результата исследования.

2. Совет директоров компании состоит из трех бухгалтеров, трех менеджеров и двух инженеров. Планируется создать подкомитет из его членов. Какова вероятность того, что все трое в этом подкомитете будут бухгалтеры?

3. Известно что 20 % собранных шампиньонов контроль отправляет на переработку в консервное производство. На конвейер поступили пять грибов. Случайная величина Х – количество шампиньонов (из этих пяти штук), отправленных в переработку. Определить тип распределения случайной величины.

а) Составить таблицу распределения Х.

б) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

в) Построить график функции распределения y = F(x)

г) Найти вероятность P(X>3).

4. Известно, что до реорганизации телефонной сети большого города средний срок оплаты квитанций за междугородние, международные разговоры составлял 45 дней со средним квадратическим отклонением 10 дней. Найти вероятность того, что квитанция, оформленная 1 апреля, будет оплачена а) между 13 мая и 18 мая; б) не позднее 25 мая.

Вариант 12.

1. Большая корпорация проводит набор стажеров менеджеров, 30% которых имеют университетское образование. 45% набранных стажеров в конце концов получают позицию менеджера в корпорации. Однако процент работников, достигших уровня менеджера, среди стажеров с университетским образованием равен 70%. Какова вероятность того, что менеджер, получивший свою позицию через корпоративную стажировку, имеет университетское образование?

2. В отделе внешних связей фирмы имеется восемь заказов на отправку товара: пять – внутри страны, а три – на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны?

3. Экспериментальная лаборатория института растениеводства получила семена редкого вида пшеницы. Всхожесть семян составляет 80 %. Случайная величина Х – число взошедших семян среди пяти посаженных. Определить тип распределения случайной величины.

а) Составить таблицу распределения Х.

б) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

в) Построить график функции распределения y = F(x)

г) Найти вероятность P(X<3).

4. Упаковочный аппарат расфасовывает стиральный порошок в пакеты, средний вес которых 930 гр., а среднеквадратическое отклонение – 20 гр. Какая доля пакетов будет иметь вес до 900 гр.? Если требуется, чтобы не более чем 2.5% пакетов содержали меньше, чем 900 гр., то как должна быть переналажена машина, чтобы соответствовать этому требованию?

Вариант 13.

1. Вероятность того, что после прохождения собеседования претендент на должность в некоторой фирме все еще хочет поступить на работу, равна 0.8, тогда как вероятность того, что фирма желает нанять претендента, равна 0.4. Среди претендентов, которых фирма желает нанять на работу, 90% лиц сохраняет намерение работать после прохождения собеседования. Какова вероятность того, что претендент, который все еще хочет поступить на работу, будет нанят фирмой?

2. Небольшая британская компания выпускает гайки и болты, размеры которых задаются в стандартной британской и в метрической системах мер. Однажды коробка с пятнадцатью 20-мм болтами опрокинулась в ящик с тридцатью дюймовыми болтами, а коробка с пятнадцатью 20-мм гайками – в ящик с тридцатью дюймовыми гайками. Какова вероятность, что взятые наудачу болт и гайка подойдут друг к другу?

3. Система выборочного контроля качества подвергает усиленной проверке 20 % автомобилей, сошедших с заводского конвейера. С конвейера сошли пять автомобилей. Случайная величина Х – число автомобилей, прошедших усиленный контроль. Определить тип распределения случайной величины.

а) Составить таблицу распределения Х.

б) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

в) Построить график функции распределения y = F(x)

г) Найти вероятность P(X<2).

4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P(-3<X<0).

Вариант 14.

1. Предприниматель покупает некоторую комплектующую деталь у двух поставщиков: А и В. За определенный период времени фирма использует 20000 таких деталей, причем 6000 из них приходит от поставщика А. Процент брака для продукции поставщика А равен 3%, В 1.5%. Найти вероятность того, что данная бракованная деталь была куплена у поставщика А.

2. Банковский менеджер знает по собственному опыту, что в среднем 10% клиентов, оформивших в банке заем, задерживают выплаты по графику возврата денег. Вчера менеджер подписал документы на 7 займов. Какова вероятность того, что

а) ни один из 7 заемщиков не будет задерживать свои выплаты?

б) один из них будет задерживать выплаты?

в) как минимум двое из них будут нарушать график выплат?

3. Случайная величина Х – сумма цифр выбранного наудачу двузначного числа ( от 10 до 49 ).

а) Составить таблицу распределения Х.

б) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

в) Построить график функции распределения y = F(x)

г) Найти вероятность P(4,5<X<10).

4. Срок работы электрических компонент подчиняется нормальному распределению со средней продолжительностью работы 80 ч. и среднеквадратическим отклонением – 30 ч. а) Допустим, производитель решил заменить все компоненты, которые вышли из строя до гарантийного срока работы, составляющего 45 ч. Какую долю общего выпуска составит эта часть продукции?

б) Допустим, производитель решил заменить только 10% общего выпуска, т.е. компоненты с самым коротким сроком работы. Какой гарантийный срок работы он должен назначить, чтобы выполнить это условие?

Вариант 15.

1. Среди мужского населения небольшого города Наукограда в возрасте от 30 до35 лет, 25% жителей имеют университетский диплом, зарплата у 15% жителей-мужчин указанной возрастной категории выше средней, и 65% не имеют университетского диплома и их зарплата ниже средней. Какова вероятность того, что мужчина, случайно выбранный из этой возрастной группы, имеет зарплату выше средней, если а) у него университетское образование; б) нет университетского образования?

2. На прямом участке оживленного городского проспекта установлены четыре светофора, работающих независимо друг от друга. Вероятность проехать светофор без остановки в часы пик равна для каждого из них 0,3. С какой вероятностью курьер доставки товаров проследует три светофора без остановок.

3. Имеется 5 заготовок для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки равна 0,8. Случайная величина Х – число заготовок, оставшихся после изготовления первой годной детали.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P(1.5<X<3).

Вариант 16.

1. За последний период времени 500 автомобилей было возвращено на автомобильный завод из-за наличия дефектов, причем 100 из них были выпущены в понедельник, 100 во вторник, 100 в среду, 100 в четверг и 100 в пятницу. Оказалось, что 40 автомобилей нуждаются в устранении серьезных неполадок, возникших в течение гарантийного периода. Среди автомобилей, выпущенных в пятницу, 15 имеют серьезные неполадки. Являются ли события А=«автомобиль был выпущен в пятницу» и В=«автомобиль имеет серьезные неполадки» независимыми? Сравнить вероятности Р(В) и Р(В/А).

2. Известно, что 40% пациентов, у которых выявлено некоторое заболевание «альфа», должны сделать операцию. В палате находятся четверо больных, которым недавно поставлен диагноз «альфа». Какова вероятность того, что операцию сделает только один из них (все равно кто именно)?

1) Построить график функции распределения y = F(x) соответствующей случайной величины.

2)Найти вероятность того, что инвестиция окажется убыточной или не принесет никакого дохода.

Х	-500	-200	200	600	900
р	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

У	-100	100	200	300	500
р	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

Z	-500	-200	200	600	900
р	0.015	0.035	0.9	0.035	0.015

4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P(-2<X<3).

Вариант 17.

1. Подброшены две игральные кости. Событие А сумма выпавших очков равна 9, событие В разность выпавших очков равна 1. Зависимы ли события А и В? Объяснить почему (подтвердить вычислениями).

2. Магазин получает товар партиями по 100 штук. Если пять взятых наудачу образцов соответствует стандартам, партия товара поступает на реализацию. В очередной партии восемь единиц товара с дефектом. Какова вероятность того, что товар поступит на реализацию?

3. Вероятность, что покупателю потребуется обувь 42 размера, равна 0,3. В магазине 3 покупателя. Случайная величина Х – число покупателей, находящихся в магазине, которым требуется обувь 42 размера.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Автоматический токарный станок настроен на выпуск деталей со средним диаметром 2.00 см и со средним квадратическим отклонением 0.005 см. Действует нормальный закон распределения. Компания технического сервиса рекомендует остановить станок для технического обслуживания и корректировки в случае, если образцы деталей, которые он производит, имеют средний диаметр более 2.01 см, либо менее 1.99 см.

1) Найти вероятность остановки станка, если он настроен по инструкции на 2.00 см.

2) Если станок начнет производить детали, которые в среднем имеют слишком большой диаметр, а именно, 2.02 см, какова вероятность того, что станок будет продолжать работать?

Вариант 18.

1. Из трех бухгалтеров, восьми менеджеров и шести аналитиков необходимо с помощью случайного выбора сформировать комитет, состоящий из десяти человек. Какова вероятность того, что в комитете окажутся: один бухгалтер, пять менеджеров и четверо аналитиков?

2. В среднем 25% взрослого населения некоторого большого города смотрит популярное телевизионное шоу. Какова вероятность того, что среди восьми случайно выбранных взрослых людей шоу смотрит трое или больше?

3. Курс междуреченского доллара меняется еженедельно. Сегодня он равен 87 рублям. Через неделю он может увеличиться на 2 рубля с вероятностью 0,2, уменьшиться на 2 рубля с вероятностью 0,3 либо остаться неизменным. Случайная величина Х – курс междоллара через две недели.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(84,5<X<88).

Вариант 19.

1. Три мяча выбирают случайным образом из коробки, содержащей 5 белых, 6 красных и 4 желтых мяча. Найти вероятность того, что

а) все три мяча красные;

б) все три мяча разные по цвету;

в) все три мяча одинаковые по цвету.

2. Двух- или четырехмоторный аэроплан может оставаться в воздухе до тех пор, пока функционирует половина его двигателей. Чему равна вероятность падения каждого из типов аэропланов, если вероятность любой поломки двигателя составляет 0,001?

1) Построить график функции распределения y = F(x) соответствующей случайной величины.

2) Найти вероятность того, что инвестиция окажется убыточной или не принесет никакого дохода.

Х	-800	-300	100	500	1000
р	0.1	0.25	0.3	0.25	0.1

У	-300	0	100	200	500
р	0.1	0.25	0.3	0.25	0.1

Z	-800	-300	100	500	1000
р	0.01	0.025	0.93	0.025	0.01

4. Рыночный торговец так настроил свои электронные весы, что показания стоимости покупки округляются до ближайшего целого числа рублей. Считая ошибку округления распределенной равномерно, найти математическое ожидание и дисперсию ошибки показания весов. Найти вероятность того, что торговец в результате округления недополучит от 20 до 35 копеек от очередного клиента.

Вариант 20.

1. В подразделение отряда космонавтов входят 12 человек, из них 7 уже были в космосе, а 5 еще нет. Для участия в проекте отбирают 4 кандидатов. Какова вероятность того, что по крайней мере у двоих из отобранных кандидатов уже есть космический опыт?

2. Консервный цех складирует продукцию в штабели по 500 штук. В некотором штабеле оказалось 150 нестандартных банок. Инспектор выбирает наудачу последовательно две банки. Какова вероятность того, что а) обе банки нестандартные; б) обе банки качественные?

3. На дне глубокого сосуда лежат спокойно 6 шаров – 2 белых и 4 черных. Случайная величина Х – число извлеченных без возвращения шаров до первого белого.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

7. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ №5

Студенты, имеющие варианты с 1 по 10, выполняют задание №1, имеющие варианты с 11 по 20 – задание №2.

Задание №1

Отдел маркетинга крупной швейной фабрики провёл анкетирование 500 человек (женщин) по вопросу роста (Х) см и веса (Y) кг. В результате была выявлена следующая зависимость (таблица 2.1).

Таблица 2.1

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
X	168	169	156	171	175	159	167	169	170	156	168	169
Y	73	68	56	75	66	60	60	68	68	54	62	56

13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
164	171	174	176	170	173	171	196	155	174	176	176	172
66	66	64	81	61	69	62	60	61	66	75	60	70

26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38
172	163	187	172	161	176	164	166	168	162	163	172	175
67	59	84	70	60	70	60	63	55	55	65	65	64

39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51
156	164	167	177	183	163	172	172	172	173	163	166	178
54	70	63	67	73	63	69	60	63	67	66	57	69

52	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62	63	64
169	171	165	175	171	186	165	164	163	173	173	177	173
75	60	63	80	67	71	64	60	67	69	66	72	75

65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77
156	172	160	176	171	169	163	163	172	178	166	164	171
53	59	62	71	66	75	63	72	74	73	57	59	69

78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
163	163	182	163	169	164	164	170	176	163	179	176	182
63	58	76	58	67	70	62	67	65	57	80	67	66

91	92	93	94	95	96	97	98	99	100	101	102	103
169	159	169	165	165	167	173	170	170	169	164	177	173
73	68	62	61	62	64	69	61	61	68	59	68	64

Продолжение таблицы 2.1

104	105	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	116
166	161	162	190	167	160	165	156	157	174	168	176	170
63	66	66	80	59	62	76	59	60	69	58	72	65

117	118	119	120	121	122	123	124	125	126	127	128	129
173	168	164	164	172	173	173	165	167	173	184	163	179
69	61	57	56	63	64	78	60	59	72	68	58	69

130	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140	141	142
161	162	158	171	177	164	166	171	174	170	174	169	174
66	55	57	57	60	53	62	62	73	61	73	62	70

143	144	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155
169	175	167	172	168	163	168	161	173	164	167	164	173
71	67	63	64	63	65	67	56	66	62	68	63	70

156	157	158	159	160	161	162	163	164	165	166	167	168
176	172	167	173	161	171	169	161	170	174	168	164	170
65	67	70	77	51	76	62	52	61	68	63	64	66

169	170	171	172	173	174	175	176	177	178	179	180	181
164	162	166	172	169	169	163	178	166	168	168	180	163
60	60	62	67	64	57	65	80	55	59	64	69	60

182	183	184	185	186	187	188	189	190	191	192	193	194
165	163	158	171	175	170	165	184	169	167	167	179	165
62	64	61	69	74	69	69	72	67	61	65	69	59

195	196	197	198	199	200	201	202	203	204	205	206	207
173	161	166	164	159	175	169	172	172	167	160	156	161
69	60	67	59	55	67	68	73	64	64	59	52	61

208	209	210	211	212	213	214	215	216	217	218	219	220
174	167	174	167	168	168	167	167	171	168	162	174	173
79	61	66	56	50	58	59	68	72	66	64	67	68

221	222	223	224	225	226	227	228	229	230	231	232	233
173	165	167	172	176	174	171	169	161	173	170	176	171
71	68	62	66	72	74	70	62	56	69	74	70	65

234	235	236	237	238	239	240	241	242	243	244	245	246
166	167	156	167	166	167	173	169	176	168	163	169	164
51	66	58	55	62	60	63	74	62	65	68	55	61

Продолжение таблицы 2.1

247	248	249	250	251	252	253	254	255	256	257	258	259
164	170	172	166	163	164	166	175	162	164	164	164	167
60	63	72	57	65	56	62	64	60	61	65	66	64

260	261	262	263	264	265	266	267	268	269	270	271	272
170	161	174	165	171	166	172	170	180	164	184	168	172
58	57	74	69	60	67	64	61	73	61	84	68	68

273	274	275	276	277	278	279	280	281	282	283	284	285
165	176	171	169	171	170	164	167	164	165	162	164	178
63	70	67	70	63	60	57	65	62	60	53	61	80

286	287	288	289	290	291	292	293	294	295	296	297	298
159	171	169	169	178	180	167	164	170	165	181	170	173
55	65	63	70	75	65	57	60	61	60	68	75	66

299	300	301	302	303	304	305	306	307	308	309	310	311
182	166	163	165	180	162	171	171	161	167	167	169	178
75	67	58	57	75	54	73	72	59	59	61	64	72

312	313	314	315	316	317	318	319	320	321	322	323	324
164	171	168	177	161	172	154	170	167	162	168	168	173
65	70	54	78	55	73	52	65	55	52	64	62	63

325	326	327	328	329	330	331	332	333	334	335	336	337
162	165	171	161	159	163	163	170	173	173	170	168	169
65	57	64	62	54	63	61	76	65	69	66	67	64

338	339	340	341	342	343	344	345	346	347	348	349	350
175	161	171	171	169	170	171	166	171	169	177	158	167
59	52	64	66	66	70	63	78	67	69	70	56	71

351	352	353	354	355	356	357	358	359	360	361	362	363
166	176	163	161	168	172	156	166	165	165	166	167	167
63	65	63	51	60	78	54	61	72	56	55	63	63

364	365	366	367	368	369	370	371	372	373	374	375	376
171	165	160	157	165	166	157	165	165	160	166	168	186
60	61	50	53	66	60	56	59	63	61	62	70	72

377	378	379	380	381	382	383	384	385	386	387	388	389
171	170	170	167	169	168	162	178	176	161	171	159	168
65	73	65	65	61	64	56	66	78	56	70	57	70

Продолжение таблицы 2.1

390	391	392	393	394	395	396	397	398	399	400	401	402
167	178	169	163	169	170	187	174	162	165	164	173	162
67	62	62	68	66	68	63	66	57	63	60	77	58

403	404	405	406	407	408	409	410	411	412	413	414	415
179	162	166	176	175	155	161	188	165	165	164	171	169
63	65	63	70	77	51	64	75	61	67	59	64	59

416	417	418	419	420	421	422	423	424	425	426	427	428
171	163	171	172	165	170	173	169	169	167	162	170	175
62	64	65	67	60	63	66	67	58	64	58	63	75

429	430	431	432	433	434	435	436	437	438	439	440	441
175	170	168	185	166	161	176	179	167	163	167	179	180
69	65	55	82	58	63	67	71	63	54	57	78	76

442	443	444	445	446	447	448	449	450	451	452	453	454
166	171	163	180	179	176	164	168	174	170	162	157	157
57	59	60	84	77	77	60	63	75	65	61	60	59

455	456	457	458	459	460	461	462	463	464	465	466	467
177	161	148	168	176	166	169	168	176	167	159	164	181
72	55	48	66	70	71	62	67	70	75	48	53	77

468	469	470	471	472	473	474	475	476	477	478	479	480
165	171	159	174	160	169	167	170	161	174	178	168	168
61	66	61	70	57	65	63	65	58	74	71	71	67

481	482	483	484	485	486	487	488	489	490	491	492	493
165	173	166	175	158	174	178	170	167	168	161	161	166
55	65	55	78	57	65	60	62	61	70	66	60	64

494	495	496	497	498	499	500
169	164	181	165	171	169	168
66	68	69	68	65	61	65

Выполните задание 1-й и 2-й частей для приведённого примера и дайте интерпретацию полученных результатов.

Задание №2.

Получены статистические данные зависимости результатов измерения роста студентов (Х) от окружности груди (Y). Измерения проводились с точностью до 1 см. В результате была выявлена следующая зависимость (таблица 2.2).

Таблица 2.2

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
X	168	169	156	171	175	159	167	169	170	156	168	169
Y	90	91	81	89	96	90	88	97	90	84	85	79

N	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
X	164	171	174	176	170	173	171	169	155	174	176	160
Y	89	86	89	94	85	95	89	83	86	90	89	88

N	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36
X	172	172	163	187	172	161	176	164	166	168	162	163
Y	88	91	89	99	90	85	88	84	82	82	82	89

N	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48
X	172	175	156	164	167	177	183	163	172	172	172	173
Y	90	88	82	92	89	93	90	91	99	85	89	96

N	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
X	163	166	178	169	171	165	175	171	186	165	164	163
Y	86	86	89	91	80	93	95	97	92	93	89	91

N	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72
X	173	173	177	173	156	172	160	176	171	169	163	163
Y	89	84	92	90	88	82	87	87	83	88	88	94

N	73	74	75	76	77	78	79	80	81	82	83	84
X	172	178	166	164	171	163	163	182	163	169	164	164
Y	99	103	85	87	90	93	88	90	88	87	91	85

N	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96
X	170	176	163	179	176	182	169	159	169	166	165	167
Y	96	82	91	99	93	95	96	91	92	87	87	89

N	97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	108
X	173	170	170	169	164	177	173	166	161	162	190	167
Y	96	90	88	91	91	95	90	99	94	100	105	91

Продолжение таблицы 2.2

N	109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120
X	160	165	156	157	174	168	176	170	173	168	164	164
Y	87	94	89	91	91	86	92	95	93	93	92	88

N	121	122	123	124	125	126	127	128	129	130	131	132
X	172	173	173	165	167	173	184	163	179	161	162	158
Y	91	86	101	93	82	91	98	80	92	82	82	85

N	133	134	135	136	137	138	139	140	141	142	143	144
X	171	177	164	166	171	174	170	174	169	174	169	175
Y	87	87	84	84	86	93	86	97	83	90	85	85

N	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155	156
X	167	172	168	163	168	161	173	164	167	164	173	176
Y	85	94	93	96	92	81	91	89	86	83	97	88

N	157	158	159	160	161	162	163	164	165	166	167	168
X	172	167	173	161	171	169	161	170	174	168	164	170
Y	91	90	93	78	95	88	87	89	91	83	90	88

N	169	170	171	172	173	174	175	176	177	178	179	180
X	164	162	166	172	169	169	163	178	166	168	168	180
Y	97	84	89	89	88	84	88	98	90	90	87	90

N	181	182	183	184	185	186	187	188	189	190	191	192
X	163	165	163	158	171	175	170	165	184	169	167	167
Y	86	87	93	91	94	97	93	89	93	89	84	88

N	193	194	195	196	197	198	199	200	201	202	203	204
X	179	165	173	161	166	164	159	175	169	172	172	167
Y	85	84	89	91	91	87	83	89	91	96	87	91

N	205	206	207	208	209	210	211	212	213	214	215	216
X	160	156	161	174	167	174	167	168	168	167	167	171
Y	81	85	92	92	85	86	86	85	83	84	90	100

N	217	218	219	220	221	222	223	224	225	226	227	228
X	168	162	174	173	173	165	167	172	176	174	171	169
Y	92	91	88	92	96	93	92	99	93	98	92	91

N	229	230	231	232	233	234	235	236	237	238	239	240
X	161	173	170	176	171	166	171	167	156	167	166	167
Y	82	87	98	90	87	78	88	78	85	88	89	89

Продолжение таблицы 2.2

N	241	242	243	244	245	246	247	248	249	250	251	252
X	173	169	176	168	163	169	164	170	172	166	163	164
Y	90	87	88	91	82	87	88	85	90	87	92	84

N	253	254	255	256	257	258	259	260	261	262	263	264
X	166	175	162	164	164	164	167	170	161	174	165	171
Y	88	90	85	84	84	90	83	81	79	91	88	82

N	265	266	267	268	269	270	271	272	273	274	275	276
X	166	172	170	180	164	184	168	172	165	176	171	169
Y	89	88	90	90	88	101	88	91	87	86	83	96

N	277	278	279	280	281	282	283	284	285	286	287	288
X	171	170	164	167	164	165	162	164	178	159	171	169
Y	89	87	85	86	87	88	80	86	92	86	90	90

N	289	290	291	292	293	294	295	296	297	298	299	300
X	169	178	180	167	164	170	165	181	170	173	182	166
Y	87	90	85	81	87	86	94	89	92	90	88	90

N	301	302	303	304	305	306	307	308	309	310	311	312
X	163	165	180	162	171	171	161	167	167	169	178	164
Y	87	87	90	81	94	92	84	83	85	92	92	92

N	313	314	315	316	317	318	319	320	321	322	323	324
X	171	168	177	161	172	154	170	167	162	168	168	173
Y	94	81	99	80	94	84	92	83	87	90	92	90

N	325	326	327	328	329	330	331	332	333	334	335	336
Х	162	165	171	161	159	163	163	170	173	173	170	168
Y	89	84	91	85	81	88	93	96	95	90	92	88

N	337	338	339	340	341	342	343	344	345	346	347	348
X	169	175	161	171	171	169	170	171	166	171	169	177
Y	87	88	81	91	91	91	90	88	94	90	89	94

N	349	350	351	352	353	354	355	356	357	358	359	360
X	158	167	166	176	163	161	168	172	156	166	165	165
Y	85	95	96	87	84	83	81	98	85	82	93	91

N	361	362	363	364	365	366	367	368	369	370	371	372
X	166	167	167	171	165	160	157	165	166	157	165	165
Y	84	89	85	84	94	85	82	90	88	88	87	91

Продолжение таблицы 2.2

N	373	374	375	376	377	378	379	380	381	382	383	384
X	160	166	168	186	171	170	170	167	169	168	162	178
Y	83	87	92	92	85	91	90	90	90	84	85	87

N	385	386	387	388	389	390	391	392	393	394	395	396
X	176	161	171	159	168	167	178	169	163	169	170	187
Y	96	87	90	80	97	91	91	90	86	90	88	86

N	397	398	399	400	401	402	403	404	405	406	407	408
X	174	162	165	164	173	162	179	162	166	176	175	155
Y	86	85	85	84	95	82	88	92	88	95	95	85

N	409	410	411	412	413	414	415	416	417	418	419	420
X	161	168	165	165	164	171	169	171	163	171	172	165
Y	83	98	86	94	94	89	82	90	88	90	94	89

N	421	422	423	424	425	426	427	428	429	430	431	432
X	170	173	169	169	167	162	170	175	175	170	168	185
Y	93	85	92	82	85	90	84	91	90	91	90	91

N	433	434	435	436	437	438	439	440	441	442	443	444
X	166	161	176	179	167	163	167	179	180	166	171	163
Y	85	90	87	84	87	88	85	85	98	86	85	89

N	445	446	447	448	449	450	451	452	453	454	455	456
X	180	179	176	164	168	174	170	162	157	157	177	161
Y	92	92	93	83	89	96	90	86	90	82	93	84

N	457	458	459	460	461	462	463	464	465	466	467	468
X	148	168	176	166	169	168	176	167	159	164	181	165
Y	87	86	91	94	87	91	95	104	84	82	92	91

N	469	470	471	472	473	474	475	476	477	478	479	480
X	171	159	174	160	169	167	170	161	174	178	168	168
Y	92	91	88	85	89	83	91	85	87	91	90	93

N	481	482	483	484	485	486	487	488	489	490	491	492
X	165	173	166	175	158	174	178	170	167	168	161	161
Y	85	89	84	98	83	86	90	86	93	94	89	88

N	493	494	495	496	497	498	499	500
X	166	169	164	181	165	171	169	168
Y	84	85	89	90	90	90	81	80

Выполните задание 1-й и 2-й частей для приведённого примера и дайте интерпретацию полученных результатов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гмурман В.Е. «Теория вероятностей и математическая статистика.» Москва В.Ш. 2003г..

2. Колемаев В.А. «Теория вероятностей и математическая статистика.» ИНФРА-М,1999г..

3. Горелова Г.В. «Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel.» Ростов-на-Дону : Феникс, 2002.

4. Кремер М.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика.» ЮНИТИ – ДАНА 2001г..

5. Андронов А.И. «Теория вероятностей и математическая статистика.» СПб., Питер 2004г..

6. Митропольский А.К. «Элементы математической статистики» СПб. Питер 2004г.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Таблица случайных чисел

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1534 6128 6047 0806 9915 2882 9213 8410 9974 3402 8188 3825 0801 5603 0714 4617 6789 6705 3840 7662 7639 3237 3917 9138 8358 1030 6606 4533 4258 5224 6872 8638 9958 0265 8987 5552 9383 9903 6530 8679 5765 7198 2385 0732 1642 4514 8744 3729 8858 3522	3156 7887 2550 5080 3371 5323 8832 1796 2105 7649 6316 5991 4554 9885 9860 2354 5238 6380 3645 4899 8001 0807 1175 6958 6005 6163 5277 1189 1740 4765 8098 9573 7016 8255 1112 3410 2966 7596 5113 3328 0047 3077 0220 9274 8039 4307 5872 0522 6043 0221	2836 4102 8644 5705 4525 4341 4388 3899 2103 8226 1492 1124 6338 6352 0378 7627 7306 8621 0774 2965 4391 4246 1721 6005 6286 1745 1564 4922 0992 8949 7962 7198 5822 2996 7878 9627 7394 0332 7589 8310 1639 6716 2678 8660 3795 7212 8038 5397 8410 6197	7873 2551 9343 7355 5695 3463 9760 3683 4326 0782 2139 7483 5899 6467 8266 0372 1856 1790 9241 3273 2950 7329 5469 6423 9242 2975 6668 9365 0106 7928 1867 0956 4224 0699 9404 9362 9592 9109 6928 2060 3512 0291 1399 5836 2600 0687 9087 6790 2783 6051	5574 0330 9297 1448 5752 1178 6691 1253 3825 3364 8823 9155 3309 0231 8864 8151 7028 4433 9297 0551 7122 7936 1914 7977 5040 2018 7822 1361 1542 7267 7437 0950 7601 3584 0487 6298 9903 0182 6014 6277 9843 5585 2371 9065 4532 7632 7222 2157 1290 3470	3912 9255 0864 6249 2918 8374 0120 5654 2473 8070 9938 5564 2435 8034 9842 5336 1993 7285 8682 3652 9660 4168 4635 8519 3275 6353 5204 7273 0005 0841 7219 6576 6345 3956 6837 2417 8114 1351 9545 0110 0460 8004 0150 4301 7859 8224 2792 8958 4112 5643	7590 6427 3500 7514 7172 1173 8214 6988 6187 4500 0613 3209 0968 2569 6687 1994 7161 0854 1739 8477 9727 4146 0387 7103 2941 6547 6564 1633 0392 1476 3516 5144 4985 1665 3805 0024 8939 9163 9307 7979 3786 5330 1212 0029 0376 0846 0028 6509 8873 5702	5574 7067 8754 9205 6988 0670 8813 9978 2721 5598 7161 5959 0539 9446 1221 4402 7526 9127 7734 1877 0080 0866 2756 4267 3913 0207 1659 6764 4057 2009 9129 3914 4856 0446 9172 9520 9972 9008 5107 6741 2384 0504 9569 8042 4384 7055 4511 5204 7585 0103	1202 9325 2913 0402 0227 0820 0611 8026 1489 9421 0241 2364 4205 4174 0678 2124 6913 3445 0119 5327 7467 4916 6073 9316 3028 5587 5369 0747 0092 1742 4153 5596 4461 9107 7887 9154 1257 2542 1354 6033 4919 6346 8650 0159 9203 4106 3191 4779 7185 8726	7712 2454 1258 2427 4264 5067 3131 6751 4216 3816 3834 2555 8257 9219 3714 0016 6393 1111 2436 8629 7947 8648 8984 7206 1563 0300 1659 3881 5203 3860 8084 6104 6147 6437 5197 0643 0994 4461 9257 3588 5611 3679 5841 0345 5387 9157 9846 5641 4726 5282

