Формула полной вероятности. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1.1. Некоторые формулы комбинаторики

Правило произведения. Если объект А может быть выбран n₁ способами и после каждого такого выбора объект В может быть выбран n₂ способами, то выбор пары А и В может быть осуществлен n₁ n₂способами. Это правило распространяется и на случай выбора трёх, четырёх и т.д. объектов.

Правило суммы. Если первое событие может произойти n₁ способами, а второе - n₂ способами независимо от первого, то первое или второе события могут произойти n₁+n₂ способами.

Рассмотрим некоторое множество Х, состоящее из n элементов . Будем выбирать из этого множества различные упорядоченные подмножества У из k элементов. Размещением из n элементов множества Х по k элементам назовем любой упорядоченный набор элементов множества Х.

Если выбор элементов множества У из Х происходит с возвращением, т.е. каждый элемент множества Х может быть выбран несколько раз, то число размещений из n по k находится по формуле n^k.

Если же выбор делается без возвращения, т.е. каждый элемент множества Х можно выбирать только один раз, то количество размещений из n по k обозначается и определяется равенством .

Пример. Пусть даны пять цифр: 1; 2; 3; 4; 5. Определим сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр. Если цифры могут повторяться, то количество трехзначных чисел будет . Если цифры не повторяются, то . ◄

Частный случай размещения при n=k называется перестановкой из n элементов. Число всех перестановок из n элементов равно .

Пусть теперь из множества Х выбирается неупорядоченное подмножество У, т.е. два подмножества У₁ и У₂ из k элементов, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся их порядком будем считать одинаковыми. Сочетаниями из n элементов по k называются подмножества из k элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Общее число всех сочетаний из n по k обозначается и равно

В дальнейшем будем считать . Заметим, что справедливо равенство .

Пример. В группе из 27 человек нужно выбрать трех делегатов на профсоюзную конференцию. Найдем сколькими способами это можно сделать

. ◄

1.2. Классическое определение вероятности . Относительная

частота события. Статистическое определение

вероятности. Геометрические вероятности

В этой теме необходимо усвоить три понятия: события, вероятности и относительной частоты появления событий при испытаниях, обратив внимание на свойство устойчивости ее при большом числе испытаний; приобрести навыки в решении задач на вычисление вероятности события по классической формуле.

1. Основным объектом классической теории вероятности является так называемое случайное событие, то есть событие, которое может произойти или не произойти в результате проведенного опыта.

Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием. Рассмотрим виды событий.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит.

Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Будем говорить, что случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть случаями (исходами). Событие такой группы называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет появление А.

Пример. В урне находится 8 шаров, на каждом из которых поставлено по одной цифре от 1 до 8. Шары с цифрами 1, 2, 3 красные, остальные – черные. Появление шара с цифрой 1 (2 или 3) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара. ◄

Числовая величина, характеризующая степень возможности данного события, называется его вероятностью. Если можно пересчитать все возможные исходы проводимого опыта и если ни один из этих исходов не имеет приоритета по сравнению с другими (то есть при большом количестве опытов все исходы наблюдаются с одинаковой частотой), то говорят, что мы имеем дело со схемой случаев.

Будем считать, что — число возможных исходов данного опыта, а — число его исходов, при которых происходит некоторое событие (назовем такие исходы благоприятными или благоприятствующими событию Тогда вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к числу возможных:

Заметим, что вероятность достоверного события р=1. Вероятность невозможного события р=0. Кроме того из определения вероятности следует, что для любого события А

Пример. Из колоды в 32 карты вынуто последовательно без возвращения 2 карты. Найти вероятность того, что обе они — тузы.

Так как первую карту можно извлечь из колоды 32 способами, а вторую — 31 (поскольку в колоде осталась 31 карта), то число возможных исходов опыта . Определим число благоприятных исходов. Первый туз можно выбрать из четырех, имеющихся в колоде, второй — из трех оставшихся. Значит, число благоприятных исходов и искомая вероятность равна

. ◄

Во многих случаях, однако, непосредственный перебор всех возможных исходов опыта затруднителен в силу их большого количества. Для решения таких задач полезно использовать некоторые комбинаторные формулы, в частности, формулу для числа сочетаний. Напомним, что число сочетаний из по , то есть число различных неупорядоченных наборов из элементов, выбранных из имеющихся различных объектов, равно

В частности, если имеется группа из объектов двух видов ( элементов первого вида и — второго), из которых требуется выбрать элементов, среди которых должно быть предметов первого типа и второго, вероятность того, что случайно извлеченная подгруппа имеет нужный состав, определяется так:

Знаменатель этой дроби представляет собой число возможных исходов опыта, то есть количество различных наборов по элементов, выбранных из имеющихся без учета их качественного состава. В числителе — число благоприятных исходов, представляющее собой число возможных наборов из элементов нужного вида, умноженное на количество возможных наборов из предметов второго типа.

Примеры.

1. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10?

Пусть событие А – номер вынутого шара не превосходит 10. Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев m=n=10. Следовательно, Р(А)=1. ◄

2. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

Так как синих шаров в урне нет, то m=0, n=15. Следовательно, искомая вероятность р=0. ◄

3. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты пиковой масти?

Здесь всего случаев n=36. Событие А – появление карты пиковой масти. Число случаев, благоприятствующих появлению события А, m=9. Следовательно, . ◄

4. Бросаются одновременно две монеты. Какова вероятность выпадения герба на обеих монетах?

Составим схему возможных случаев.

	Первая монета	Вторая монета
1 случай 2 случай 3 случай 4 случай	герб герб не герб не герб	герб не герб герб не герб

Всего случаев 4. Благоприятствующих случаев 1. Следовательно, р=1/4. ◄

5. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые?

Вынуть два шара из десяти можно следующим числом способов: . Число случаев, когда среди этих двух шаров будут оба белые, равно . Искомая вероятность будет . ◄

6. Из коробки, в которой лежат пять пирожных «эклер» и семь — «наполеон», достали пять пирожных. Найти вероятность того, что среди них два «эклера» и три «наполеона».

Количество возможных исходов опыта представляет собой число сочетаний из 12 по 5:

Число благоприятных исходов является произведением количества способов, которыми можно выбрать два «эклера» из пяти имеющихся, и числа наборов по три «наполеона» из семи:

Следовательно, искомая вероятность равна ◄

7. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц три женщины.

Общее число возможных исходов равно числу способов, которыми можно отобрать 7 человек из 10, т.е. . ◄

Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: трех женщин можно выбрать из четырех способами; при этом остальные четыре человека должны быть мужчинами, их можно отобрать способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .

Искомая вероятность . ◄

8. Пять книг расставляются на полку. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом.

Число всех способов, которыми можно расставить на полке пять книг, равно числу перестановок из пяти элементов .

Подсчитаем число благоприятствующих случаев. Две определенные книги можно поставить рядом 2!=2 способами. Оставшиеся книги можно расположить на полке способами. Поэтому .

Итак, . ◄

2. Статистическое определение вероятности. Недостатком классического определения вероятности является то, что не всегда удается узнать, являются исходы испытания равновозможными или не являются.

Относительной частотой р^* случайного события А называется отношение числа m^* появления данного события к общему числу n^* проведенных одинаковых испытаний, в каждом из которых могло появиться или не появиться данное событие.

Оказывается, что при большом числе испытаний n, относительная частота появления события А в различных сериях отличается друг от друга мало и это отличие тем меньше, чем больше испытаний в сериях.

При статистическом определении вероятностью события называют относительную частоту события при большом числе испытаний или число близкое к ней:

3. Геометрический метод вычисления вероятностей. Если множество возможных исходов опыта можно представить в виде отрезка прямой или в виде некоторой плоской или трехмерной области, а множество исходов, благоприятных событию — как часть этой области, то вероятность рассматриваемого события определяется следующим образом:

где — длина отрезка (площадь или объем области), задающего множество возможных исходов, а — соответствующая мера множества благоприятных исходов.

Пример. В круг наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что она не попадет в правильный треугольник, вписанный в этот круг.

В этом случае мерой множества возможных исходов является площадь круга: а мерой множества благоприятных исходов — разность площадей круга и треугольника: . Следовательно, вероятность заданного события равна

◄

Вопросы для самопроверки

1. Что понимается под событием? Как подразделяются события?

2. Какие события называются элементарными или случаями?

3. Сформулируйте аксиомы теории вероятностей и следствия из них

4. Сформулируйте классическое определение вероятности события. Укажите возможные границы вероятности.

5. Что такое относительная частота появления события или частость? В чем состоит свойство статистической устойчивости относительной частоты? В чем состоит различие между вероятностью и относительной частотой?

Теоремы сложения и

умножения вероятностей

Теоремы сложения и умножения вероятностей являются основными, так как на них основываются все дальнейшие положения теории вероятностей. Указанные теоремы позволяют по вероятностям одних событий вычислять вероятности других. В следствии этого они часто применяются для решения различных задач. Следует усвоить методику использования теорем при решении задач.

Суммой событий и называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из событий и , а произведением этих событий — событие, состоящее в том, что произошли оба данных события.

Вероятность суммы двух событий можно найти по теореме сложения вероятностей:

Если события и несовместны, то есть не могут произойти одновременно, то вероятность их произведения равна нулю, и теорема сложения приобретает более простой вид:

Вероятность произведения событий определяется по теореме умножения вероятностей:

где — так называемая условная вероятность события , то есть вероятность при условии, что произошло. Если осуществление события не изменяет вероятности события , то и называются независимыми, и вероятность их произведения равна произведению вероятностей сомножителей:

Заметим, что при решении задач теоремы сложения и умножения обычно используются совместно.

Примеры.

1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар а) синий или черный; б) белый, черный или синий.

Обозначим следующие события:

Б – вынули белый шар, ;

Ч – вынули черный шар, ;

С – вынули синий шар, ;

К – вынули красный шар, .

Тогда искомые вероятности будут:

а) .

б)

или . ◄

2. На стеллаже в библиотеке стоит 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.

Рассмотрим два способа решения задачи.

Первый способ. Пусть события А – хотя бы один учебник в переплете;

В – один из взятых учебников в переплете, два – без переплета;

С – два в переплете, один без переплета;

D – все три учебника в переплете.

Очевидно, А=В+С+D. Найдем вероятности событий В, С, и D.

, , .

Тогда

Второй способ. Вновь А – хотя бы один учебник в переплете;

- ни один из взятых учебников не имеет переплета.

Так как события А и противоположные, то

. ◄

3. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания равны соответственно 0,6 и 0,9. Найти вероятности следующих событий:

— оба попали в цель;

— в цель попал хотя бы один.

Назовем событиями и попадание в мишень соответственно первого и второго стрелка и отметим, что и являются событиями совместными, но независимыми (иными словами, в мишень могут попасть оба стрелка, а вероятность попадания каждого не зависит от результата другого). Событие представляет собой произведение событий и поэтому

Событие является суммой и для определения его вероятности воспользуемся общим видом теоремы сложения:

◄

4. В первом ящике 2 белых и 7 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика, ;

- вынули черный шар из первого ящика, ;

В – белый шар из второго ящика, ;

- черный шар из второго ящика, .

Нам нужно, чтобы произошло одно из событий или . По теореме об умножении вероятностей , . Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет

. ◄

5. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) двойного промаха; в) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.

Пусть А – попадание первого стрелка, Р(А)=0,8; В – попадание второго стрелка, Р(В)=0,9. Тогда - промах первого, ; - промах второго, . Найдем нужные вероятности.

а) АВ – двойное попадание, Р(АВ)=Р(А)Р(В)=0,72.

б) - двойной промах, .

в) А+В – хотя бы одно попадание,

г) - одно попадание,

. ◄

6. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.

А – формула содержится в первом справочнике;

В – формула содержится во втором справочнике;

С – формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

=0,6·0,3·0,2+0,4·0,7·0,2+0,4·0,3·0,8=0,188.

2. .

3. P(АВС)=0,6·0,7·0,8=0,336. ◄

7. Из 10 деталей 7 – стандартные. Наудачу берут 6 деталей. Найти вероятность того, что среди них: а) не более одной нестандартной; б) не более двух нестандартных.

а) Обозначим события А – среди взятых 6 деталей нестандартных нет;

В – в 6 выбранных деталях одна нестандартная. Тогда А+В – среди 6 деталей не более одной нестандартной. Найдем Р(А+В). Заметим, что

Откуда

б) Пусть теперь событие А – в шести взятых деталях не более двух нестандартных. Тогда - в выбранных деталях более двух нестандартных, т.е. три.

. ◄

8. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

1-й способ. Рассмотрим события: - появление шестерки на первой кости ( ); - появление шестерки на второй кости ( ). События и - совместны и независимы, следовательно,

2-й способ. Рассмотрим противоположные события: и . Из свойств вероятности и алгебры событий следует

Следовательно,

. ◄

9. В классе 32 ученика.12 из них носят очки. У 10 – пятерка по русскому языку, из них пятеро носит очки. Определить зависит ли между собой события: ученик носит очки и у ученика пятерка по поведению.

Пусть событие ={ученик носит очки}, событие ={у ученика пятерка по русскому языку}.

Тогда .

Так как , то эти события не независимы. ◄

Формула полной вероятности

и формула Байеса

1. Если событие может произойти одновременно с одним из событий , представляющих собой так называемую полную группу попарно несовместных событий (то есть в результате опыта обязательно произойдет одно и только одно событие из этой группы), то события называются гипотезами, а вероятность события определяется по формуле полной вероятности:

Здесь — вероятность -ой гипотезы, а — условная вероятность события при осуществлении данной гипотезы.

Примеры.

1. В трех одинаковых урнах лежат шары: в первой — 5 белых и 3 черных, во второй — 2 белых и 6 черных, в третьей — 3 белых и 1 черный. Из случайно выбранной урны вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.

Будем считать гипотезами выбор одной из урн. Поскольку урны одинаковы, каждую из них можно выбрать с одинаковой вероятностью, а так как сумма вероятностей гипотез равна 1, то вероятность каждой гипотезы —

Условная вероятность события , то есть извлечения белого шара из урны, определяется по классическому определению вероятности (количеством благоприятных исходов при этом является число белых шаров, а числом возможных исходов — общее число шаров в урне). Поэтому

Используя формулу полной вероятности, получаем:

◄

2. Вероятность изготовления годного изделия данным станком 0,9. Вероятность появления изделия первого сорта среди годных изделий 0,8. Определить вероятность изготовления изделия первого сорта данным станком.

Событие В – изготовление годного изделия данным станком; событие А – появление изделия первого сорта. Очевидно, Р(В)=0,9, . Искомая вероятность будет

. ◄

3. К экзамену надо подготовить 25 вопросов. Студент пришел на экзамен, зная 20. Какова вероятность того, что студент ответит на все три вопроса билета?

Пусть события: А – студент знает первый вопрос;

В – студент знает второй вопрос;

С – студент знает третий вопрос.

Примеры.

1. В студенческой группе 20 студентов. Из них 5 отличников, которые знают все экзаменационные вопросы, 8 студентов знают ответы на 70 % вопросов и 7 — на 50 %. Первый вызванный студент ответил на первый вопрос экзаменационного билета. Найти вероятность того, что он отличник.

Будем считать гипотезой то, что данный студент является отличником, — что он принадлежит ко второй группе, — к третьей. Тогда вероятности гипотез равны:

Найдем условную вероятность события — правильного ответа на первый вопрос — при осуществлении каждой гипотезы:

Следовательно, полная вероятность события равна

Применяя формулу Байеса, находим:

◄

2. 30% приборов собирает специалист высокой квалификации и 70% специалист средней квалификации. Надежность работы прибора, собранного специалистом высокой квалификации, 0,9, надежность прибора, собранного специалистом средней квалификации, 0,8. Взятый прибор оказался надежным. Определить вероятность того, что он собран специалистом высокой квалификации.

Событие А – безотказная работа прибора;

В₁ – прибор собран специалистом высокой квалификации;

В₂ – прибор собран специалистом средней квалификации.

Выпишем вероятности гипотез: , .

Условные вероятности события А: , .

Вероятность события А: . Определим вероятность гипотезы В₁ при условии, что событие А произошло

.◄

3. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие попало, если вероятности попадания в цель каждым из орудий равны р₁=0,4, р₂=0,3, р₃=0,5.

Обозначим события: А – два орудия попали в цель;

В₁ – первое орудие попало в цель;

В₂ – первое орудие не попало в цель.

Вероятности гипотез: , .

Условные вероятности события А:

По формуле Байеса

. ◄

Вопросы для самопроверки

1. Что понимается под суммой двух событий?

2. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для несовместных событий?

3. Что понимается под полной группой событий? Чему равна сумма вероятностей несовместных событий, составляющих полную группу?

4. Какие события называются противоположными? Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?

5. Дайте определение условной вероятности. Какие события называются независимыми?

6. Что понимается под произведением двух событий?

7. Сформулируйте теорему умножения вероятностей для независимых и зависимых событий.

8. Докажите формулу полной вероятности.

9. Докажите формулу Байеса.

Повторные независимые

испытания

В теме изучаются методы решения задачи, в которой один и тот же опыт повторяется несколько раз. В результате каждого опыта может появиться или не появиться интересующее нас событие. Однако нас интересует не результат отдельного опыта, а результат серии опытов, т. е. какова вероятность появления того или иного числа событий в серии опытов. Характерным примером такой задачи являются различного рода выборки. Когда образована выборка и производится ее изучение, то каждый элемент ее обследуется и устанавливается наличие или отсутствие того или иного фактора. Обследование одного элемента выборки и есть опыт или испытание. Обследование всех элементов выборки, проводимое в одинаковых условиях, есть повторение испытаний, рассматриваемое в задаче о повторении опытов.

Формула Пуассона наряду с задачей повторения испытаний используется также для расчета вероятности появления различного числа событий (например, точек или других элементов) в какой-либо области (площади, объеме или во времени). При этом должны соблюдаться следующие условия: события (точки) в области распределены в общем равномерно;положение каждого события (точки) случайное, независимое друг от друга;события (точки) появляются в области поодиночке, а не парами, тройками и т. д.

При решении задач с использованием формулы Пуассона исходные данные могут встречаться в двух вариантах:

1) в условии задачи указывается вероятность р появления события в одном испытании и число испытаний n ;

2) в условии задачи указывается среднее число появлений события за какую-либо единицу области (площади, объема, времени) и размер области s {площади, объема, времени), внутри которой появляются интересующие события.

В первом случае параметр распределения Пуассона определяется как произведение вероятности р и числа п испытаний: = пр.

Во втором случае этот параметр определяется произведением среднего числа появлений события и размера области: .

Дальнейший расчет вероятности по формуле Пуассона одинаков в обоих случаях.

1. Формула Бернулли. Рассмотрим случай, когда требуется определить не вероятность осуществления некоторого события в одном испытании, а вероятность того, что это событие произойдет заданное количество раз в серии из опытов. Будем считать при этом, что вероятность в каждом опыте одинакова и результат каждого опыта не зависит от результатов остальных. Такая постановка задачи называется схемой независимых испытаний. При выполнении указанных условий вероятность того, что при проведении независимых испытаний событие будет наблюдаться ровно раз (неважно, в каких именно опытах), определяется по формуле Бернулли:

где — вероятность появления в каждом испытании, а — вероятность того, что в данном опыте событие не произошло.

В частности, отсюда Р _n(0)=qⁿ, Р _n(1)=npqⁿ ^-¹, … , Р _n(n)=pⁿ.

Примеры.

1. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности , . По формуле Бернулли требуемая вероятность

. ◄

2. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 деталей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Вероятность рождения девочки , тогда .

Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:

, ,

, .

Следовательно, искомая вероятность

. ◄

3. Правильная игральная кость бросается четыре раза. Найти вероятность того, что шесть очков выпадут ровно два раза.

Обозначим {выпадение на одной кости шести очков}. Очевидно, что в этом случае испытания независимы, и мы имеем схему Бернулли с , , а так как кость правильная . Вычислим

Подставляя эти значения в формулу Бернулли, получим искомую вероятность

. ◄

4. Вероятность появления события в каждом из 5 независимых испытаний равна 0.8 . Найти вероятность того, что событие А произойдет

а) не менее трех раз б) не более двух раз.

Имеем ,

Подставляя эти значения в формулу для , получим

а)

б)

Нетрудно видеть, что событие а) = { не менее двух попаданий при шести выстрелах, т.е. 2, 3, 4, 5, 6 попаданий} и событие б) ={не более одного попадания при шести выстрелах, т.е. 0 и 1 попадание } составляют полную группу событий с суммой вероятностей равной 1, . Поэтому вероятность события б) можно подсчитать, используя значение , полученное в а) . ◄

■▬▬▬►

2. Число наступлений события называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления любое другое количество раз.

Наивероятнейшее число наступлений события в испытаниях заключено между числами и .

Замечание. Если – целое число, то наивероятнейших чисел два: и .

Пример. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из лука равна 1/3. Производится шесть выстрелов. Какова вероятность ровно двух попаданий? Какова вероятность не менее двух попаданий? Каково наивероятнейшее число попаданий?

Обозначим A = {попадание при одном выстреле} p = 1/3, q = 1 – 1/3 = 2/3. Число выстрелов n = 6. Естественно предположить, что выстрелы не зависят друг от друга, и мы имеем схему Бернулли.

Ответ на первый вопрос находим по формуле Бернулли, n = 4, m =2

Ответ на второй вопрос можно найти по формуле для . Однако проще найти по этой формуле, вероятность не более одного попадания и вычесть эту вероятность из 1.

В этом рассуждении мы использовали тот факт, что событие B₁ = { не менее двух попаданий при шести выстрелах, т.е. 2, 3, 4, 5, 6 попаданий} и событие B₂= { не более одного попадания при шести выстрелах, т.е. 0 и 1 попадание } составляют полную группу событий с суммой вероятностей равной 1. Для ответа на третий вопрос найдем

, ,

следовательно, наивероятнейшее число попаданий, лежащее между этими числами, равно двум. ◄

◄▬▬▬■

3. Формула Пуассона. При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, 0,95¹⁰⁰⁰ вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз используют формулу Пуассона

где λ=np=const – среднее число появлений события в n испытаниях.

Примеры.

1. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

N=1000, p=0,002, λ=np=2, k=3.

Искомая вероятность

. ◄

2. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.

n=500, p=0,004, λ=2.

По теореме сложения вероятностей

. ◄

3. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

λ=np=1000·0,003=3

◄

4. Радиоаппаратура состоит из 2000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года равна 0,001 . Какова вероятность отказа двух элементов за год? Какова вероятность отказа не менее двух элементов за год?

Работу каждого элемента рассматриваем как отдельное испытание. Обозначим А = { отказ элемента за год }. Имеем n = 2000, p = p(А) = 0.001, λ = n p = 2000∙0,001 = 2. По формуле Пуассона

Ответ на второй вопрос дается формулой

. ◄

Теоремы Муавра-Лапласа.

1. Рассмотрим случай, когда число успехов растет с ростом , а вероятность успеха постоянна.

Теорема Муавра-Лапласа (локальная). Положим . Предположим, что m →∞ , n →∞ и величины x_n являются ограниченными. Тогда

В частности, если x_n → x , то

Рассмотрим приближенную формулу для вероятности того, что событие наступило не менее m₁ и не более m₂раз в n испытаниях, когда n велико. Предположим, что числа m₁и m₂ растут с ростом n , а вероятность успеха p постоянна.

2. Теорема Муавра-Лапласа (интегральная). Положим . Предположим, что m₁ →∞ , n →∞ и величины a_n и b_n являются ограниченными. Тогда

Введем функцию Гаусса φ ( x ) и функцию Лапласа Φ( x )

, .

Тогда локальную теорему можно записать в виде

где ,

а интегральную теорему в виде

где .

Замечание. Приближенными формулами Лапласа на практике пользуются в случае, если npq >10. Если npq <10, то эти формулы приводят к большим погрешностям.

Примеры.

1. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0.8 . Найти вероятность того, что событие произойдет

а) 750 раз, б) не менее 710 раз и не более 740 раз.

Из условия следует, что n = 900, p= 0.8, величина q = 0.2 и npq = 144 >10 и можно использовать приближенные формулы.

а) m = 750, найдем

По таблице значений функции Гаусса находим φ(2.5) = 0.0175. Искомая вероятность равна

б) m₁ = 710, m₂ = 740, найдем a_n и b_n

По таблице значений функции Лапласа ,

Искомая вероятность равна

. ◄

2. Сколько раз с вероятностью 0.0484 можно ожидать появления события в 100 независимых испытаниях, если вероятность его появления в отдельном испытании ?

Из условия следует, что n = 100, P_n ( m )= 0.0484, p= 0.5, величина q = 0.5, требуется определить m. ( Т.к. npq = 25 >10 можно использовать приближенные формулы).

Найдем x

Имеем

Отсюда находим . По таблице значений функции Гаусса находим x = 1.09. Подставляя это значение в выражение для x , получим

Поскольку – целое число, то . ◄

3. Найти вероятность того, что при 150 выстрелах мишень будет поражена ровно 70 раз, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0.4.

Данная задача решается с использованием схемы Бернулли, А = {попадание при одном выстреле }, n = 100, p = p(А) = 0.4, q = 1 – p = 0.6, m =70. ( Т.к. npq = 36 >10 можно использовать приближенные формулы ).

Тогда

. ◄

5. Город ежедневно посещают 1000 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы с вероятностью приблизительно 0.99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно быть в его ресторане?

Пусть А = {турист пообедал в данном ресторане}. Вероятность наступления события А : p = p(А) =0.5, n = 1000. Владелец ресторана желает, чтобы вероятность переполнения ресторана была равна 1-0.99=0.01. Число мест в ресторане должно быть таким, чтобы вероятность того, что ресторан посетит более, чем ( и не более 1000 ) туристов была равна 0.01. Т.е. должно выполняться равенство

. Имеем

Тогда

, или .

Используя таблицы для функции Лапласа, находим

, значит . Следовательно, в ресторане должно быть 537 мест. ◄

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение последовательности независимых испытаний, изложите схему Бернулли.

2. Сформулируйте условия задач, для решения которых применяется формула Бернулли.

3. Как определяется число сочетаний из и элементов по т?

3. При каких условиях из формулы Бернулли получается формула Пуассона?

4. Изложите два случая определения параметра формулы Пуассона.

5. Что такое наивероятнейшее число появлений события? Как оно определяется?

6. Какова асимптотическая формула биномиального распределения?

II . СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Понятие случайной величины — основное в теории вероятностей. Применение теории вероятностей для решения практических задач в первую очередь связано с этим понятием. Следует хорошо разобрать методику задания случайной величины дискретного типа с помощью таблицы или многоугольника распределения, а непрерывного типа — с помощью дифференциальной функции или кривой распределения, использование этих понятий для расчета вероятности попадания случайной величины в заданный интервал. Далее необходимо усвоить понятия математического ожидания и дисперсии как числовых характеристик наиболее важных свойств случайной величины.

Во многих задачах теории вероятности удобнее оперировать не понятием случайного события, для которого существуют только две возможности: оно может произойти или не произойти в результате опыта, а понятием так называемой случайной величины, то есть величины, которая при проведенном испытании может принимать различные значения, причем заранее не известно, какие именно. Если возможный диапазон значений такой величины представляет собой конечное или счетное множество, она называется дискретной случайной величиной, а если эти значения заполняют целиком некоторый интервал — непрерывной случайной величиной.

Примеры.

1.Дискретные независимые случайные величины заданы распределениями

X	1	2
P	0.6	0.4

Y	3	4
P	0.2	0.8

Найти распределение случайной величины .

Найдем все возможные пары , вероятности их появления по теореме умножения вероятностей независимых случайных величин и соответствующие этой паре значения величины

Таким образом , случайная величина принимает значения 4, 5, 6 со следующими вероятностями

Запишем это распределение в виде таблицы

Z	4	5	6
P	0.12	0.56	0.32

Контроль: 0.12 + 0.56 + 0.32 = 1. ◄

2. В ящике два шара, на каждом из которых написана цифра 1, и три шара, на каждом из которых написана цифра 2.

Один за другим вынимают два шара. Пусть - это номер на первом шаре, а - номер на втором шаре. Найти закон распределения случайной величины, равной

а) разности цифр на первом и втором шарах ,

б) произведению цифр на шарах .

Примеры.

1. Случайная величина Х задана следующим законом распределения:

Х	2	3	4
Р	0,3	0,4	0,3

Непрерывные случайные

величины

1. Функция распределения. Для непрерывной случайной величины теряет смысл понятие вероятности каждого конкретного значения, поскольку таких значений бесконечно много, и из условия, что сумма вероятностей всех значений равна 1, следует, что вероятность каждого фиксированного значения равна нулю. Поэтому основными характеристиками, описывающими поведение непрерывной случайной величины, являются функция распределения (интегральная функция распределения) и плотность распределения вероятностей (плотность вероятности, дифференциальная функция распределения).

Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, заданную а некотором интервале (а, b). Закон распределения вероятностей для такой величины должен позволять находить вероятность попадания ее значения в любой интервал (х₁, х₂).

Функцией распределения непрерывной случайной величины Х называют функцию F(x), определяющую для каждого значения вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е. .

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. Как любая вероятность .

2. F(x) – неубывающая функция, т.е. если х₁< х₂, то F(x₁)≤ F(x₂).

3. .

4. Р(Х= x₁)=0.

5. Если все возможные значения случайной величины Х находятся на интервале (а, b), то F(x)=0 при х≤а и F(x)=1 при .

6. , .

Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х называют производную от функции распределения: .

Плотность распределения непрерывной случайной величины Х обладает свойствами:

1. f(x)≥0.

2. .

3. Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения случайной величины .

4. .

График функции называют кривой распределения.

Примеры.

1. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти плотность распределения этой случайной величины и вероятность попадания ее в интервал (1; 2,5).

По определению

Требуемая вероятность будет

. ◄

2. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти функцию распределения этой величины.

Воспользуемся формулой .

Если х≤1, то f(x)=0, следовательно, .

Если 1<x≤2, то

Если х>2, то

Итак, искомая функция распределения имеет вид

◄

3. Составить функцию распределения F(x) дискретной случайной величины Х с законом распределения:

Х	2	4	7
Р	0,5	0,2	0,3

Если х≤2, то F(x)=0, так как значений меньших 2 величина Х не принимает. Поэтому при х≤2 F(x)=Р(Х<x)=0.

Если 2<x≤4, то F(x)=0,5, так как Х может принимать значение 2 с вероятностью 0,5.

Если 4<x≤7, то F(x)= Р(Х<x)= Р(Х=2)+ Р(Х=4)=0,5+0,2=0,7 (по теореме сложения вероятностей несовместных событий).

Если х>7, то F(x)=1, так как событие Х≤7 достоверное.

Итак, искомая функция распределения имеет вид

◄

2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Аналогично тому, как это было сделано для дискретной случайной величины, определим числовые характеристики непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(x).

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(x) называется выражение

Если случайная величина Х может принимать значения только на конечном отрезке [a, b], то .

Дисперсия непрерывной случайной величины Х определяется равенством

или равносильным равенством

Все свойства математического ожидания и дисперсии, указанные для дискретных величин, сохраняются и для непрерывных величин

Среднеквадратичным отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии

Значение случайной величины Х, при котором плотность распределения f(x) имеет наибольшее значение называется модой М₀[X].

Медианой М_е[X] непрерывной случайной величины Х, называют ее значение, определяемой равенством

или

Пример. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение величины Х.

Воспользуемся определениями.

. ◄

Пример. Плотность вероятности случайной величины имеет вид:

Найти:

1) Из условия нормированности плотности вероятности следует, что В нашем случае

откуда

2) Связь между и задается формулой

Поэтому при

при

а для

Cледовательно,

◄

3. Закон равномерного распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение вероятностей если ее плотность распределения задается следующим образом:

Найдем значение с. По свойству плотностей распределения получаем

следовательно, и

Так как , то промежуток [a, b], на котором имеет место равномерное распределение, обязательно конечен.

Определим вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (α, β).

Итак, искомая вероятность

т.е. вероятность попадания Х в интервал зависит только от длины этого интервала и не зависит от значений величины Х. При равномерном распределении случайной величины Х вероятности попадания Х в промежутки равной длины одинаковы.

Найдем функцию распределения .

Если х<a, то f(x)=0 и, следовательно, .

Если а≤x≤b, то и, следовательно,

Если х>b, то f(x)=0 и, следовательно,

Таким образом,

Пример. Интервал движения автобуса равен 20 минутам. Найти вероятность того, что пассажир будет ожидать автобус менее 5 минут.

Пусть случайная величина Х – время прихода пассажира на станцию после отправления очередного автобуса 0<X<20. Х имеет равномерное распределение, так как вероятность прихода, например, в пятую минуту, равна вероятности прихода в восьмую. В задаче требуется найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала (15, 20).

. ◄

4. Числовые характеристики равномерного распределения. Для случайной величины Х, имеющей равномерное распределение, плотность распределения определяется формулой

Тогда по определению математического ожидания

Дисперсия равномерно распределенной случайной величины будет

Итак,

, = , .

5. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины. Изучение различных явлений показывает, что многие случайные величины, имеют плотность распределения вероятности, которая определяется формулой

где а и σ – параметры распределения. В этом случае говорят, что случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения. Кривая нормального распределения изображена на рисунке.

Найдем

Выполнив ту же замену переменной, будем иметь

Проинтегрировав по частям последний интеграл: u=t, , получим

Так как по правилу Лопиталя , то

Поэтому дисперсия нормального распределения случайной величины будет

Итак, M[X]=a, D[X]=σ², σ[X]= σ.

7. Функция Лапласа. Функция распределения случайной величины Х, имеющей нормальное распределение. В дальнейшем будем использовать функцию Лапласа, определяемую равенством

Составлены подробные таблицы значений этой функции.

Укажем некоторые свойства функции Ф(х).

1. Ф(х) определена при всех значениях х.

2. Ф(0)=0.

3. .

4. .

5. Ф(х) монотонно возрастает при всех .

6. Ф(х) – функция нечетная: Ф(-х)= - Ф(х).

Определим функцию распределения случайной величины Х, имеющей нормальное распределение.

Обозначив получим

Итак, функция распределения случайной величины Х имеет вид

8. Вероятность попадания случайной величины Х, имеющей нормальное распределение, в заданном интервале. Используя функцию распределения случайной величины Х, найдем вероятность попадания ее значений в интервал (α, β).

Таким образом, .

Пример. Найти вероятность попадания в интервал для нормально распределенной случайной величины с параметрами

Имеем

◄

Известно («правило трех сигм»), что практически все возможные значения нормально распределенной случайной величины сосредоточены в интервале . Действительно, вероятность попадания в этот интервал равна 0,9973, то есть выход за его границы можно считать событием практически невозможным ( ).

Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины, принимающей значения от 3,5 до 10,1.

Будем считать границы интервала равными и Тогда и следовательно, ◄

Пример. Непрерывная случайная величина распределена нормально с , . Найти интервал, в котором согласно правилу «трех сигм» попадает случайная величина с вероятностью 0,9973.

Правило «трех сигм» представлено формулой

Так как то

откуда .

Решая последнее неравенство, получаем

откуда .

Пример. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х имеет вид . Найти: γ, M[X], D[X], F(x), .

Случайная величина Х имеет нормальное распределение. Поэтому приведем плотность распределения f(x) к виду

Выделим в показателе заданной функции полный квадрат

Следовательно,

Сравним

Из последнего равенства получаем

, т.е. .

, .

В последнем равенстве при вычислении и использованы таблицы значений функции Ф(х).

Итак: , , , , . ◄

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение случайной величины.

2. Какие случайные величины называются дискретными? непрерывными? Приведите примеры тех и других случайных величин.

3. Опишите форму таблицы распределения случайной величины. Как такая таблица изображается на чертеже?

4. Дайте определение закона распределения вероятностей случайной величины.

5. Как определяется дифференциальная функция распределения вероятностей случайной величины? Почему эту функцию называют функцией распределения плотности вероятности случайной величины?

6. Как вычисляется вероятность попадания в заданный интервал дискретной случайной величины?

7. Дайте определение математического ожидания случайной величины. Какое свойство случайной величины характеризует математическое ожидание?

8. Дайте определения дисперсии и среднего квадратического отклонения. Для характеристики какого свойства случайной величины применяют дисперсию или среднее квадратическое отклонение?

9. Перечислите свойства математического ожидания и дисперсии.

10. Начертите форму кривой нормального распределения. Как меняется кривая при изменении математического ожидания и среднего квадратического отклонения?

!1. Изложите методику расчета вероятности попадания случайной величины в заданный интервал при нормальном распределении.

12. Сформулируйте теорему Ляпунова. Объясните структуру случайных величин- характеризуемых нормальным распределением.

13. Что понимается под законом больших чисел?

14. Сформулируйте теорему Бернулли. Какое значение имеет эта теорема для практики?

15. Сформулируйте теорему Чебышева. Укажите ее значение для практики.

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1.1. Некоторые формулы комбинаторики

В дальнейшем будем считать . Заметим, что справедливо равенство .

. ◄

1.2. Классическое определение вероятности . Относительная

частота события. Статистическое определение

вероятности. Геометрические вероятности

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит.

Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

. ◄

Примеры.

2. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

Так как синих шаров в урне нет, то m=0, n=15. Следовательно, искомая вероятность р=0. ◄

3. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты пиковой масти?

4. Бросаются одновременно две монеты. Какова вероятность выпадения герба на обеих монетах?

Составим схему возможных случаев.

	Первая монета	Вторая монета
1 случай 2 случай 3 случай 4 случай	герб герб не герб не герб	герб не герб герб не герб

Всего случаев 4. Благоприятствующих случаев 1. Следовательно, р=1/4. ◄

5. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые?

Количество возможных исходов опыта представляет собой число сочетаний из 12 по 5:

Следовательно, искомая вероятность равна ◄

Общее число возможных исходов равно числу способов, которыми можно отобрать 7 человек из 10, т.е. . ◄

Искомая вероятность . ◄

8. Пять книг расставляются на полку. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом.

Итак, . ◄

◄

Вопросы для самопроверки

1. Что понимается под событием? Как подразделяются события?

2. Какие события называются элементарными или случаями?

3. Сформулируйте аксиомы теории вероятностей и следствия из них

4. Сформулируйте классическое определение вероятности события. Укажите возможные границы вероятности.

Теоремы сложения и

умножения вероятностей

Вероятность суммы двух событий можно найти по теореме сложения вероятностей:

Вероятность произведения событий определяется по теореме умножения вероятностей:

Заметим, что при решении задач теоремы сложения и умножения обычно используются совместно.

Примеры.

Обозначим следующие события:

Б – вынули белый шар, ;

Ч – вынули черный шар, ;

С – вынули синий шар, ;

К – вынули красный шар, .

Тогда искомые вероятности будут:

а) .

б)

или . ◄

Рассмотрим два способа решения задачи.

Первый способ. Пусть события А – хотя бы один учебник в переплете;

В – один из взятых учебников в переплете, два – без переплета;

С – два в переплете, один без переплета;

D – все три учебника в переплете.

Очевидно, А=В+С+D. Найдем вероятности событий В, С, и D.

, , .

Тогда

Второй способ. Вновь А – хотя бы один учебник в переплете;

- ни один из взятых учебников не имеет переплета.

Так как события А и противоположные, то

. ◄

— оба попали в цель;

— в цель попал хотя бы один.

Событие является суммой и для определения его вероятности воспользуемся общим видом теоремы сложения:

◄

Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика, ;

- вынули черный шар из первого ящика, ;

В – белый шар из второго ящика, ;

- черный шар из второго ящика, .

. ◄

а) АВ – двойное попадание, Р(АВ)=Р(А)Р(В)=0,72.

б) - двойной промах, .

в) А+В – хотя бы одно попадание,

г) - одно попадание,

. ◄

А – формула содержится в первом справочнике;

В – формула содержится во втором справочнике;

С – формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

=0,6·0,3·0,2+0,4·0,7·0,2+0,4·0,3·0,8=0,188.

2. .

3. P(АВС)=0,6·0,7·0,8=0,336. ◄

а) Обозначим события А – среди взятых 6 деталей нестандартных нет;

Откуда

. ◄

8. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

2-й способ. Рассмотрим противоположные события: и . Из свойств вероятности и алгебры событий следует

Следовательно,

. ◄

Пусть событие ={ученик носит очки}, событие ={у ученика пятерка по русскому языку}.

Тогда .

Так как , то эти события не независимы. ◄

Формула полной вероятности

и формула Байеса

Здесь — вероятность -ой гипотезы, а — условная вероятность события при осуществлении данной гипотезы.

Примеры.

Используя формулу полной вероятности, получаем:

◄

. ◄

Пусть события: А – студент знает первый вопрос;

В – студент знает второй вопрос;

С – студент знает третий вопрос.

12 3 4 5 6 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2019-05-08; Просмотров: 236; Нарушение авторского права страницы