ЗАТУХАЮЩИЕ и вынужденные КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Лекция 3.

ЗАТУХАЮЩИЕ и вынужденные КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС.

План:

1.Затухающие колебания.

· Затухающие колебания

· Характеристики колебательной системы

· Энергия затухающих колебаний

2. Вынужденные колебания под действием гармонической силы.

· Уравнение вынужденных колебаний

· Энергия вынужденных колебаний

3. Резонанс.

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

Затухающие колебания

При выводе уравнения гармонических колебаний считали, что колеблющаяся точка находится под действием только квазиупругой силы. Во всякой реальной колебательной системе всегда имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать.

В любой реальной системе действуют силы трения, действие которых приводит к уменьшению амплитуды и энергии колебаний, поэтому свободные гармонические колебания будут затухать.

Рассмотрим свободные затухающие колебания – колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются.

Раз колебания свободные, значит система, будучи выведена внешними силами из положения равновесия или получив за счет внешних сил первоначальный толчок, в дальнейшем предоставлена самой себе и находится под воздействием только квазиупругой силы и силы сопротивления среды. Ограничимся рассмотрением малых колебаний.

Тогда и скорость системы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна величине скорости.

Будем исходить из основного уравнения динамики, полагая, что на частицу массы m действует помимо

· квазиупругой силы ,

· сила сопротивления пропорциональная скорости частицы ,

где r- коэффициент сопротивления (величина размерная).

Тогда уравнение движения имеет вид согласно уравнению динамики

или

Затухающие колебания описываются уравнением:

(1.3.1)

где ,

r – коэффициент сопротивления,

k – коэффициент упругости,

β – коэффициент затухания,

– собственная частота системы (осциллятора)- частота, с которой колебания совершались бы в отсутствии трения .

Уравнение 1.3.1 при условии описывает затухающие колебания.

Решение этого уравнения имеет вид:

, (1.3.2)

где - постоянные, определяемые начальными условиями х (0) = х₀и

- частота затухающих колебаний

Из (1.3.2) следует, что движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание с амплитудой, меняющейся со временем по закону

- амплитуда затухающих колебаний (рис.1.3.1).

График функции на рисунке для случая х₀ >0 и >0.

Эта функция не периодическая,

тем не менее величину называют периодом затухающих колебаний .

Множитель - амплитуда затухающих колебаний.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Резонанс

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы ω.

При определённом значении ω амплитуда достигает максимума.

Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой.

Чтобы найти резонансную частоту, найдём максимум амплитуды (1.4.5) или, что то же самое, минимум знаменателя функции :

Это уравнение имеет три решения: ω = 0;

· При ω = 0 имеет место максимум знаменателя.

· Из остальных двух решений отбрасываем отрицательное, так как ω≥0, и получаем:

Тогда

При отсутствии сопротивления среды β=0, , – резонансная частота совпадает с собственной частотой колебательной системы.

Чем больше затухание β, тем меньше арез и ω.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой и представлена на рис.1.4.3.

Из рисунка видно,

· что чем меньше β, тем выше и правее лежит максимум данной кривой.

· При очень большом затухании выражение для резонансной частоты становится мнимым и резонанс не наблюдается – с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает.

· При ω, стремящемся к нулю, все резонансные кривые стремятся к значению . Это смещение от положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы, равной амплитуде вынуждающей силы .

· При ω, стремящемся к бесконечности, все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро меняет своё направление, что система не успевает заметно сместиться от положения равновесия.

· Чем меньше β, тем острее максимум амплитуды, и тем он выше.

· При малом затухании и тогда .

Явление резонанса играет большую роль в физике и технике.

- Его используют, если нужно усилить колебания,

- всячески избегают, если резонанс может привести к нежелательным усилениям колебаний.

Добротность равна