11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
5489 3522 7555 5759 6303 7351 7068 3613 5143 9815 5780 1187 4184 2916 5524 0146 4920 7978 7453 1473 8162 5645 2042 5470 4045 5880 9083 1762 2023 7965 7690 9292 0867 0505 6295 6323 8672 1422 2653 0438 2851 7962 3837 8542 0139 6687 6242 6859 6590 3482	5583 0935 7579 3584 6895 5634 7803 1428 4534 5144 1277 0951 2179 2972 1341 5291 2826 1947 0653 6938 8797 4219 1192 7702 1730 1257 4260 8713 2589 3855 0436 0480 1656 2127 9795 2615 8536 5507 1472 4376 2157 2753 4098 4126 0765 1943 5582 9606 1932 0478	7106 8993 8566 5201 8274 7158 1223 9836 2362 8162 6596 7020 8788 1251 3757 5652 6279 4978 1086 3939 2868 7203 6271 9395 5896 5094 6305 8841 2012 5128 7492 8407 7172 3086 5441 3529 6640 4059 5070 8953 4987 2447 0605 8732 6094 1956 5580 6225 3147 5601	0835 5665 2487 9074 3196 2623 5119 8447 0368 8638 1013 5245 9083 0285 6565 5694 5402 3425 7497 5348 4707 3301 8851 9080 1704 4439 4998 1090 0424 0703 9629 4903 4220 5276 5761 3365 5773 0670 5735 8649 7085 8718 1217 2251 9484 0579 3197 4993 3623 6738	1988 7020 9477 7001 7231 7803 6350 0503 7890 6137 2867 5700 2254 0144 6981 0377 7937 7267 5969 1641 1880 4279 6432 5925 0345 7276 4298 8989 8924 1678 4819 5916 2533 2233 2575 1117 5412 3013 1469 8327 1129 7418 4732 0607 2577 8171 4919 0345 1973 7323	7545 2358 6751 9562 9630 5786 6861 1683 9079 7871 6878 4919 0807 3556 1374 3668 9043 6298 4239 1645 7325 0065 8653 1873 8509 7340 7142 6692 4760 0116 1526 7753 7559 9702 2939 6021 7699 6721 1832 1773 5286 1106 7968 4603 9740 2106 0424 3414 9796 8283	0938 7379 2349 3224 7380 2191 5026 3254 4240 5345 3930 7352 2965 8122 0171 6460 4332 1130 4191 0852 8446 4305 5757 0127 4738 6912 3965 3213 1969 7543 7241 8368 8227 4118 3336 3176 0930 3886 9331 4549 6821 3125 1637 8730 1976 8641 5991 1289 1795 4767	7460 7124 1012 6368 0438 0464 3684 7336 8652 4865 3203 0891 5154 3213 2284 9585 2327 7722 2976 5296 1883 9937 6656 9233 4862 0731 4028 1935 1636 0308 5128 3270 1004 8199 9322 2434 4697 3268 5303 7955 8373 3706 1097 7690 0623 7034 4058 8825 8465 0106	0869 7878 8250 9102 7547 0696 5657 9536 9435 2456 5696 6249 1209 7666 2707 3415 6875 0164 0361 4538 9768 3120 1660 2452 2556 9033 8936 9321 7237 9732 3853 6641 5138 6380 7403 5240 6919 9469 9914 5275 2572 8822 1040 6235 1418 3595 9769 6941 2110 2372	4420 5544 2633 2672 2644 9529 0304 1944 1422 5708 1769 6568 7069 0230 3008 2358 5230 8573 9334 4456 0881 5547 5389 7341 8333 5294 5148 4820 1227 1289 1921 0033 2537 6340 8345 5455 4569 2584 6394 2890 8962 1494 7372 3477 6685 3875 1918 7685 8045 9862

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Нормированная функция Лапласа

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

00000 03983 07926 11791 15542 19146 22575 25804 28814 31594 34134 36433 38493 40320 41924 43319 44520 45543 46407 47128 47725 48214 48610 48928 49180 49379 49534

00399 04380 08317 12172 15910 19497 22907 26115 29103 31859 34375 36650 38686 40490 42073 43448 44630 45637 46485 47193 47778 48257 48645 48956 49202 49396 49547

00789 04776 08706 12552 16276 19847 23237 26424 29389 32121 34614 36864 38877 40658 42220 43574 44738 45728 46562 47257 47831 48300 48679 48983 49224 49413 49560

01197 05172 09095 12930 16640 20194 23565 26730 29673 32381 34850 37076 39065 40824 42364 43699 44845 45818 46638 47320 47882 48341 48713 49010 49245 49430 49573

01595 05567 09483 13307 17003 20540 23891 27035 29955 32639 35083 37286 39251 40988 42507 43822 44950 45907 46712 47381 47932 48382 48745 49036 49266 49446 49585

01994 05962 09871 13683 17364 20884 24215 27337 30234 32894 35314 37493 39435 41149 42647 43943 45053 45994 46784 47441 47982 48422 48778 49061 49286 49461 49598

02392 06356 10257 14058 17724 21226 24537 27637 30511 33147 35543 37698 39617 41308 42786 44062 45154 46080 46856 47500 48030 48461 48806 49086 49305 49477 49609

02790 06749 10642 14431 18082 21566 24857 27935 30785 33398 35769 38000 39796 41466 42922 44179 45254 46164 46926 47558 48077 48500 48840 49111 49324 49492 49621

03188 07142 11026 14803 18439 21904 25175 28230 31057 33646 35993 38100 39973 41621 43056 44295 45352 46246 46995 47615 48124 48537 48870 49134 49343 49506 49632

03586 07535 11409 15173 18793 22240 25490 28524 31327 33891 36214 38298 40147 41774 43189 44408 45449 46327 47062 47670 48169 48574 48899 49158 49361 49520 49643

z	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 5,0	49653 49744 49813 49865 49903 49931 49952 49966 49977 49984 49989 49993 49995 49997 49999	49664 49752 49819 49869 49906 49934 49953 49968 49978 49985 49990 49993 49995	49674 49760 49825 49874 49910 49936 49955 49969 49978 49985 49990 49993 49996	49683 49767 49831 49878 49913 49938 49957 49970 49979 49986 49990 49994 49996	49693 49774 49836 49882 49916 49940 49958 49971 49980 49986 49991 49994 49996	49702 49781 49841 49886 49918 49942 49960 49972 49981 49987 49991 49994 49996	49711 49788 49846 49889 49921 49944 49961 49973 49981 49987 49992 49994 49996	49720 49795 49851 49893 49924 49946 49962 49974 49982 49988 49992 49995 49996	49728 49801 49856 49896 49926 49948 49964 49975 49983 49988 49992 49995 49997	49736 49807 49861 49900 49929 49950 49965 49976 49983 49989 49992 49995 49997

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Значения чисел q в зависимости от объёма выборки n и надёжности для определения доверительного интервала среднего квадратического отклонения

n				n
n	0.95	0.99	0.999	n	0.95	0.99		0.999
7	0.92	-	-	25	0.32		0.49		0.73
8	0.80	-	-	30	0.28		0.43		0.63
9	0.71	-	-	35	0.26		0.38		0.56
10	0.65	-	-	40	0.24		0.35		0.50
11	0.59	0.98	-	45	0.22		0.32		0.46
12	0.55	0.90	-	50	0.21		0.30		0.43
13	0.52	0.83	-	60	0.188		0.269		0.38
14	0.48	0.78	-	70	0.174		0.245		0.34
15	0.46	0.73	-	80	0.161		0.226		0.31
16	0.44	0.70	-	90	0.151		0.211		0.29
17	0.42	0.66	-	100	0.143		0.198		0.27
18	0.40	0.63	0.96	150	0.115		0.160		0.211
19	0.39	0.60	0.92	200	0.099		0.136		0.185
20	0.37	0.58	0.88	250	0.089		0.120		0.162

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Критические точки распределения

Число

Степеней

Свободы

Уровень значимости

0,01

0,05

0,1

0,90

0,95

0,99

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

6,6 9,2 11,3 13,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,7 23,2 24,7 26,2 27,7 29,1 30,6 32,0 33,4 34,8 36,2 37,6 38,9 40,3 41,6 43,0 44,3 45,6 47,0 48,3 49,6 50,9

3,8 6,0 7,8 9,5 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3 19,7 21,0 22,4 23,7 25,0 26,3 27,6 28,9 30,1 31,4 32,7 33,9 35,2 36,4 37,7 38,9 40,1 41,3 42,6 43,8

2,71 4,61 6,25 7,78 9,24 10,6 12,0 13,4 14,7 16,0 17,3 18,5 19,8 21,1 22,3 23,5 24,8 26,0 27,2 28,4 29,6 30,8 32,0 33,2 34,4 35,6 36,7 37,9 39,1 40,3

0,02 0,21 0,58 1,06 1,61 2,20 2,83 3,49 4,17 4,87 5,58 6,30 7,04 7,79 8,55 9,31 10,1 10,9 11,7 12,4 13,2 14,0 14,8 15,7 16,5 17,3 18,1 18,9 19,8 20,6

0,004 0,1 0,35 0,71 1,15 1,64 2,17 2,73 3,33 3,94 4,57 5,23 5,89 6,57 7,26 7,96 8,67 9,39 10,1 10,9 11,6 12,3 13,1 13,8 14,6 15,4 16,2 16,9 17,7 18,5

0,0002 0,02 0,12 0,30 0,55 0,87 1,24 1,65 2,09 2,56 3,05 3,57 4,11 4,66 5,23 5,81 6,41 7,01 7,63 8,26 8,90 9,54 10,2 10,9 11,5 12,2 12,9 13,6 14,3 15,0

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Содержание дисциплины «Математика: Теория вероятностей и математическая статистика»

Тема 1. Сущность и условия применимости теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей

Предмет теории вероятностей. Испытание. Событие. Классификация событий. Классическое, геометрическое, статистическое определение вероятности случайного события. Алгебра событий. Вероятностное пространство. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности и формула Бейеса. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. Теоремы Муавра-Лапласа. Формула Пуассона.

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2019-05-07; Просмотров: 176; Нарушение авторского права страницы