Определение реакций в опорах вращающегося тела

 

Определим реакции в опоре вращающегося тела методом кинетостатики. Он заключается в решении задачи динамики средствами (уравнениями) статики. Для каждой точки механической системы справедливо основное уравнение динамики:

 

 (4.1)

 

Здесь  и  – масса и ускорение некоторой точки системы;  – сумма всех активных сил и реакций связей, приложенных к ней.

Основному уравнению динамики (4.1) можно придать вид уравнения статики:

 

 (4.2)

 

Здесь  – сила инерции точки механической системы.

 

Рисунок 4.1. Определение реакций в опорах вращающегося тела

Для заданной механической системы уравнение статики (4.2) имеет вид:

 

 (4.3)

 

Для определения реакции шарнира нам необходимо и достаточно взять за координатные оси – неподвижные оси  и , и определить составляющие реакции шарнира на эти оси:

 

 (4.4)

 

Отсюда:

 

 

Подставив значения сил, получим:

 

 (4.5)

 

Теперь спроецируем (4.2) на неподвижную ось :

 

 (4.6)

 

Отсюда:

 

 

Подставив известные значения сил, получим:

 (4.7)

 

Полную реакцию в шарнире  можно найти по формуле: , где  и  определяются выражениями (4.5) и (4.7); график её зависимости от времени приведён в приложении к курсовой работе (рис. 4).

 

 

Исследование движения механической системы с двумя степенями свободы с помощью уравнений Лагранжа II рода

Составление уравнений движения системы методом Лагранжа

 

Уравнения второго рода являются одним из наиболее удобных приёмов составления уравнений движения механических систем. Они имеют следующий вид:

 

 (5.1.1)

 

Здесь  – кинетическая энергия системы; , , , – обобщённые координаты, скорости и силы соответственно;  – число степеней свободы.

Уравнения (5.1.1) образуют систему  уравнений второго порядка относительно  функций , а порядок данной системы равен . Форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщённых координат . В связи с этим говорят, что уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством инвариантности.

Как видно из (5.1.1), для получения уравнений Лагранжа необходимо найти соответствующие производные от кинетической энергии системы и определить обобщённые силы.

Определим кинетическую энергию системы. Она будет складываться из кинетических энергий треугольника и шарика: .

 

 

Подставив значение  из (3.1.5), получим:

 (5.1.2)

 

Кинетическая энергия шарика определяется его массой и относительной и переносной скоростями:

 

 

С учётом известных значений скоростей, получим:

 

 (5.1.3)

 

Кинетическая энергия системы равна:

 

 (5.1.4)

 

Найдём производные от кинетической энергии согласно (5.1.1):

 

 (5.1.5)          (5.1.6)

           (5.1.7)                     (5.1.8)

Рисунок 5.1.1. Определение кинетической и потенциальной энергий системы

 

Теперь, исходя из (5.1.1), нужно определить обобщённые силы. Данная механическая система является консервативной, мы можем определить обобщённые силы через потенциальную энергию по формуле:

 

 (5.1.9)

 

Найдём потенциальную энергию. Она будет складываться из работ консервативных сил по перемещению тела из нулевого положения: . За нулевой уровень потенциальной энергии выберем начальный момент времени, при :

 – энергия положения шарика;

 – энергия положения прямоугольника;

 – потенциальная энергия силы упругости;

Потенциальная энергия системы равна:

 (5.1.10)

 

Найдём обобщённые силы:

 

 (5.1.11)

 (5.1.12)

 

Теперь можем записать систему уравнений Лагранжа II рода:

 

 (5.1.13)

 (5.1.14)

 

Получение дифференциального уравнение относительного движения материальной точки

(5.1.13) и (5.1.14) – это система уравнений Лагранжа II рода; первое из них представляет собой дифференциальное уравнение относительного движения. При сравнении (5.1.13) с уравнением относительного движения (2.7) видно, что уравнения тождественны:

 

 (2.7)

 (5.1.13)

 

Определение закона изменения внешнего момента, обеспечивающего постоянство угловой скорости

 

(5.1.14) – это уравнение уравнения движения твердого тела без ограничения на закон изменения угловой скорости вращения. Определим величину внешнего момента, обеспечивающего равномерное вращение:

 

 (5.1.14)

     

 

При действии внешнего момента, обеспечивающего равномерное вращение, уравнение (5.1.14) примет вид:

 

 (5.3.1)

 

Отсюда:

 

 (5.2.2)

 

Сравним с полученным ранее значением:

 

 (3.2.2)

 

Итак, два разных способа определения внешнего момента дали один результат.

⇐ Предыдущая12

Поделиться: