ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОМД И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Введение

Специалист по ОМД (технолог, конструктор, инженер-исследователь) в практической деятельности решает задачи, которые в основном можно свести к трем перечисленным ниже направлениям [1, 6].

1. Расчет напряжений и энергосиловых параметров (расчет напряжений на поверхности инструмента и внутри заготовки; расчет силы, которую должна развить технологическая машина для обработки заготовки; расчет работы, которую необходимо затратить для  обработки заготовки).

2. Расчет формоизменения (расчет деформаций и перемещений частиц металла, определение размеров и формы исходной заготовки; расчет количества технологических операций, определение формы и размеров заготовки по операциям; расчет изменения формы заготовки, особенно там, где течение металла не ограничено инструментом).

3. Анализ опасности разрушения металла при деформировании (необходимо создать такие условия, чтобы при формоизменении металла не образовывались наружные или внутренние трещины).

Для решения указанных задач необходимо вычислить напряжения , скорости деформации , скорости перемещения  ( ; ) и температуру . Причем расчет необходимо выполнить для отдельных частиц (или конечных элементов) деформируемого тела с координатами x, y, z в отдельные моменты времени .  

Для вычисления указанных выше параметров используют полную систему уравнений теории пластичности и теории ОМД, включающую дифференциальные уравнения равновесия, кинематические уравнения, условие несжимаемости, физические уравнения связи напряженного и деформированного состояния металла, дифференциальное уравнение теплопроводности. Решение этой системы является сложной задачей, которую можно реализовать с помощью компьютерных программы, основанных на использовании численных методов

 математики. Применения программ и численных методов требуют и другие

технологические и научные расчеты в ОМД.

В предлагаемом учебном пособии в сжатом виде приводятся основные сведения о численных методах решения различных прикладных задач ОМД. Изложение выполнено на доступном для студентов технических вузов уровне. Для ряда рассматриваемых методов приводятся блок-схемы и алгоритмы, а также примеры решения, способствующие лучшему пониманию материала. Пособие написано с учетом особенностей применения численных методов при разработке компьютерных программ. Приведено решение конкретных задач ОМД в виде программ, разработанных в среде программирования VBA (Visual Basic for Applications).

 Пособие содержит семь глав. В главе 1 приведены основные уравнения теории ОМД, этапы решения задач ОМД на компьютере, особенности численного решения математических задач. В главе 2 изложены численные методы решения нелинейных уравнений и их систем. С использованием этих методов разработана программа для расчета главных напряжений и направляющих косинусов для главных площадок в точке деформируемого тела.

  Глава 3 содержит сведения по численному решению систем линейных алгебраических уравнений. В главе 4 рассмотрены методы интерполяции. Приведена программа, в которой интерполяция используется для расчета пружинения валков ковочных вальцов.

В главе 5 изложено получение эмпирических (аппроксимирующих) формул. Приведена программа для расчета коэффициентов в линейной формуле и формуле квадратного трехчлена. Определены коэффициенты в формулах для расчета пружинения валков ковочных вальцов.

 Вопросы численного интегрирования изложены в главе 6. Разработана программа для расчета в процессах ОМД формоизменения металла и энергосиловых параметров с использованием энергетического метода и метода минимума полной мощности.

Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений приведены в главе 7. С использованием этих методов разработана программа для расчета контактных напряжений при штамповке низких поковок.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОМД И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Численные методы

С использованием математического моделирования решение задачи ОМД сводится к решению математической задачи, которая является ее моделью. Для решения математических задач используются следующие основные группы методов: 1) графические, 2) аналитические, 3) численные [7, 13].

1. Графические методы в ряде случаев позволяют приближенно определить искомую величину. Решение находится путем геометрических построений. Например, для нахождения корней уравнения  строится график функции , точки пересечения которого с осью абсцисс и будут искомыми корнями. Например, при   на заданном отрезке  получим два корня  и  (рис. 1.1).

2. Аналитические методы. При их использовании решение задачи удается выразить с помощью формул. Аналитически решаются простейшие

Рис. 1.1. Графическое определение корней уравнения на заданном отрезке

 

алгебраические или трансцендентные уравнения, вычисляются стандартные интегралы,  решаются   простые дифференциальные   уравнения и т.п. В  этом   случае используются известные из математики приемы и формулы. Например, при решении квадратного уравнения сначала вычисляют дискриминант , а затем определяют корни  и :

, .                (1.8)

Имея конкретные числовые значения коэффициентов ,  и  по приведенным формулам находят значения корней.

На практике свести решение задачи только к использованию аналитических методов удается редко.

3. Численные методы. Это основной инструмент для решения сложных математических задач. Они позволяют свести решение задачи к выполнению конечного числа простых арифметических и логических действий над числами. Результаты получают в виде числовых значений. Например, при решении сложного нелинейного уравнения

                                 (1.9)

формул вида (1.8) для аналитического вычисления корней нет. Для численного решения задают точность  и отрезок , на котором имеется, по крайней мер, один корень. Затем выполняют по определенным правилам многократно повторяющиеся арифметические и логические действия (итерации) и получают

числовое значение корня с заданной точностью. На отрезке корень

уравнения (1.9) равен 2, 1665 с точность 0, 001.

Многие численные методы разработаны давно. Однако при вычислении вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоемких задач. С появлением ЭВМ началось бурное внедрение численных методов в практику.

Численный метод должен обладать двумя свойствами [18]: 1) необходимо получать результат за приемлемое время (приемлемое количество операций); 2) он не должен вносить в вычислительный процесс значительных погрешностей.

Нелинейные уравнения

Вводные замечания

 

Выражение для нелинейного уравнения имеет следующий вид:

,                                        (2.1)

где  - некоторая непрерывная функция. Нелинейные уравнения делятся на алгебраические и трансцендентные.

Алгебраические уравнения  содержат только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). Общий вид алгебраического уравнения n-ой степени относительно неизвестного х:

.                 (2.2)

Трансцендентные уравнения содержат тригонометрическую, показательную, логарифмическую и другие функции. Примером такого уравнения является выражение (1.9).

Аналитически можно решить только простейшие нелинейные уравнения. Эти методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Решение получается сразу путем однократного использования формул или после некоторых преобразований. Пример – решение квадратного уравнения по формулам (1.8).

Сложные нелинейные уравнения решают численно. Для этого используют итерационные методы  (методы последовательных приближений) [19]. Итерационные численные методы состоят из 2-х этапов: 1) отыскание приближенного (грубого) значения корня или содержащего его отрезка; 2) уточнение приближенного значения до некоторой заданной степени точности.

Начальное приближение может быть найдено из физической постановки решаемой задачи. Если  найти не удается, то построением графика функции , входящей в уравнение, определяют две близко расположенные точки и , в которых  принимает значения разных знаков, т.е. . В этом случае между точками a и b есть, по крайней мере, одна точка, в которой . Здесь  х^* - корень уравнения. В начале выполнения итераций в качестве начального приближения  можно принять середину отрезка , т.е. .

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения . Каждый шаг уточнения называют итерацией. В результате итераций находят последовательность приближенных значений корня . Если эти значения с ростом n приближаются к истинному значению корня х^*, то говорят, что итерационный процесс сходится.

Метод половинного деления

Метод позволяет решать трансцендентные, а также алгебраические уравнения [8]. Это один из простейших численных методов. На первом этапе необходимо найти отрезок , на котором расположено искомый корень  х = х^*, т.е. . При этом используют условие, что . Если уравнение имеет несколько корней, то последовательно задается несколько отрезков и на каждом определяется свой корень.

В качестве начального приближения корня принимают середину отрезка , т.е. . Далее определяют значение функции в точках a,  и  b, т.е. на концах отрезков  и . Тот из них, на концах которого  имеет разные знаки, содержит искомый корень. Поэтому его принимают в качестве нового отрезка. Вторую половину отрезка , на которой знак не меняется, отбрасывают. В качестве первой итерации корня принимаем середину нового отрезка и т.д. Таким образом, после каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое. Таким образом, после n итераций он сокращается в  раз.

Пусть для определенности < 0, > 0 (рис. 2.1). Находим начальное приближение корня . Так как < 0, то  и рассматриваем  только . На следующем приближении . Теперь отбрасываем отрезок , так как > 0 и > 0, т.е.  x₀ < x ^* < x₁. Аналогично находим другие приближения:  т.д.

Рис. 2.1. Графическая иллюстрация метода половинного деления

 

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значение функции

после n -ой итерации не станет меньшим по модулю некоторого малого заданного числа e , т.е. .

 

2.1.3. Блок-схема метода половинного деления и числовой пример

Сужение отрезка производится путем замены границ а или b на текущее значение корня х. При этом значение вычисляется лишь один раз, так как

нам нужен только знак функции на левой границе, а он в процессе итераций не меняется.

Метод половинного деления отрезка пополам довольно медленный, т.е.

для вычисления корня  с заданной точностью e может потребоваться большое количество итераций. Однако метод всегда сходится, т.е. при его использовании решение получается всегда. На рис. 2.2 представлена блок-схема метода половинного деления.

 

         

Рис. 2.2. Блок-схема метода половинного деления

 

Рассмотрим пример вычисления методом половинного деления одного корня уравнения  с заданной точностью e = 0, 005.

 Для определения отрезка , на котором имеется хотя бы один корень,                                                                              

выполним табулирование функции . Результаты табулирования представлены в табл. 2.1.

Можно принять что, а = 0, 9 и b = 1, 2, так как f (0, 9) × f (1, 2) < 0. Для

 

Таблица 2.1

Результаты табулирования функции f ( x )

х	0	0, 3	0, 6	0, 9	1, 2
f(x)	1, 0	1, 074	1, 130	0, 816	-0, 062

 

уменьшения отрезка и, следовательно, числа итераций уточним значение а. Из табл. 2.1 видно, что корень х^* лежит ближе к b, чем к  а ( f (b) ближе к 0).

Примем  значение а = 1, 1; f (1, 1) = 0, 29. Окончательно принимаем: а = 1, 1; b = 1, 2;  f (1, 1) × f (1, 2) < 0. Следовательно, искомый корень находится на заданном отрезке, т.е. .

Последовательно имеем (n – номер итерации):

1) f (x) = f [(a+b)/2] = f (1, 15) = 0, 119;                         n = 1;

2) f [(1, 15+1, 2)/2] = f (1, 175) = 0, 030;                         n = 2;

3) f [(1, 175+1, 2)/2] = f (1, 1875) = -0, 016;                    n = 3;

4) f [(1, 175+1, 1875)/2] = f (1, 18125) = 0, 007;              n = 4;

5) f [(1, 1875+1, 18125)/2] = f (1, 184375)=- 0, 004;        n = 5;

½ f (x)½ < 0, 005; (e = 0, 005).

Корень х = х^* = 1, 184375.

 

Метод хорд

Пусть найден отрезок , на котором функция f (x) меняет знак. Для определенности примем f (a) > 0, f (b) < 0 (рис. 2.3). В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения f (x) =0 принимаются значения х₀, х₁, х₂, … точек пересечения хорды с осью абсцисс [7].

Для вывода расчетных формул запишем уравнение хорды АВ (уравнение прямой линии, проходящей через две заданные точки):

.

Для точки пересечения АВ с осью абсцисс (х = х₀; у = 0) получим:

Рис. 2.3. Графическая иллюстрация к методу хорд

 

;          ;

                                         .                               (2.3)

На первом этапе вычисления определяем х₀ по формуле (2.3). Затем определяем f (х₀). Так как  f (a) × f (x₀) < 0, то искомый корень находится на  (см. рис. 2.3). Отрезок отбрасываем. Следующая итерация состоит в определении нового приближенного значения х₁ как точки пересечения хорды АВ₀ с осью абсцисс и т.д. Для определения х₁ в формулу (2.3) подставим b = х₀ и       f (b) = f (х₀). Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значение      f (х_n) не станет по модулю меньше заданного числа e, т.е. .

Блок-схема метода хорд аналогична методу половинного деления. Разница в том, что вместо вычисления приближения корня по формуле x = (a+b)/2 нужно использовать формулу (2.3). Необходимо также ввести операторы вычисления f (x) на границах новых отрезков.

Алгоритм метода хорд часто дает более быструю сходимость

итерационного процесса по сравнению с методом половинного деления. При этом процесс итераций также всегда сходится (к решению с заданной точностью).

Рассмотрим пример вычисления методом хорд одного корня уравнения

 с заданной точностью e = 0, 005. Этот пример уже был решен методом половинного деления в п. 2.1.3. Возьмем такой же исходный отрезок , т.е. a = 1, 1; b = 1, 2; f (1, 1) = 0, 289; f (1, 2) = -0, 062. Вычислим  по формуле (2.3):

.

Значение  f (1, 182) = 0, 004. Следовательно, условие   ½ f(x)½ < e  выполняется. Корень уравнения х^* = х₀ = 1, 182. Решение найдено за одну итерацию (n =1). Методом половинного деления решение найдено за 5 итераций.

Если погрешность e  взять меньше (e = 0, 001), то потребуется вторая итерация:  

a = x₀ = 1, 182  (так как f (1, 182) × f (1, 2) < 0);

; f (1, 18309) = 0, 0004.

Более точный корень уравнения х^* = х₁ = 1, 18309.

Метод хорд в этом случае (и чаще всего) оказался эффективнее метода половинного деления.

 

Метод простой итерации

 

Исходное уравнение  преобразуют к виду [8]:

.                                                  (2.4)

Задают начальное приближение корня . Подставляя это значение в правую часть (2.4) получаем новое приближение:   

.

Далее подставляем каждый раз новое значение корня в (2.4) получаем последовательность значений:

.                                   (2.5)

Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки:

                                       (2.6)

Здесь  - заданная точность. Обычно  = 10^-6…10^-2.

Сходимость метода простой итерации зависит от выбора начального приближения  и преобразования исходного уравнения  к виду (2.4).

Блок-схема метода простой итерации приведена на рис. 2.4. В блок-схеме приведены следующие обозначения:  - начальное приближение корня, а в дальнейшем результат предыдущей итерации; - значение корня после каждой итерации. В данной схеме предполагается, что итерационный процесс сходится. Если такой уверенности нет, то необходимо ввести счетчик итераций и ограничение по их максимальному числу.  

Рис. 2.4. Блок-схема метода простых итераций

 

В качестве примера решим уравнение . Заданная

точность . Выполняем преобразование исходного уравнения  к виду (2.4): .

Пусть начальное приближение  =1, 2.  Его можно определить, например, графически. Последовательность итераций имеет следующий вид:

 

Искомый корень .

 

Системы уравнений

Метод простой итерации

Решаем два нелинейных уравнения с двумя неизвестными [13]:

                                                    (2.7)

Действительные корни необходимо найти с заданной точностью . Систему (2.7) преобразуем к виду:

                                                  (2.8)

Графически или другой прикидкой определяем начальные приближения корней . Итерационный процесс (последовательные приближения) выполняют по формулам:

                               (2.9)

Если итерационный процесс (2.9) сходится, то при некотором числе

итераций n, выполняются условия:

,                                        (2.10)

При выполнении условий (2.10) вычисления прекращают. Искомые корни .

При создании компьютерной программы необходимо предусмотреть ограничение числа итераций, так как вычислительный процесс может расходиться.

Для примера решим систему уравнений

                               (2.11)

Необходимо определить положительные корни с точностью . Поэтому вычисления выполняем с 3-мя цифрами после запятой.

Начальные приближения определяем графически. Для этого из первого и второго уравнения выражаем :

,                                     (2.12)

                                      (2.13)     

Задаем с равным шагом и выполняем вычисления по формулам (2.12) и (2.13). Результаты заносим в табл. 2.2. По таблице строим два графика (рис. 2.5). Точка пересечения графиков дает приближенные начальные значения  Все эти расчеты и построения выполняем с использованием приложения Excel.

Таблица 2.2

Результаты расчетов по формулам (2.12) и (2.13)

x	у по формуле (3.9)	у по формуле (3.10)
0, 9	-2, 09	0, 87
1, 3	-1, 63	1, 28
1, 7	-1, 01	1, 55
2, 1	-0, 32	1, 75
2, 5	0, 40	1, 92
2, 9	1, 14	2, 07
3, 3	1, 90	2, 20

Рис. 2.5. Графики, построенные по формулам (2.12) и (2.13)

 

Теперь из исходной системы (2.11) получим формулы вида (2.8):

                              (2.14)

Запишем формулы (2.14) в виде, удобном для построения итерационного процесса:

                   (2.15)

Здесь n – номер итерации. Вычисления по формулам (2.15) приведены в табл. 2.3. Корни найдены на шестой итерации ( ), так как выполняются условия (2.10).

Отметим, что вместо рассмотренного метода последовательных приближений (2.9), иногда удобнее пользоваться методом Зейделя:

Метод Зейделя для системы из 3-х уравнений:

 

Таблица 2.3

Значения последовательных приближений

n
0	3, 5	2, 2
1	3, 479	2, 259
2	3, 481	2, 260
3	3, 484	2, 261
4	3, 486	2, 261
5	3, 487	2, 262
6	3, 487	2, 262

 

Метод Ньютона

 

Обладает гораздо более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации. Рассмотрим применение метода для решения системы 2-х нелинейных уравнений [18]:

                                                     (2.16)

В основе метода Ньютона для системы уравнений (2.16) служит разложение функций  и  в ряд Тейлора, причем члены ряда, содержащие вторые производные и производные более высоких порядков, отбрасывают.

Пусть приближенные значения неизвестных системы (2.16) равны соответственно  и . Их определили из начального приближения или они получены на предыдущей итерации. Обозначим приращение (или поправки) к этим значениям и . Через , и  решение системы (2.16) запишется в виде:

              .                          (2.17)

Проведем разложение левых частей уравнений (2.16) с учетом (2.17) в ряд Тейлора, ограничиваясь лишь линейными членами относительно приращений (или производными первого порядка):

                             (2.18)

Поскольку в соответствии с (2.16) левые части этих выражений равны 0, то приравниваем 0 и левые части. Получим следующую систему линейных уравнений относительно приращений   

                                    (2.19)

Здесь значения  и их производные вычисляют при х = а; у = b.

Неизвестные   вычисляют по правилу Крамера:

.                                      (2.20)

Здесь  – определители системы (2.19):

,         .       (2.21)

Для существования единственного решения системы (2.19) на каждой итерации должно выполняться условие J ≠ 0.

После определения  и по формуле (2.20)  и  определяют по формуле (2.17). Напомним, что здесь а и b - значения неизвестных на предыдущей итерации, а x и y – значения неизвестных на рассматриваемой итерации.

Таким образом, итерационный процесс решения системы (2.16) методом

Ньютона состоит в определении приращений  и к значениям неизвестных на каждой итерации. Вычисления прекращаются, если все вычисления становятся малыми по абсолютной величине:

, ,                                     (2.22)

где  - заданная точность.

Метод Ньютона применим для решения системы из n уравнений (n = 2, 3, 4, …). Следует учитывать, что сходимость итерационного процесса ухудшается с увеличением n. Для обеспечения хорошей сходимости важен выбор первого приближения.

2.2.3. Блок-схема метода Ньютона и пример для системы двух уравнений

 

Блок схема алгоритма метода Ньютона приведена на рис. 2.6.  В блоке 2 осуществляется ввод исходных данных: а, b - начальные приближения неизвестных; - погрешность вычислений; - максимально допустимое число итераций. В блоке 6 «да» будет в том случае, если выполнятся оба условия. В блоке 5 а, b - значения неизвестных на предыдущей итерации; x, y - значения на рассматриваемой итерации.

В качестве примера решим систему нелинейных уравнений:

                                               (2.23)

Определим положительные корни с погрешностью . Начальные приближения найдем графической прикидкой. Для этого из первого уравнения системы (2.23) выразим х:

                                       (2.24)

Из второго уравнения системы (2.23) также выразим х:

.                                           (2.25)

Задаем последовательно  и определяем значения х по формулам (2.24) и (2.25). По полученным точкам строим соответственно

Рис. 2.6. Блок схема алгоритма метода Ньютона

 

кривые f₁ и f₂  (рис. 2.7).

Координаты точки пересечения кривых f ₁ и f ₂ являются начальными приближениями, т.е. а = 0, 9; b = 0, 5 (рис. 2.7). Отметим, что при построении графиков в приложении Excel переменная у в рассматриваемом примере автоматически отложится на горизонтальной оси, так как у задавали, а х вычисляли.

Получим формулы для  по исходной системе уравнений (2.23):

Рис. 2.7. Графическое определение начальных приближений а и b

 

                      (2.26)

= (2.27)

(2.28)

Итерация i = 1: a = 0, 9; b = 0, 5; вычисляем  J, D _х, D _у  по (2.26), (2.27), (2.28) при x = a, y = b;

J = -4, 23; D _х = 0, 289; D _у = - 0, 2664;

Итерация i = 2: в (2.26), (2.27), (2.28) подставляем a = x = 0, 8317;            b = y = 0, 5630;

J = -3, 9998; D _х = 0, 0225; D _у = -0, 0025;

х = 0, 8317 - 0, 00562 = 0, 8261;

у = 0, 5630 + 0, 00063 = 0, 5636;

.

Итерация i = 3:  a = x = 0, 8261;   b = y = 0, 5636;

J = -3, 9537; D _х = 0, 0001; D _у = -0, 0001;

х = 0, 8261 - 0, 00003 = 0, 8260;

у = 0, 5636 + 0, 00002 = 0, 5636;

Вычисления окончены. Корни системы (2.23) с заданной точностью найдены.

 

И направляющих косинусов

Заданы компоненты тензора напряжений (МПа):  = 7, = 8, = -9, = 12, = -12, = 3. Необходимо рассчитать главные напряжения

, ,  и направляющие косинусы , ,  для главных осей тензора.

Сначала рассчитаем инварианты  по формулам (2.31) … (2.33), сформируем кубическое уравнение (2.30) и в результате его решения получим значения главных напряжений , , . Каждый корень уравнения (2.30) будем определять численно методом хорд.

123Следующая ⇒

Поделиться: