Многоканальная система массового обслуживания с отказами.

Рассмотрим n-канальную СМО с отказами. Будем нумеровать состояния системы по числу занятых каналов (или, что в данном случае то же, по числу заявок, связанных с системой). Состояния будут:

S ₀ – все каналы свободны;

S ₁ – занят ровно один канал, остальные свободны;

……

S_k – заняты ровно k каналов, остальные свободны;

…….

S_n – заняты все n каналов.

 

Граф состояний имеет следующий вид. Слева направо систему переводит один и тот же поток – поток заявок с интенсивностью l.

 

 

Очевидно, если обслуживанием занято 2 канала, а не один, поток обслуживаний, переводящий систему по стрелке S ₂ ® S ₁, будет вдвое интенсивнее (2 m ), если занято k- каналов – в k раз интенсивнее ( k m ). Процесс такого вида представляет собой частный случай процесса гибели и размножения. Составляем уравнения Колмогорова:

(9.6).  

Уравнения (9.6) называются уравнениями Эрланга. Естественными начальными условиями являются:

p ₀ (0)=1; p ₁ (0)= p ₂ (0)=…= p_n (0)=0

Интегрировать (6) в аналитическом виде довольно сложно, на практике решают численно с использованием ЭВМ. Такое решение дает нам все вероятности состояний как функции времени: p ₀ ( t ), p ₁ ( t ), …, p_n ( t ).

           Больше всего интересны предельные вероятности состояний, характеризующие установившийся режим работы СМО (при t ® ¥). Воспользуемся готовым решением, полученным для схемы гибели и размножения:

( k =1,2,.. n ) (9.7).     

 

Обозначим  и будем называть величину r «приведенной интенсивностью» потока заявок. Физический смысл её таков: величина r представляет собой среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки. С учетом этого (9.7) принимает вид:                                       

 (9.8). Формулы Эрланга.

Теперь можно найти характеристики эффективности СМО: q, А, Р_отк.

Заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все n каналов заняты. Вероятность этого равна:

.

           Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же q) дополняет Р_отк до 1: q = 1- p_n. И наконец: А= l q = l (1- p_n ).

Одной из важных характеристик СМО с отказами является среднее число занятых каналов (в данном случае оно совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе). Обозначим это среднее число . Величину  можно вычислить непосредственно по формуле:

как математическое ожидание дискретной случайной величины, принимающей значение 0,1, … n с вероятностями p ₀ , p ₁ … p_n.

           Однако значительно проще выразить  через А . А есть не что иное, как среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; один занятый канал обслуживает в среднем за единицу времени m заявок; следовательно, среднее число занятых каналов   или .

Билет №21

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: