Дискретные случайные величины

 

1. Поведение дискретной случайной величины описывается законом распределения (или рядом распределения)  — таблицей, в первой строке которой перечислены все возможные значения случайной величины, а во второй — вероятности, с которыми она принимает эти значения:

 

 

Сумма вероятностей должна при этом равняться числу 1.

 

Пример. Из партии, содержащей 10 деталей, среди которых две бракованных, взяты наудачу три детали. Составить ряд распределения случайной величины  — числа стандартных деталей среди отобранных.

Так как бракованных деталей в партии только две, среди трех отобранных должна быть, по крайней мере, одна стандартная деталь. Следовательно, случайная величина  может принимать три значения:  Найдем соответствующие им вероятности. Число возможных наборов по три детали из 10 имеющихся, то есть число возможных исходов опыта, составляет

Найдем число исходов, благоприятствующих каждому значению случайной величины:

Тогда  Поэтому ряд распределения имеет вид:

 

  ◄

Пример.  В магазине куплено 3 электроприбора: чайник, утюг и пылесос. Вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока для каждого из них соответственно равна р₁=0,05, р₂=0,1, р₃ = 0,2. Составить закон распределения случайной величины Х – числа приборов, вышедших из строя в течение гарантийного срока.

Х – число приборов, вышедших из строя, имеет следующие возможные значения: х₁=0 – все три прибора не выйдут из строя в течение гарантийного срока;

х₂=1 – один прибор выйдет из строя; х₃=2 – два прибора выйдут из строя;

х₄=3 – три прибора выйдут из строя.

    Найдем соответствующие этим значениям вероятности. По условию вероятности выхода из строя приборов равны:

р₁=0,05; р₂=0,1; р₃=0,2, тогда вероятности того, что приборы будут рабочими в течение гарантийного срока равны:

q₁ = 1 – p₁ = 1 – 0,05 = 0,95; q₂ = 1 – p₂ = 1 – 0,1 = 0,9; q₃ = 1 – p₃ = 1 – 0,2 = 0,8.

P₁ (X=0) = q₁ ∙ q₂ ∙ q₃ = 0,95 ∙ 0,9 ∙ 0,8 = 0,684.

P₂ (X=1) = q₁ ∙ q₂ ∙ p₃ + q₁ ∙ p₂ ∙ q₃ + p₁ ∙ q₂ ∙ q₃ = 0,95 ∙ 0,9 ∙ 0,2 + 0,95 ∙ 0,1 ∙ 0,8 + 0,05 ∙ 0,9 ∙ 0,8 = 0,283.

P₃ (X=2) = p₁ ∙ p₂ ∙ q₃ + p₁ ∙ q₂ ∙ p₃ + q₁ ∙ p₂ ∙ p₃ = 0,05 ∙ 0,1 ∙ 0,8 + 0,05 ∙ 0,9 0,2 + 0,95 ∙ 0,1 ∙ 0,2 = 0,032.

P₄ (X=3) = p₁ ∙ p₂ ∙ p₃ = 0,05 ∙ 0,1 ∙ 0,2 = 0,001.

Проверка: P=P₁(X=0)+P₂(X=1)+P₃(X=2)+P₄(X=3)=0,684+0,283+0,032+0,001=1.

Закон распределения имеет вид:

 

X	0	1	2	3
p	0,684	0,283	0,032	0,001

 

◄

Пример.   На сборку поступило 30 деталей, из них 25 стандартных. Сборщик берёт наудачу 3 детали. Составить закон распределения случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трёх отобранных.

Возможные значения случайной величины Х: Х₁ = 0, Х₂ = 1, Х₃ = 2, Х₄ = 3. Вероятности этих значений вычисляются по формуле Р_n(Х=m) = ,

где n – число элементов множества,       s – число элементов множества, обладающих фиксированным свойством; r – число отобранных элементов;   m=  - число элементов с фиксированным свойством, оказавшихся в выборке. Такое распределение называют гипергеометрическим.

P₃(X=0) = .                    P₃(X=1) = .

P₃(X=2) = .                     P₃(X=3) = .

Проверка: Р=Р₃(Х=0)+Р₃(Х=1)+Р₃(Х=2)+Р₃(Х=3) =

Закон распределения случайной величины Х:

 

X	0	1	2	3
P

◄

 Замечание. Если  - случайная величина, то для любой функции  величина  тоже является случайной величиной. Эта величина принимает значения  с вероятностями , если функция  взаимно однозначна . Если же значения  совпадают для различных  с величиной , то   принимает общее значение  с вероятностью, равной сумме вероятностей  , отвечающих всем таким , для которых .

Пример. Дискретная случайная величина  имеет закон распределения

X	-2	-1	0	1	2
Р	0.1	0.2	0.3	0.3	0.1

 

Построить закон распределения случайной величины Y = X² + 1.

Величина Y принимает значение 1 только, когда  = 0, поэтому p₁ = P(Y=1) = 0.3. Значение 2 величина Y принимает , когда X = -1 и X = 1, поэтому p₂ = P(Y=2) = 0.2 + 0.3 = 0.5. Значение 5 величина Y принимает , когда X = -2 и X = 2, поэтому p₃ = P(Y=5) = 0.1 + 0.1 = 0.5. Следовательно, закон распределения случайной величины Y = X² + 1 имеет вид

Y	1	2	5
P	0.3	0.5	0.2

 

◄

■▬▬▬►

2. Совместные функции распределения нескольких величин. Рассмотрим сначала две дискретные случайные величины  и . Пусть случайная величина  принимает значения , а случайная величина  принимает значения . Одновременное наступление событий  и  будем обозначать . Обозначим

.

Соответствие, которое каждой паре значений  случайных величин  и  сопоставляет ее вероятность , называется совместным законом распределения случайных величин  и .

Совместный закон распределения величин  и  можно задавать таблицей

 

(X,Y)	(x1, y1)	…	(x1, ym)	(x2, y1)	…	(xn, y1)	…	(xn, ym)
P	p11	…	p1m	p21	…	pn1	…	pnm

 

Или в виде двумерной таблицы

 

Y \ X	x1	x2	…	xi	…	xn
Y1	p(x1, y1)	p(x2, y1)	…	p(xi, y1)	…	p(xn, y1)
Y2	p(x1, y2)	p(x2, y2)	…	p(xi, y2)	…	p(xn, y2)
…	…	…	…	…	…	…
yj	p(x1, yj)	p(x2, yj)	…	p(xi, yj)	…	p(xn, yj)
…	…	…	…	…	…	…
ym	p(x1, ym)	p(x2, ym)	…	p(xi, ym)	…	p(xn, ym)

 

 

Примеры. В ящике два шара, на каждом из которых написана цифра 1, и три шара, на каждом из которых написана цифра 2.

Один за другим вынимают два шара. Пусть  - это номер на первом шаре, а –  - номер на втором шаре. Найти совместный закон распределения величин

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: