Теорема сложения вероятностей. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Предмет теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей.

Наблюдаемые события можно разделить на 3 вида: достоверные, невозможные, случайные. Достоверное – которое обязательно произойдет, если будет осуществлена необходимая совокупность условий.

Невозможное – которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность некоторых условий.

Случайное – которое при осуществлении совокупности условий может произойти или не произойти.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появления других событий в одном и том же испытании (орел или решка).

Полная группа событий - это несколько событий, из которых в результате испытания непременно должно появиться хотя бы одно из них

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.

Вероятность – число, характеризующее степень возможности появления события. Каждый из возможных результатов испытания – элементарный исход. Элементарные исходы, где интересующее нас событие наступает – благоприятствующий исход этого события. Отношение числа благоприятных событию А элементарных исходов к их общему числу называется вероятностью события А, и обозначается Р(А).

Р(А) = m / n

Свойства вероятностей.

1)    Вероятность достоверного события равна 1 (Р(А) = m / n = n / m = 1).

2)    Вероятность невозможного события равна 0 (Р(А) = m / n = 0 / n = 0).

3)    Вероятность случайного события – это положительное число между 0 и 1 (0 < P(A) < 1).

4)Вероятность любого события 0 < P(A) < 1.

 

2. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.

Относительная частота – отношение числа испытаний, в которых событие появилось к числу произведенных испытаний. W(A) = m / n. Если опытным путем установить относительную частоту, то получившееся число можно принять за приближенное значение вероятности.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах, относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

 

3. Ограниченность классического определения вероятности. Статическая вероятность.

Классическое определение вероятности предполагает для точного определения проведение бесконечного числа испытаний. На практике количество испытаний ограничено. Это указывает на ограниченность классического определения. При конечном числе испытаний, вероятность события определяется с погрешностью.

Поэтому при определении вероятности события используют статическое определение.

В качестве статической вероятности принимают относительную частоту или число событий к общему числу испытаний.

Статистическая вероятность: численное значение вероятности, выведенное путем многократного повторения эксперимента. В качестве статической вероятности события принимают относительную частоту или число событий к общему числу испытаний.

 

Теорема сложения вероятностей. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Суммой двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А или события В или обоих событий.

Например: из оружия сделано 2 выстрела. А - вероятность попадания в цель при первом выстреле. В - во втором выстреле.

Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

 

 

Закон больших чисел.

Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел - это обобщенное название теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

К законам больших чисел относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли — простейшим. Для доказательства этих теорем мы воспользуемся неравенством Чебышева.

Теорема Чебышева. Если X₁, Х₂, ..., Х _n, — попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число е, вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Теорема Бернулли. Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если ε — сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

 

 

Доверительный интервал.

Доверительным называют интервал (Θ*–δ, Θ*+δ), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью γ.

Определение вероятности

Вероятность – число, характеризующее степень возможности появления события. Каждый из возможных результатов испытания – элементарный исход. Элементарные исходы, где интересующее нас событие наступает – благоприятствующий исход этого события. Отношение числа благоприятных событию А элементарных исходов к их общему числу называется вероятностью события А, и обозначается Р(А).

Р(А) = m / n

 

Формула полной вероятности

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из совместных событий P(A), P(B) … P(n), которые образуют полную группу

b₁, … , b_i, … ,b_n

Пусть известны вероятности этих событий и все условные вероятности b₁, b₂, … , b_n

Найти вероятность события A.

Вероятность события A, которое может наступить только лишь с появлением одного из событий b равна сумма произведения b_i на условную вероятность.

Имеются 2 набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная 0,8, из второго 0,9.

Вероятность того, что случайно взятая деталь стандартная равна:

Выбранная деталь стандартная = A

P(B₁)=0,5 P(B₂)=0,5

P(A)=P(B₁)*P(A/B₁)+P(B₂)*P(A/B₂)=0,4+0,45=0,85

 

Формула Бейеса.

 

Вероятность гипотез. Формула Бейеса

Пусть событие A может наступить при появлении одного из несовместных событий B1 … Bn, которые образуют полную группу

Вероятность появления события A определяется формулой полной вероятности

Вычислить полную вероятность появления события Bi, при условии, что произошло событие A.

P(A,Bi)=P(A) P(Bi)=P(Bi) P(A/Bi)=P(A) P(Bi/A)

Формула Бейеса позволяет определить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания в итоге которого появляется событие A.

 

Формула Бернулли

Теорема Бернули

Рассмотрим независимое испытание, которое проводится n раз, в которых событие A происходит с вероятностью P.

Каждое независимое испытание – простое событие.

Пусть в n независимых простых испытаниях появляется событие A с вероятностью P. Тогда вероятность не наступления события A = 1 – P.

Тогда вероятность того, что в n испытаниях событие A осуществится k раз и не осуществится n – k раз P_n(k).

P₅(3) – вероятность того, что в 5 испытаниях событие A появится 3 раза и не наступит 2 раза.

P_n(k) – вероятность сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие A наступит k раз и не наступит n – k раз.

Такая вероятность по теории умножения вероятностей независимых событий определяется по выражению:

P^k*q^(n-k)=P^k(1-P)^(n-k)

P – вероятность появления

q – вероятность не появления

Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элемент.

0! = 1

Так как сложные испытания несовместимы, то по теореме сложения вероятностей несовместимых событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий.

Формула определяет вероятность появления события A k раз в n испытаниях (формула Бернули).

Предмет теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей.

Наблюдаемые события можно разделить на 3 вида: достоверные, невозможные, случайные. Достоверное – которое обязательно произойдет, если будет осуществлена необходимая совокупность условий.

Невозможное – которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность некоторых условий.

Случайное – которое при осуществлении совокупности условий может произойти или не произойти.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появления других событий в одном и том же испытании (орел или решка).

Полная группа событий - это несколько событий, из которых в результате испытания непременно должно появиться хотя бы одно из них

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.

Вероятность – число, характеризующее степень возможности появления события. Каждый из возможных результатов испытания – элементарный исход. Элементарные исходы, где интересующее нас событие наступает – благоприятствующий исход этого события. Отношение числа благоприятных событию А элементарных исходов к их общему числу называется вероятностью события А, и обозначается Р(А).

Р(А) = m / n

Свойства вероятностей.

1)    Вероятность достоверного события равна 1 (Р(А) = m / n = n / m = 1).

2)    Вероятность невозможного события равна 0 (Р(А) = m / n = 0 / n = 0).

3)    Вероятность случайного события – это положительное число между 0 и 1 (0 < P(A) < 1).

4)Вероятность любого события 0 < P(A) < 1.

 

2. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.

Относительная частота – отношение числа испытаний, в которых событие появилось к числу произведенных испытаний. W(A) = m / n. Если опытным путем установить относительную частоту, то получившееся число можно принять за приближенное значение вероятности.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах, относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

 

3. Ограниченность классического определения вероятности. Статическая вероятность.

Классическое определение вероятности предполагает для точного определения проведение бесконечного числа испытаний. На практике количество испытаний ограничено. Это указывает на ограниченность классического определения. При конечном числе испытаний, вероятность события определяется с погрешностью.

Поэтому при определении вероятности события используют статическое определение.

В качестве статической вероятности принимают относительную частоту или число событий к общему числу испытаний.

Статистическая вероятность: численное значение вероятности, выведенное путем многократного повторения эксперимента. В качестве статической вероятности события принимают относительную частоту или число событий к общему числу испытаний.

 

Теорема сложения вероятностей. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Суммой двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А или события В или обоих событий.

Например: из оружия сделано 2 выстрела. А - вероятность попадания в цель при первом выстреле. В - во втором выстреле.

Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

 

 

1234Следующая ⇒

Поделиться: