Среднеквадратическое отклонение. Начальные и центральные теоретические моменты.

Среднеквадратическое отклонение - это квадратный корень из дисперсии.

 

Рассмотрим дискретную случайную величину X, заданную законом распределения:

Найдем математическое ожидание X:

Напишем закон распределения X²:

Найдем математическое ожидание X²:

Видим, что М(X²) значительно больше М(X). Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины X², соответствующее значению х = 100 величины X, стало равным 10 000, т. е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала (0,01).

Таким образом, переход от М (X) к М (Х²) позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Разумеется, если бы величина X имела несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине X², а тем более к величинам X³, X⁴ и т. д., позволил бы еще больше «усилить роль» этих больших, но маловероятных возможных значений. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (не только дискретной, но и непрерывной).

Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины X^k:

В частности,

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии D(X) = M(X²) - [М (Х)]² можно записать так:

Кроме моментов случайной величины X целесообразно рассматривать моменты отклонениях X - М (X).

Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины  (Х - М (Х))^k:

В частности,

Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты. Например, сравнивая (*) и (***), получим

Нетрудно, исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получить формулы:

Моменты более высоких порядков применяются редко.

 

Закон больших чисел.

Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел - это обобщенное название теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

К законам больших чисел относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли — простейшим. Для доказательства этих теорем мы воспользуемся неравенством Чебышева.

Теорема Чебышева. Если X₁, Х₂, ..., Х _n, — попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число е, вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Теорема Бернулли. Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если ε — сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

 

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: