Дифференциальное исчисление в экономике

 

Исследование функций

 

Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.

По теореме Ферма, если точка является экстремумом функции, то производная в ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно определить по одному из достаточных условий экстремума:

1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀. Если производная f '(x) при переходе через точку x₀ меняет знак с + на -, то x₀ - точка максимума, если с - на +, то x₀ - точка минимума, если не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.

2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀, причем f '(x₀) = 0, f ''(x₀) ≠ 0, то в точке x₀ функция f(x₀) имеет максимум, если f ''(x₀) < 0 и минимум, если f ''(x₀) > 0.

Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на этом интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной).

 

Пример: выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью:

π (q) = R(q) - C(q) = q² - 8q + 10

Решение:

π '(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 → q_extr = 4

При q < q_extr = 4 → π '(q) < 0 и прибыль убывает

При q > q_extr = 4 → π '(q) > 0 и прибыль возрастает

При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.

Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.

 

Эластичность спроса

Эластичностью функции f(x) в точке x₀ называют предел

Спрос - это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая эластичность спроса E_D - это величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены. Если │ E_D│ > 1, то спрос называется эластичным, если │ E_D│ < 1, то неэластичным. В случае E_D=0 спрос называется совершенно неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию.

 

Предельный анализ

 

Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике - методы предельного анализа, т. е. совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т. п. на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции - это ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных)

В экономике часто используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т. д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т. е. найти предельный эффект. Следовательно, для их решения необходимо применение методов дифференциального исчисление.

 

Производная в приближенных вычислениях

 

Интерполяция

 

Интерполяцией называется приближенное вычисление значений функции по нескольким данным ее значениям. Интерполяция широко используется в картографии, геологии, экономике и других науках. Самым простым вариантом интерполяции является форма Лагранжа, но когда узловых точек много и интервалы между ними велики, либо требуется получить функцию, кривизна которой минимальна то прибегают к сплайн-интерполяции, дающей бó льшую точность.

 

Пусть K_n - система узловых точек a = x₀ < x₁ < …< x_n  = b. Функция S_k(x) называется сплайн-функцией S_k(x) степени k≥ 0 на K_n, если

а) S_k(x) є C^k-1([a, b])

б) S_k(x) - многочлен степени не большей k

 

Сплайн-функция Ŝ _k(x) є S_k(K_n) называется интерполирующей сплайн-функцией, если Ŝ _k(x_j) = f(x_j) для j = 0, 1, …, n

 

В приложениях часто бывает достаточно выбрать k=3 и применить т. н. кубическую интерполяцию.

Т. к. s(x) на каждом частичном интервале есть многочлен третьей степени, то для x є [x_j-1, x_j]

Здесь s²_j, c_j1, c_j0 неизвестны для j = 1, 2, …, n

Последние исключаются в силу требования s(x_j) = y_j: Дифференцируя эту функцию и учитывая, что s'(x) на всем интервале и, следовательно, в частности, в узлах должна быть непрерывна, окончательно получаем систему уравнений:

относительно n+1 неизвестных s²₀, s²₁, …, s²_n. Для однозначного их определения в зависимости от задачи добавляются еще два уравнения:

 

Нормальный случай( N):

 

Периодический случай( P) (т. е. f( x+( x_n- x₀))= f( x)):

 

Заданное сглаживание на границах:

 

Пример: сплайн-интерполяция функции f(x)=sin x, n=4.

Функция периодическая, поэтому используем случай P.

j	xj	yj	hj	yj-yj-1
0	0	0	π /2	1
1	π /2	1	π /2	-1
2	π	0	π /2	-1
3	3π /2	-1	π /2	1
4	2π	0

 

 

Сплайн-функция получается такая:

 

 

Формула Тейлора

 

Разложение функций в бесконечные ряды позволяет получить значение функции в данной точке с любой точностью. Этот прием широко используется в программировании и других дисциплинах

 

Говорят, что функция разлагается на данном промежутке в степенной ряд, если существует такой степенной ряд a₀ + a₁(x - a) + a₂(x - a)² + … + a_n(x - a)ⁿ + …, который на этом промежутке сходится к данной функции. Можно доказать, что это разложение единственно:

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке a. Степенной ряд вида

называется рядом Тейлора для функции f(x), записанным по степеням разности (x - a). Вообще, чтобы ряд Тейлора сходился к f(x) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ряда стремился к 0. При a = 0 ряд Тейлора обычно называют рядом Маклорена.

 

С помощью ряда Маклорена можно получить простые разложения элементарных функций:

 

Приближенные вычисления

 

Часто бывает, что функцию f(x) и ее производную легко вычислить при x = a, а для значений x, близких к a, непосредственное вычисление функции затруднительно. Тогда пользуются приближенной формулой, полученной с помощью формулы Тейлора:

 

Пример: Извлечь квадратный корень из 3654

Решение: , x₀=3654. Легко вычисляются значения f(x) и  при x = 3600. Формула при a = 3600, b=54 дает:

С помощью этой формулы можно получить несколько удобных формул для приближенных вычислений:

 

⇐ Предыдущая12

Поделиться: