ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 12

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Теория(кратко)

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА 1. 2

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ... 2

ГЛАВА 2. 12

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 12

ГЛАВА 1

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. Определители

Пусть заданы числа . О пределителем второго порядка называется число , записанное в виде квадратной таблицы, состоящей из двух строк и двух столбцов

Числа при этом называются элементами определителя, двойной индекс указывает на номер строки и номер столбца , в которых расположен элемент.

Определителем третьего порядка называется число , записанное в виде таблицы чисел, состоящей из трех строк и трех столбцов.

Определители третьего порядка можно вычислять несколькими способами. Рассмотрим один из них: метод разложения по элементам какой-либо строки или столбца. Этот способ сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению трех определителей второго порядка.

Минором элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из исходного «вычеркиванием» той строки и того столбца, в которых расположен заданный элемент. Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на .

Знак, который присваивается минору соответствующего элемента определителя, можно найти с помощью «шахматной» схемы знаков.

Правило разложения определителя по элементам какой-либо строки или столбца заключается в следующем: определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Разложение по первой строке, в частности, будет иметь следующий вид:

Основные свойства определителей

1. При перестановке двух строк (столбцов) знак определителя изменится на противоположный.

2. Общий множитель элементов какой-либо строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

3. При умножении определителя на число на это число умножаются все элементы лишь одной какой-либо его строки (столбца).

4. Определитель, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

5. Определитель, содержащий равные строки (столбцы), равен нулю.

6. Определитель не изменится при транспонировании, т.е. если его строки заменить столбцами, а столбцы – соответствующими строками.

7. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Матрицы.

Действия над матрицами

Матрицей размерности « на » называетсяпрямоугольная таблица, состоящая из строк и столбцов

Кратко матрицу можно записать так:

или .

Каждый элемент матрицы, как и элементы определителей, имеет двойной индекс, указывающий на номер строки и номер столбца, в которых расположен элемент.

Матрицу называют квадратной, если количество ее строк равно количеству столбцов . Число при этом называют порядком квадратной матрицы.

Квадратной матрице можно поставить в соответствие определитель, состоящий из ее элементов. Его называют определителем матрицы и обозначают .

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.

Единичной матрицей называют квадратную матрицу, элементы главной диагонали которой равны , а все остальные – .

Суммой двух матриц , называется матрица

Иначе говоря, чтобы сложить две матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы (элементы с одинаковыми индексами). Очевидно, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности.

Произведением матрицы на число называется матрица

Таким образом чтобы умножить матрицу на число, следует все ее элементы умножить на это число.

Пусть матрица имеет размерность , матрица имеет размерность . Произведением матрицы на матрицу называется матрица размерности , элементы которой определяются формулой:

; , т. е. элемент матрицы-произведения, стоящий в -ой строке и -ом столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов -ой строки матрицы и -го столбца матрицы . Иначе говоря, чтобы умножить матрицу на матрицу , необходимо строки умножать поочередно на столбцы и результаты записывать по строкам.

Две матрицы можно перемножить лишь при условии, что количество столбцов первого множителя равно количеству строк второго. При этом в результате получится матрица, у которой строк столько же, сколько их у первого множителя, а столбцов столько, сколько их у второго.

Обратная матрица

Матрица называется обратной к матрице , если выполняется равенство

Всякая невырожденная квадратная матрица имеет обратную . Обратная матрица находится по формуле

где алгебраическое дополнение элемента определителя .

Ранг матрицы

Пусть задана матрица размерности . Выделим в ней произвольных строк и произвольных столбцов . Определитель -го порядка, составленный из элементов матрицы , расположенных на пересечении выбранных нами строк и столбцов, называется минором -го порядка матрицы .

Рангом матрицы называют наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля, обозначают .

Всякий отличный от нуля минор матрицы , порядок которого равен рангу, называется базисным минором матрицы.

Вычислить ранг матрицы с помощью определения затруднительно, поскольку даже матрица небольшой размерности имеет значительное количество миноров.

Для нахождения ранга матрицу с помощью элементарных преобразований приводят к трапециевидной (или верхнетреугольной, ступенчатой) эквивалентной матрице, ранг которой вычисляется по количеству ненулевых строк в ней.

Под трапециевидной формой матрицы будем понимать такую форму, в которой все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. Трапециевидная форма, в частности, может быть верхнеугольной.

Две матрицы и называются эквивалентными, если выполняется равенство .

Эквивалентные матрицы обозначаются так: ~ .

Под элементарными преобразованиями матрицы понимают следующие операции:

1) замена строк столбцами, а столбцов соответствующими строками (транспонирование матрицы);

2) перестановку строк (столбцов) местами;

3) вычеркивание строки (столбца), все элементы которой равны нулю;

4) умножение какой-либо строки (столбца) на отличное от нуля число;

5) прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).

Системы линейных уравнений.

Исследование систем

Система следующего вида:

где неизвестные, а заданные числа, называется системой линейных уравнений.

Решением системы называется упорядоченный набор из чисел , обращающий все уравнения системы в тождества при подстановке в них.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если у системы нет ни одного решения, она называется несовместной.

Система называется однородной, если все свободные члены уравнений системы равны нулю: . Любая однородная система совместна, так она имеет нулевое решение .

Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы.

Матрица вида:

называется расширенной матрицей системы.

Заметим, что матрицу можно получить из , добавив столбец свободных членов. Матрица – столбец

называется матрицей свободных членов.

Ответ на вопрос о совместности системы линейных уравнений, а в случае совместности и об их количестве, дает следующая теорема.

Теорема Кронекера – Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы

Причем, если ранг равен количеству неизвестных , система имеет единственное решение.

Если , то система имеет бесконечное множество решений, при нахождении этого множества неизвестных назначают свободными.

Из теоремы следует, что при система несовместна.

Для исследования системы линейных уравнений на наличие решений и их количество с помощью теоремы Кронекера – Капелли необходимо сделать следующее:

a выписать расширенную матрицу системы ;

a с помощью элементарных преобразований строк привести ее к трапециевидной (верхнеугольной) форме;

a определить ранг расширенной матрицы ;

a прикрыв последний столбец, определить ранг матрицы системы ;

a сравнить полученные ранги и сделать вывод.

Векторы.

Направленный отрезок с началом в точке и концом в точке называется вектором.

Обозначают вектор одним из следующих способов: , , , . Расстояние между точками , называется длиной или модулем вектора, обозначается или .

Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными или параллельными. Два вектора считаются равными, если:

1) они коллинеарны;

2) направлены в одну сторону (сонаправлены);

3) имеют равные длины.

Свободный вектор (т. е. такой вектор, который без изменения длины и направления может быть перенесен в любую точку пространства) в пространстве с декартовой системой координат может быть единственным способом представлен в виде

где орты осей т. е. единичные векторы, направление которых совпадает с положительным направлением соответствующих осей.

Такое представление вектора называется разложением по базису . Числа называются координатами вектора в этом же базисе, они равны проекциям вектора на соответствующие оси.

В координатной форме вектор можно записать так:

Длина вектора находится по формуле:

Направление вектора определяется углами , , , образованными им с осями координат. Косинусы этих углов, называемые направляющими косинусами, находятся по формулам: ; , .

Координаты вектора по координатам его начала и конца находятся следующим образом: .

Простейшими операциями над векторами считаются линейные операции: сложение, вычитание и умножение на число. Эти операции выполняются покоординатно, т. е. если векторы , заданы координатами, какое-то число, то справедливы формулы:

Отметим, что векторы и коллинеарны. Они сонаправлены, если , и противоположно направлены при .

При вектор будет сонаправлен с и иметь длину, равную единице. Этот вектор называют единичным вектором (или ортом) вектора .

Если векторы и коллинеарны, то выполняется соотношение: , а для их координат справедливы равенства:

Эти соотношения являются условиями коллинеарности векторов в координатной форме.

2. Произведения векторов:

Скалярное произведение

Скалярным произведением двух векторов и называется число равное произведению длин этих векторов , на косинус угла между ними. Обозначают или :

Если векторы-сомножители заданы в координатной форме, то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

Векторное произведение

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим трем условиям:

1. Длина вектора равна площади параллелограмма, сторонами которого служат векторы-сомножители и

2. Вектор перпендикулярен к векторам и .

3. Тройка векторов , , после приведения к общему началу ориентирована так же, как тройка базисных векторов (правая тройка).

Обозначают векторное произведение так: или .

4. В координатной форме векторное произведение и находится по следующей формуле:

Смешанное произведение

Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению векторов и : ( , ). Обозначают его так:

или ( , , )

Через координаты векторов-сомножителей смешанное произведение находится по следующей формуле

Прямая линия на плоскости

Всякое уравнение первой степени относительно переменных и , т. е. уравнение вида

где действительные числа, причем и не обращаются в ноль, т. е. , определяет на плоскости прямую линию. Это уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости.

Часто оказывается удобным уравнение вида

которое называют уравнением прямой с условным коэффициентом.

Число равно тангенсу угла, образованного прямой с положительным направлением оси , . Свободный член уравнения равен ординате точки пересечения прямой с осью .

Общее уравнение прямой нетрудно преобразовать к уравнению с угловым коэффициентом при, выразив из него : .

Угол между прямыми и определяется формулой:

Условие параллельности прямых: ,

условие перпендикулярности: или .

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и , имеет вид:

Если известно, что прямая проходит через две заданные точки, то ее угловой коэффициент можно найти, не составляя уравнения прямой, по формуле

Уравнение прямой, проходящей через одну заданную точку имеет вид .

Расстояние от точки до прямой находится по формуле:

Кривые второго порядка

Всякое уравнение второй степени относительно переменных и определяет на плоскости линию, которую называют кривой второго порядка.

Различают четыре типа кривых второго порядка: окружность, эллипс, гиперболу и параболу (хотя окружность является частным случаем эллипса). Чаще всего используются самые простейшие уравнения этих кривых, их называют каноническими уравнениями.

Окружность

Окружность – это геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки, называемой центром. Каноническое уравнение окружности имеет вид:

где центр окружности, ее радиус.

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то ее уравнение будет таким:

Эллипс

Геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (равная ), называется эллипсом.

Если фокусы эллипса расположены в точках и на оси симметрично относительно начала координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Числа и называются, соответственно, большой и малой полуосями эллипса, причем справедливо соотношение: .

Гипербола

Геометрическое место точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (равная ), называется гиперболой.

В случае, когда фокусы гиперболы расположены на оси симметрично относительно начала координат в точках и , каноническое уравнение гиперболы будет иметь следующий вид:

где . Число называется действительной полуосью гиперболы, а ее мнимой полуосью (поскольку с осью в этом случае гипербола не пересекается).

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом, и от заданной прямой, называемой директрисой.

Если директрисой параболы служит прямая параллельная оси , а фокусом точка , то каноническое уравнение параболы будет таким:

Такая парабола расположена симметрично оси , ветви направлены вправо. При ветви будут направлены влево.

Уравнение определяет параболу, симметричную относительно оси , ветви направлены вверх при , и вниз при .