|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Дискретный вариационный ряд
Рис.1
Рис.2
На основании полученных выборочных данных необходимо сделать предположение, что изучаемая величина распределена по некоторому определённому закону. Для того чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют частоты полученных в наблюдениях значений, т.е. находят теоретически сколько раз величина Х должна была принять каждое из наблюдавшихся значений, если она распределена по предполагаемому закону. Для этого находят выравнивающие (теоретические) частоты по формуле: где n – число испытаний, Эмпирические (полученные из таблицы) и выравнивающие частоты сравнивают, и при небольшом расхождении данных делают заключение о выбранном законе распределения. Предположим, что случайная величина Х распределена нормально (см. комментарии к задаче № 4). В этом случае выравнивающие частоты находят по формуле: где n-число испытаний, h-длина частичного интервала, Результаты вычислений отобразим в таблице № 8.
Сравнение графиков (рис.2) наглядно показывает близость выравнивающих частот к наблюдавшимся и подтверждает правильность допущения о том, что обследуемый признак распределён нормально.
Таблица 8 Расчёт выравнивающих частот
Интервальный вариационный ряд графически изобразим в виде гистограммы (рис.3). На оси Х отложим интервалы длиной h=3, а на оси Y значения Графическое изображение вариационных рядов в виде полигона и гистограммы позволяет получать первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в совокупности наблюдений.
3) Найдём числовые характеристики вариационного ряда, используя таблицу №4. Выборочная средняя (
или где а В некоторых случаях где С – произвольно выбранное число (ложный нуль). В этом случае Для изменения значения варианты можно ввести также условные варианты путём использования масштабного множителя: где Выборочная дисперсия (
Среднеквадратическое отклонение:
Найдем несмещённую оценку дисперсии и среднеквадратического отклонения («исправленную» выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение) по формулам:
Доверительный интервал для оценки математического ожидания с надёжностью P( Из соотношения Ф(z)= 168,55-1,96 167,67<a<169,43. Доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения случайной величины находят по формуле: где S – несмещённое значение выборочного среднего квадратичного отклонения; q – параметр, который находится по таблице (Приложение 3) на основе известного объёма выборки n и заданной надёжности оценки На основании данных значений 5,79< V= 4) Проведём статистическую проверку гипотезы о нормальном распределении. Нормальный закон распределения имеет два параметра (r=2): математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. По выборочным данным (таблицы 5 и 7) полученные оценки параметров нормального распределения, вычисленные выше:
Для расчёта теоретических частот - по нормированным значениям случайной величины Z находят значения Ф( z ), а затем
Например,
- далее вычисляют вероятности - находят числа Результаты вычисления По формуле можно сделать проверку расчетов.
По таблице (приложения 4) можно найти число При α=0,1 При α=0,01
Таблица 9 Определение
2 часть 1) Данные таблицы №3 сгруппируем в корреляционную таблицу №10. 2) Строим в системе координат множество, состоящее из 200 экспериментальных точек (рисунок 4). По расположению точек делаем заключение о том, что экономико-математическую модель можно искать в виде 3) Найдём выборочные уравнения линейной регрессии. Для упрощения расчётов разобьём случайные величины на интервалы и выберем средние значения. Для величины Х указанные действия были выполнены в 1 части задания. Таблица 10 Корреляционная таблица
Продолжение таблицы 10
Рис.4
Для случайной величины Y, используя (1), получим h=2, число интервалов равно 13. Результаты внесём в таблицу со сгруппированными данными № 11. Находим средние значения
Используя формулы:
получим
Таблица 11 Сгруппированные данные выборки
4) Вычисляем выборочный коэффициент корреляции
Принято считать, что если 0,1< Для данного примера связь между X и Y умеренная. Затем получают выборочное уравнение линейной регрессии Y на X в виде: и выборочное уравнение линейной регрессии X на Y :
Вычисления сумм рекомендуем проводить с помощью пакетов прикладных математических программ (сегодня их существует много). КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ № 1- № 4 Вариант 1. 1. Фирма имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, В и С. На долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей бракованные, фирмой В – 5% и фирмой С – 6%. 1) Какова вероятность, что взятая наугад деталь была получена от фирмы А? 2) Какова вероятность, что взятая наугад и оказавшаяся бракованной деталь получена от фирмы А? 2. Накануне выборов 40% населения поддерживают «Партию квадратов», 40% - «Партию Кругов» и 20% еще не определились во мнении. Какова вероятность того, что, по крайней мере, половина из шести наудачу выбранных избирателей оказывают доверие «Партии квадратов»? 3. Имеется 8 изделий, из которых 3 дефектных. Для контроля взято наудачу 3 изделия. Случайная величина Х – число дефектных изделий в выборке. 1) Составить таблицу распределения Х. 2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х). 3) Построить график функции распределения y = F(x) 4) Найти вероятность P(0,5<X<3). 4. Фирма «Клубок ниток» производит вязальные спицы. Наиболее популярны размеры
«Клубок» производит нарезку игл из проволоки и их дальнейшую обработку. В результате чего средний диаметр заготовок становится 3.10 мм, а его среднее квадратическое отклонение 0.10 мм. Допустим, значение диаметра подчиняется закону нормального распределения. Требуется определить долю заготовок, пригодных для производства спиц №11, учитывая, что дальнейшая обработка не изменяет диаметр заготовок.
Вариант 2. 1. В центральную бухгалтерию корпорации поступили пачки накладных для проверки и обработки. 90% пачек были признаны удовлетворительными: они содержали только 1% неправильно оформленных накладных. Остальные 10% пачек накладных были признаны неудовлетворительными, так как содержали 5% неправильно оформленных накладных. Взятая наугад из пачки накладная оказалась оформленной неправильно. Учитывая это, какова вероятность того, что вся пачка накладных будет признана не соответствующей стандартам? 2. На курсах повышения квалификации бухгалтеров учат определять правильность накладной. В качестве проверки преподаватель предлагает слушателям проверить 10 накладных, 4 из которых содержат ошибки. Он берет наудачу из этих десяти три накладные и просит проверить. Какова вероятность того, что одна из них окажется ошибочной, а две других – нет? Что все три окажутся правильными? 3. Вероятность досрочно сдать экзамен на «5» для каждого из четырех сдающих студентов равна 0,6. Случайная величина Х – число студентов ( из этих четырех ), сдавших этот экзамен на «5». 1) Составить таблицу распределения Х. 2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х). 3) Построить график функции распределения y = F(x) 4) Найти вероятность P(0,5<X<3). 4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения
Вариант 3. 1. Нефтяная компания, изучив данные геологоразведки, оценивает вероятность обнаружения нефти в некотором районе как 0,3. Из предыдущего опыта подобных работ известно, что если нефть действительно должна быть обнаружена, первые пробные бурения дают положительные образцы с вероятностью 0,4. Если оказалось, что первые бурения дали отрицательный результат, какова вероятность того, что нефть, тем не менее, будет обнаружена в данном районе? 2. Число дефектов в изделии может быть любым – 1, 2, 3, 4 и т.д. По оценке компании вероятность отсутствия дефекта составляет 0,9, а вероятность наличия одного дефекта – 0,05. Какова вероятность, что в изделии не больше, чем один дефект? 3. В программе экзамена 45 вопросов, из которых студент знает 30. В билете 3 вопроса. Случайная величина Х – число вопросов билета, которые знает студент. 1) Составить таблицу распределения Х. 2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х). 3) Построить график функции распределения y = F(x) 4) Найти вероятность P(0,5<X<3). 4. Ошибка измерения высоты полета гидрометеорологического спутника относительно наземной станции подчинена нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю и средним квадратическим отклонением, равным 1 км. Ошибка принимает отрицательное значение, если измеряемая высота слишком мала и положительное значение, если измеряемая высота слишком велика. Найти вероятность того, что а) ошибка будет больше чем +0.75 км; б) значение ошибки будет заключено в пределах между + 0.10 км и + 0.60 км; в) ошибка будет меньше чем – 1.25 км. Число дефектов в изделии может быть любым – 1, 2, 3, 4 и т.д. По оценке компании вероятность отсутствия дефекта составляет 0,9, а вероятность наличия одного дефекта – 0,05. Какова вероятность, что в изделии не больше, чем один дефект?
Вариант 4. 1. Среди студентов некоторой группы 2/5 юноши и 3/5 девушки. Половина студентов – юношей данной группы моложе 21 года, среди студенток – девушек моложе 21 года – 2/3. Чему равна вероятность того, что 1) случайно выбранный учащийся старше 21 года и 2) случайно выбранный учащийся, возраст которого меньше 21 года, - это девушка.
2. Экзамен на водительские права по правилам дорожного движения содержит 20 вопросов с тремя вариантами ответов в каждом. Для сдачи экзамена необходимо ответить правильно как минимум на 19 вопросов. Если будущий водитель выбирает ответы, полагаясь исключительно на удачу, то какова для него вероятность сдать экзамен? 3. Бросают две игральные кости. Случайная величина Х – модуль разности числа выпавших очков. 1) Составить таблицу распределения Х. 2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х). 3) Построить график функции распределения y = F(x) 4) Найти вероятность P(0,5<X<3). 4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения
Вариант 5. 1. Отдел закупок женского платья большого столичного торгового комплекса приобретает 20% своего товара у фабрики А, 30% у фабрики Б и оставшиеся 50% у разных мелких поставщиков. К концу сезона распродается 80% продукции фабрики А, 75% продукции фабрики Б и 90% продукции мелких поставщиков. Какова вероятность, что платье, оставшееся непроданным в конце сезона, было произведено на фабрике А? 2. Известно что 85% деревьев, высаживаемых фирмой «Флора-дизайн» приживается. Фирма получила заказ на озеленение внутреннего двора нового дома, в котором должна посадить 10 молодых берез. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока фирме придется заменить а) три засохших саженца? б) не более двух? в) ни одного? 3. Зеленщик покупает персики большими партиями. Учитывая скоропортящийся характер товара, он допускает, что 15% фруктов будут подпорчены. Для проверки качества зеленщик выбирает 5 персиков. Случайная величина Х – число подпорченных фруктов среди выбранных. 1) Составить таблицу распределения Х. 2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х). 3) Построить график функции распределения y = F(x) 4) Найти вероятность того, что зеленщик купит данную партию персиков, если для этого среди выбранных 5 персиков должно быть не более двух подпорченных. 4. Средний срок службы аккумуляторной батареи мобильного телефона нового поколения ‑ 1000 часов, его среднее квадратическое отклонение 100 часов. Действует нормальный закон распределения. Найти вероятность того, что аккумуляторная батарея случайно выбранного мобильного телефона выйдет из строя а) через 1050 часов работы; б) через 750 часов; в) не ранее, чем через 850 часов, но не позднее, чем через 1150 часов.
Вариант 6. 1. Розничная сеть имеет три магазина. На долю главного магазина приходится 50% продаж, тогда как на долю двух пригородных магазинов – 30% и 20%. Процент магазинных краж для этих магазинов составляет 1%, 0,8% и 0,75% соответственно. Какова вероятность, что украденная вещь находилась в продаже в главном магазине сети? 2. Лист экзаменационного тестирования содержит 10 вопросов. На каждый вопрос предлагается 5 ответов, среди которых только один верный. Если студент выбирает ответы случайным образом, какова вероятность того, что правильными будут а) ровно половина ответов? б) не менее восьми ответов? в) не более одного? 3. Производятся независимые испытания трех приборов. Вероятности отказа для них 0,2, 0,3, 0,1 соответственно. Случайная величина Х – число отказавших приборов. 1) Составить таблицу распределения Х. 2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х). 3) Построить график функции распределения y = F(x) 4) Найти вероятность P(0,5<X<3). 4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения
Вариант 7. 1. На курсах повышения квалификации бухгалтеров учат определять правильность накладной. В качестве проверки преподаватель предлагает слушателям проверить 10 накладных, 4 из которых содержат ошибки. Он берет наугад накладную и просит проверить. При условии того, что обучающийся идентифицирует неправильную накладную с вероятностью 0.8, а правильную накладную признает ошибочной с вероятностью 0,05, чему равна вероятность того, что выбранная накладная – ошибочная. 2. Исследование ископаемых частиц пыльцы растений, найденных в разных слоях донных осадков большого озера, обычно дает информацию о типичной растительности, окружавшей озеро в то время, когда формировался данный слой. Доля частиц пыльцы хвойных деревьев в донных осадках составляет 0.6. Если на анализ поступили 10 частиц пыльцы, какова вероятность того, что а) ровно пять, б) не более двух из них окажутся принадлежащими хвойным деревьям? 3. Обрыв произошел равновероятно на одном из 5 звеньев телефонной линии. Монтер обследует их последовательно до обнаружения обрыва. Случайная величина Х – число обследованных звеньев. 1) Составить таблицу распределения Х. 2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х). 3) Построить график функции распределения y = F(x) 4) Найти вероятность P(0,5<X<3). 4. Пилорама «Стружкин и компания» производит и продает сухие доски. Наиболее популярные размеры дюймовой осиновой шлифованной доски
На пилораме сушат сырые доски, после чего шлифуют их. Средний размер поступающих сырых досок (заготовок) 3м 10см, его среднее квадратическое отклонение 10см. Допустим, длина заготовок подчиняется закону нормального распределения. Требуется определить долю заготовок, пригодных для производства досок №5, учитывая, что сушка и шлифовка не изменяют длины заготовок, и дальнейшая обработка не включает распил досок по длине.
Вариант 8. 1. В школе обучается одинаковое количество мальчиков и девочек. У восьмидесяти процентов девочек и у тридцати процентов мальчиков длинные волосы. Какова вероятность того, что случайно выбранный ученик с длинными волосами ‑ мальчик? 2. Вероятность того, что пенициллин вылечит бактериальную инфекцию определенного типа, равна 75%. В течение небольшой эпидемии терапевт назначил антибиотик 8 больным. Какова вероятность того, что по крайней мере 6 из них вылечатся? 3. Банк предполагает разместить свободные средства. Менеджер отдела инвестиций должен выбрать один из трех инвестиционных проектов: А, В или С. Финансово-аналитический отдел подготовил экспертную информацию по этим проектам. Специалисты оценили возможные размеры доходов и соответствующие им вероятности. Считая доход по проекту А случайной величиной Х, по проекту В случайной величиной У и по проекту С Z, выбрать один из трех проектов, обосновать выбор с точки зрения ожидаемого дохода и рискованности инвестиции. Для выбранного проекта 1) Построить график функции распределения y = F(x) соответствующей случайной величины. 2) Найти вероятность того, что инвестиция окажется убыточной или не принесет никакого дохода.
4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения
Вариант 9. 1. Предприниматель производит одинаковые детали на двух производственных линиях. Две пятых продукции сходит со старой линии, при этом 10% выпуска признается браком. Остальные три пятых продукции производятся на новейшей линии, для которой процент брака равен лишь 4%. Какова вероятность того, что оказавшаяся бракованной деталь была выпущена на старой производственной линии? 2. Известно, что 60% щенков собак определенной породы имеют черные глаза. Цвет глаз одного щенка не зависит от цвета глаз другого. Какова вероятность того, что в помете из девяти щенков по крайней мере одна треть будет иметь черные глаза? 3. Студенты Артемов и Белов стоят в очереди в раздевалку. Всего в очереди 6 человек. Случайная величина Х – число студентов, стоящих между ними. 1) Составить таблицу распределения Х. 2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х). 3) Построить график функции распределения y = F(x) 4) Найти вероятность P(0,5<X<3). 4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения
Вариант 10. 1. Фирма собирается выпускать новый товар на рынок. Подсчитано, что вероятность хорошего сбыта продукции равна 0.6; плохого ‑ 0.4. Компания собирается провести маркетинговое исследование, вероятность правильности которого 0.8. Как изменятся первоначальные вероятности уровня реализации, если это исследование предскажет плохой сбыт? 2. Испорченный консервный аппарат неправильно запечатывает банку крышкой в одном случае из шести. Если инспектор выберет случайным образом 2 банки вышедшие из этого испорченного аппарата для проверки, какова вероятность, что поломка останется незамеченной? Если выбраны для проверки 4 банки, какова вероятность того, что по крайней мере 2 из них будут иметь плохие крышки? 3. Частный предприниматель сдает в наем 4 автомобиля. Средний спрос в будний день составляет 2 автомобиля. В году 312 будних дней. Определить вид распределения случайной величины Х – числа автомобилей, востребованных в течение буднего дня. Найти математическое ожидание и дисперсию Х. Построить график функции распределения y=F(x) для значений х≤5. Найти число будних дней, в течение которых спрос превысит предложение (дробное число округлить в большую сторону). 4. На автозаправочной станции показания автомата округляются до ближайшего целого числа литров бензина. Считая ошибку округления распределенной равномерно, найти математическое ожидание и дисперсию ошибки показания автомата. Найти вероятность того, что очередной клиент недополучит от 0,1 л до 0,3 л бензина.
Вариант 11. 1. Согласно оценке эксперта участок земли близ населенного пункта N окажется нефтеносным с вероятностью 0.2 и пустым с вероятностью 0.8. Потенциальный инвестор решил заказать дополнительное исследование. Нефтедобывающая компания, организующая это специфическое исследование, оценивает в 90% надежность подтверждения нефти в том случае, когда нефть есть, и в 70% надежность отрицания наличия нефти если нефти нет. Найти вероятности нефтеносности участка 2) в случае отрицающего нефть результата исследования. 2. Совет директоров компании состоит из трех бухгалтеров, трех менеджеров и двух инженеров. Планируется создать подкомитет из его членов. Какова вероятность того, что все трое в этом подкомитете будут бухгалтеры? 3. Известно что 20 % собранных шампиньонов контроль отправляет на переработку в консервное производство. На конвейер поступили пять грибов. Случайная величина Х – количество шампиньонов (из этих пяти штук), отправленных в переработку. Определить тип распределения случайной величины. а) Составить таблицу распределения Х. б) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х). в) Построить график функции распределения y = F(x) г) Найти вероятность P(X>3). 4. Известно, что до реорганизации телефонной сети большого города средний срок оплаты квитанций за междугородние, международные разговоры составлял 45 дней со средним квадратическим отклонением 10 дней. Найти вероятность того, что квитанция, оформленная 1 апреля, будет оплачена а) между 13 мая и 18 мая; б) не позднее 25 мая.
Вариант 12.
1. Большая корпорация проводит набор стажеров менеджеров, 30% которых имеют университетское образование. 45% набранных стажеров в конце концов получают позицию менеджера в корпорации. Однако процент работников, достигших уровня менеджера, среди стажеров с университетским образованием равен 70%. Какова вероятность того, что менеджер, получивший свою позицию через корпоративную стажировку, имеет университетское образование? 2. В отделе внешних связей фирмы имеется восемь заказов на отправку товара: пять – внутри страны, а три – на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны? 3. Экспериментальная лаборатория института растениеводства получила семена редкого вида пшеницы. Всхожесть семян составляет 80 %. Случайная величина Х – число взошедших семян среди пяти посаженных. Определить тип распределения случайной величины. а) Составить таблицу распределения Х. б) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х). в) Построить график функции распределения y = F(x) г) Найти вероятность P(X<3). 4. Упаковочный аппарат расфасовывает стиральный порошок в пакеты, средний вес которых 930 гр., а среднеквадратическое отклонение – 20 гр. Какая доля пакетов будет иметь вес до 900 гр.? Если требуется, чтобы не более чем 2.5% пакетов содержали меньше, чем 900 гр., то как должна быть переналажена машина, чтобы соответствовать этому требованию?
Вариант 13.
1. Вероятность того, что после прохождения собеседования претендент на должность в некоторой фирме все еще хочет поступить на работу, равна 0.8, тогда как вероятность того, что фирма желает нанять претендента, равна 0.4. Среди претендентов, которых фирма желает нанять на работу, 90% лиц сохраняет намерение работать после прохождения собеседования. Какова вероятность того, что претендент, который все еще хочет поступить на работу, будет нанят фирмой? 2. Небольшая британская компания выпускает гайки и болты, размеры которых задаются в стандартной британской и в метрической системах мер. Однажды коробка с пятнадцатью 20-мм болтами опрокинулась в ящик с тридцатью дюймовыми болтами, а коробка с пятнадцатью 20-мм гайками – в ящик с тридцатью дюймовыми гайками. Какова вероятность, что взятые наудачу болт и гайка подойдут друг к другу? 3. Система выборочного контроля качества подвергает усиленной проверке 20 % автомобилей, сошедших с заводского конвейера. С конвейера сошли пять автомобилей. Случайная величина Х – число автомобилей, прошедших усиленный контроль. Определить тип распределения случайной величины. а) Составить таблицу распределения Х. б) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х). в) Построить график функции распределения y = F(x) г) Найти вероятность P(X<2). 4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения
Вариант 14.
1. Предприниматель покупает некоторую комплектующую деталь у двух поставщиков: А и В. За определенный период времени фирма использует 20000 таких деталей, причем 6000 из них приходит от поставщика А. Процент брака для продукции поставщика А равен 3%, В 1.5%. Найти вероятность того, что данная бракованная деталь была куплена у поставщика А. 2. Банковский менеджер знает по собственному опыту, что в среднем 10% клиентов, оформивших в банке заем, задерживают выплаты по графику возврата денег. Вчера менеджер подписал документы на 7 займов. Какова вероятность того, что а) ни один из 7 заемщиков не будет задерживать свои выплаты? б) один из них будет задерживать выплаты? в) как минимум двое из них будут нарушать график выплат? 3. Случайная величина Х – сумма цифр выбранного наудачу двузначного числа ( от 10 до 49 ). а) Составить таблицу распределения Х. б) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х). в) Построить график функции распределения y = F(x) г) Найти вероятность P(4,5<X<10). 4. Срок работы электрических компонент подчиняется нормальному распределению со средней продолжительностью работы 80 ч. и среднеквадратическим отклонением – 30 ч. а) Допустим, производитель решил заменить все компоненты, которые вышли из строя до гарантийного срока работы, составляющего 45 ч. Какую долю общего выпуска составит эта часть продукции? б) Допустим, производитель решил заменить только 10% общего выпуска, т.е. компоненты с самым коротким сроком работы. Какой гарантийный срок работы он должен назначить, чтобы выполнить это условие?
Вариант 15.
1. Среди мужского населения небольшого города Наукограда в возрасте от 30 до35 лет, 25% жителей имеют университетский диплом, зарплата у 15% жителей-мужчин указанной возрастной категории выше средней, и 65% не имеют университетского диплома и их зарплата ниже средней. Какова вероятность того, что мужчина, случайно выбранный из этой возрастной группы, имеет зарплату выше средней, если а) у него университетское образование; б) нет университетского образования? 2. На прямом участке оживленного городского проспекта установлены четыре светофора, работающих независимо друг от друга. Вероятность проехать светофор без остановки в часы пик равна для каждого из них 0,3. С какой вероятностью курьер доставки товаров проследует три светофора без остановок. 3. Имеется 5 заготовок для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки равна 0,8. Случайная величина Х – число заготовок, оставшихся после изготовления первой годной детали. 1) Составить таблицу распределения Х. 2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х). 3) Построить график функции распределения y = F(x) 4) Найти вероятность P(0,5<X<3). 4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения
Вариант 16.
1. За последний период времени 500 автомобилей было возвращено на автомобильный завод из-за наличия дефектов, причем 100 из них были выпущены в понедельник, 100 во вторник, 100 в среду, 100 в четверг и 100 в пятницу. Оказалось, что 40 автомобилей нуждаются в устранении серьезных неполадок, возникших в течение гарантийного периода. Среди автомобилей, выпущенных в пятницу, 15 имеют серьезные неполадки. Являются ли события А=«автомобиль был выпущен в пятницу» и В=«автомобиль имеет серьезные неполадки» независимыми? Сравнить вероятности Р(В) и Р(В/А). 2. Известно, что 40% пациентов, у которых выявлено некоторое заболевание «альфа», должны сделать операцию. В палате находятся четверо больных, которым недавно поставлен диагноз «альфа». Какова вероятность того, что операцию сделает только один из них (все равно кто именно)? 3. Банк предполагает разместить свободные средства. Менеджер отдела инвестиций должен выбрать один из трех инвестиционных проектов: А, В или С. Финансово-аналитический отдел подготовил экспертную информацию по этим проектам. Специалисты оценили возможные размеры доходов и соответствующие им вероятности. Считая доход по проекту А случайной величиной Х, по проекту В случайной величиной У и по проекту С Z, выбрать один из трех проектов, обосновать выбор с точки зрения ожидаемого дохода и рискованности инвестиции. Для выбранного проекта 1) Построить график функции распределения y = F(x) соответствующей случайной величины. 2)Найти вероятность того, что инвестиция окажется убыточной или не принесет никакого дохода.
4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения
Вариант 17.
1. Подброшены две игральные кости. Событие А сумма выпавших очков равна 9, событие В разность выпавших очков равна 1. Зависимы ли события А и В? Объяснить почему (подтвердить вычислениями). 2. Магазин получает товар партиями по 100 штук. Если пять взятых наудачу образцов соответствует стандартам, партия товара поступает на реализацию. В очередной партии восемь единиц товара с дефектом. Какова вероятность того, что товар поступит на реализацию? 3. Вероятность, что покупателю потребуется обувь 42 размера, равна 0,3. В магазине 3 покупателя. Случайная величина Х – число покупателей, находящихся в магазине, которым требуется обувь 42 размера. 1) Составить таблицу распределения Х. 2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х). 3) Построить график функции распределения y = F(x) 4) Найти вероятность P(0,5<X<3). 4. Автоматический токарный станок настроен на выпуск деталей со средним диаметром 2.00 см и со средним квадратическим отклонением 0.005 см. Действует нормальный закон распределения. Компания технического сервиса рекомендует остановить станок для технического обслуживания и корректировки в случае, если образцы деталей, которые он производит, имеют средний диаметр более 2.01 см, либо менее 1.99 см. 1) Найти вероятность остановки станка, если он настроен по инструкции на 2.00 см. 2) Если станок начнет производить детали, которые в среднем имеют слишком большой диаметр, а именно, 2.02 см, какова вероятность того, что станок будет продолжать работать?
Вариант 18. 1. Из трех бухгалтеров, восьми менеджеров и шести аналитиков необходимо с помощью случайного выбора сформировать комитет, состоящий из десяти человек. Какова вероятность того, что в комитете окажутся: один бухгалтер, пять менеджеров и четверо аналитиков? 2. В среднем 25% взрослого населения некоторого большого города смотрит популярное телевизионное шоу. Какова вероятность того, что среди восьми случайно выбранных взрослых людей шоу смотрит трое или больше? 3. Курс междуреченского доллара меняется еженедельно. Сегодня он равен 87 рублям. Через неделю он может увеличиться на 2 рубля с вероятностью 0,2, уменьшиться на 2 рубля с вероятностью 0,3 либо остаться неизменным. Случайная величина Х – курс междоллара через две недели. 1) Составить таблицу распределения Х. 2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х). 3) Построить график функции распределения y = F(x) 4) Найти вероятность P(84,5<X<88). 4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения
Вариант 19. 1. Три мяча выбирают случайным образом из коробки, содержащей 5 белых, 6 красных и 4 желтых мяча. Найти вероятность того, что а) все три мяча красные; б) все три мяча разные по цвету; в) все три мяча одинаковые по цвету. 2. Двух- или четырехмоторный аэроплан может оставаться в воздухе до тех пор, пока функционирует половина его двигателей. Чему равна вероятность падения каждого из типов аэропланов, если вероятность любой поломки двигателя составляет 0,001? 3. Банк предполагает разместить свободные средства. Менеджер отдела инвестиций должен выбрать один из трех инвестиционных проектов: А, В или С. Финансово-аналитический отдел подготовил экспертную информацию по этим проектам. Специалисты оценили возможные размеры доходов и соответствующие им вероятности. Считая доход по проекту А случайной величиной Х, по проекту В случайной величиной У и по проекту С Z, выбрать один из трех проектов, обосновать выбор с точки зрения ожидаемого дохода и рискованности инвестиции. Для выбранного проекта 1) Построить график функции распределения y = F(x) соответствующей случайной величины. 2) Найти вероятность того, что инвестиция окажется убыточной или не принесет никакого дохода.
4. Рыночный торговец так настроил свои электронные весы, что показания стоимости покупки округляются до ближайшего целого числа рублей. Считая ошибку округления распределенной равномерно, найти математическое ожидание и дисперсию ошибки показания весов. Найти вероятность того, что торговец в результате округления недополучит от 20 до 35 копеек от очередного клиента.
Вариант 20. 1. В подразделение отряда космонавтов входят 12 человек, из них 7 уже были в космосе, а 5 еще нет. Для участия в проекте отбирают 4 кандидатов. Какова вероятность того, что по крайней мере у двоих из отобранных кандидатов уже есть космический опыт? 2. Консервный цех складирует продукцию в штабели по 500 штук. В некотором штабеле оказалось 150 нестандартных банок. Инспектор выбирает наудачу последовательно две банки. Какова вероятность того, что а) обе банки нестандартные; б) обе банки качественные? 3. На дне глубокого сосуда лежат спокойно 6 шаров – 2 белых и 4 черных. Случайная величина Х – число извлеченных без возвращения шаров до первого белого. 1) Составить таблицу распределения Х. 2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х). 3) Построить график функции распределения y = F(x) 4) Найти вероятность P(0,5<X<3). 4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения
7. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ №5
Студенты, имеющие варианты с 1 по 10, выполняют задание №1, имеющие варианты с 11 по 20 – задание №2.
Задание №1 Отдел маркетинга крупной швейной фабрики провёл анкетирование 500 человек (женщин) по вопросу роста (Х) см и веса (Y) кг. В результате была выявлена следующая зависимость (таблица 2.1). Таблица 2.1
Продолжение таблицы 2.1
Продолжение таблицы 2.1
Продолжение таблицы 2.1
Выполните задание 1-й и 2-й частей для приведённого примера и дайте интерпретацию полученных результатов.
Задание №2. Получены статистические данные зависимости результатов измерения роста студентов (Х) от окружности груди (Y). Измерения проводились с точностью до 1 см. В результате была выявлена следующая зависимость (таблица 2.2).
Таблица 2.2
Продолжение таблицы 2.2
Продолжение таблицы 2.2
Продолжение таблицы 2.2
Выполните задание 1-й и 2-й частей для приведённого примера и дайте интерпретацию полученных результатов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гмурман В.Е. «Теория вероятностей и математическая статистика.» Москва В.Ш. 2003г.. 2. Колемаев В.А. «Теория вероятностей и математическая статистика.» ИНФРА-М,1999г.. 3. Горелова Г.В. «Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel.» Ростов-на-Дону : Феникс, 2002. 4. Кремер М.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика.» ЮНИТИ – ДАНА 2001г.. 5. Андронов А.И. «Теория вероятностей и математическая статистика.» СПб., Питер 2004г.. 6. Митропольский А.К. «Элементы математической статистики» СПб. Питер 2004г.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Таблица случайных чисел
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Нормированная функция Лапласа
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Значения чисел q в зависимости от объёма выборки n и надёжности
ПРИЛОЖЕНИЕ 4 Критические точки распределения
ПРИЛОЖЕНИЕ 5 Содержание дисциплины «Математика: Теория вероятностей и математическая статистика»
Тема 1. Сущность и условия применимости теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей
Предмет теории вероятностей. Испытание. Событие. Классификация событий. Классическое, геометрическое, статистическое определение вероятности случайного события. Алгебра событий. Вероятностное пространство. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности и формула Бейеса. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. Теоремы Муавра-Лапласа. Формула Пуассона.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-07; Просмотров: 200; Нарушение авторского права страницы
(6)
- вероятность наблюдаемого значения 
, вычисленная при допущении, что Х имеет предполагаемое распределение.
(7)
-выборочное среднее квадратичное отклонение,
( 
- середина i – го частичного интервала) 
– функция Лапласа (8)
,расчёт которых представлен в таблице №7. Площадь под гистограммой равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.
):
, (9)
- частоты,
-объём выборки. Выборочная средняя является оценкой математического ожидания (среднего значения теоретического закона распределения).
удобнее рассчитать с помощью условных вариант. В нашем случае варианты 
(10)
. (11)
, (12)
(b выбирается положительным или отрицательным числом).
. Здесь С – середина 8-го интервала.
):
(13)
(14)
= 
(1*441+0*324+…+1*324)- 1,95²=40,21
= 
(15)
= 
=6,34
и 
(16)
= 
=40,41 и S= 
6,34=6,36
0,95 определяют по формуле:
-t 
Ф (t)= 
(17)
/2 вычисляют значение функции Лапласа: Ф(z)=0,475. По таблице значений функции Лапласа ( Приложение 2) находят z=1,96. Таким образом,
,
, (18)
,
(19)
, 
, S=6,36.
используют табличные значения функции Лапласа Ф( z ). Алгоритм вычисления 
состоит в следующем:
:
, 
=0,5+Ф( 
).
; 
; Ф(-3,0)=-0,4987;
;
;
, и если некоторое 
<5, то соответствующие группы объединяются с соседними.
приведены в таблице 9.
= 
(20)
по схеме: для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы l = k - r -1=9-2-1=6 
). Величина 
=15,61 входит в критическую область, поэтому гипотеза о том, что случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения, отвергается.
). Величина 
=16,8, (16,8; 
)
149,5
,0000 
.
, по формулам:
, (21) 
, (22) 
, (23)
. (24)
149,5*86+155,5(82+…+90)+…+188,5*104=2986101
, (25)
, (26)
= 
, 
= 
по формуле:
. (27)
= 
<0,3 – связь слабая, если 0,3< 
(28)
. (29)
и
или
, найти А, М(Х), D(X), P( 
).
, найти А, М(Х), D(X), P( 
).
, найти А, М(Х), D(X), P(0<X<5).
, найти А, М(Х), D(X), P( 
).
, найти А, М(Х), D(X), P(-10<X<3).
, найти А, М(Х), D(X), P(-3<X<0).
, найти А, М(Х), D(X), P(1.5<X<3).
, найти А, М(Х), D(X), P(-2<X<3).
, найти А, М(Х), D(X), P( 
).
, найти А, М(Х), D(X), P( 
).
для определения доверительного интервала среднего квадратического отклонения 
