Одноканальная система массового обслуживания с ожиданием. Определение средней длины очереди и среднего времени ожидания заявки в очереди.

Найдем среднее число , находящихся в очереди; определим эту величину как математическое ожидание дискретной случайной величины R – числа заявок , находящихся в очереди: .

.

Выведем формулу для суммы. Эта сумма не что иное, как производная по r суммы , а для этого выражения мы можем воспользоваться формулой суммы геометрической прогрессии:

Продифференцируем её по r и проведя преобразования, найдем    (9.13).

Тогда .

Подставляем p₀ из (10) и получаем   (9.14).       

Выведем теперь формулу для . Рассмотрим общее число заявок К, связанных с системой, как сумму двух случайных величин: числа заявок, стоящих в очереди и числа заявок, находящихся под обслуживанием: .

            По теореме сложения математических ожиданий:

, где  - среднее число заявок в очереди;  - среднее число заявок под обслуживанием. Найдем . Т.к. канал у нас один, то случайная величина  может принимать только два значения: 0 или 1. Значение 0 она принимает, если канал свободен; вероятность этого равна . Значение 1 она принимает, если канал занят; вероятность этого равна .

Отсюда находим:

.

, где   находим из (9.14).

Выведем выражение еще для одной существенной характеристики СМО с ожиданием: среднего времени ожидания заявки в очереди. Обозначим его . Пусть заявка приходит в систему в какой-то момент времени. С вероятностью p₀ канал обслуживания не будет занят и ей не придется стоять в очереди ( t _ож =0). С вероятностью p ₁ она придет в систему во время обслуживания какой-то заявки, но перед ней не будет очереди, и заявка будет ждать начала своего обслуживания в течение времени 1/m (среднее время обслуживания одной заявки). С вероятностью p₂ в очереди перед ней будет стоять еще одна заявка и время ожидания в среднем будет 2/m и т.д. Вообще, с вероятностью p_k пришедшая заявка застанет в системе k заявок и будет ждать в среднем k / m единиц времени (1 £ k £ m ). При k = m +1 (в очереди m заявок, вероятность этого p_{m +1}) t _ож =0 (заявка не обслуживается).

.

Подставим сюда выражения для p ₁ , p ₂ ,… p_m из (9.9).

.Преобразуем сумму в скобках, используя (9.13)

Или, выражая p ₀ через r

.

Сравнивая это выражение с (9.14) , замечаем, что   , (9.15)                                              

т.е. среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.

           Выведем ещё одну формулу для среднего времени пребывания заявки в системе. Обозначим случайную величину – время пребывания заявки в СМО через Т_сист.. Она складывается из двух слагаемых (тоже случайных):

Т_сист.=Т_ож + , где Т_ож - время ожидания заявки в очереди,  случайная величина, равная времени обслуживания Т_об, если заявка обслуживается и 0, если она не обслуживается (получает отказ). По теореме сложения математических ожиданий: , но в наших обозначениях , а . Отсюда находим:   или с учетом (9.15) .

Билет №23

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: