Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Система уравнений называется квадратной, если количество уравнений в ней равно количеству неизвестных:

При этом число  называется порядком системы.

Метод Крамера применяется только для решения квадратных систем с невырожденной матрицей, т. е. при . Такая система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера.

где главный определитель системы, а вспомогательные определители.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса является универсальным методом решения систем линейных уравнений, поскольку ограничений для его применения нет. Его можно использовать и для решения квадратных систем с вырожденной матрицей, т. е. при , и для решения систем, у которых число уравнений не равно числу неизвестных.

Суть метода Гаусса  состоит в преобразовании заданной системы уравнений к равносильной системе, из которой нетрудно поочередно найти неизвестные. Расширенная матрица преобразованной системы имеет трапециевидную или верхнетреугольную форму.

Практическое решение системы методом Гаусса можно разделить на две части: прямой ход и обратный ход.

Прямой ход состоит в следующем:

a выписать расширенную матрицу заданной системы;

a с помощью элементарных преобразований строк привести ее к трапециевидной (ступенчатой) или к верхнетреугольной форме;

a определить ранг матриц системы ;

a по теореме Кронекера – Капелли сделать вывод о совместности системы, а в случае совместности об их количестве.

Заметим, что прямой ход метода Гаусса, по-существу, повторяет все действия, которые выполняются при исследовании системы.

Обратный ход метода Гаусса включает следующее:

a по преобразованной матрице, эквивалентной , восстановить систему линейных уравнений. Она равносильна исходной системе, т. е. имеет те же решения;

a в случае единственности решения, следует поочередно найти неизвестные, начиная с последнего уравнения;

если же система имеет бесконечное множество решений, то  неизвестных (выбрав самостоятельно) следует положить свободными, обозначив их какими-то буквами. После этого необходимо все остальные неизвестные поочередно выразить через свободные, также начиная с последнего уравнения системы;

a записать ответ.

 

 

ГЛАВА 2

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

 

Векторы.

Направленный отрезок с началом в точке  и концом в точке  называется вектором.

Обозначают вектор одним из следующих способов: , , , . Расстояние между точками ,  называется длиной или модулем вектора, обозначается  или .

Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными или параллельными. Два вектора считаются равными, если:

1) они коллинеарны;

2) направлены в одну сторону (сонаправлены);

3) имеют равные длины.

Свободный вектор  (т. е. такой вектор, который без изменения длины и направления может быть перенесен в любую точку пространства) в пространстве с декартовой системой координат  может быть единственным способом представлен в виде

где орты осей  т. е. единичные векторы, направление которых совпадает с положительным направлением соответствующих осей.

Такое представление вектора  называется разложением по базису . Числа   называются координатами вектора  в этом же базисе, они равны проекциям вектора  на соответствующие оси.

В координатной форме вектор можно записать так:

.

Длина вектора находится по формуле:

.

Направление вектора  определяется углами , , , образованными им с осями координат. Косинусы этих углов, называемые направляющими косинусами, находятся по формулам:        ; , .

Координаты вектора  по координатам его начала  и конца  находятся следующим образом: .

Простейшими операциями над векторами считаются линейные операции: сложение, вычитание и умножение на число. Эти операции выполняются покоординатно, т. е. если векторы ,  заданы координатами, какое-то число, то справедливы формулы:

Отметим, что векторы  и  коллинеарны. Они сонаправлены, если , и противоположно направлены при .

При  вектор  будет сонаправлен с  и иметь длину, равную единице. Этот вектор называют единичным вектором (или ортом)  вектора .

Если векторы  и  коллинеарны, то выполняется соотношение: , а для их координат справедливы равенства:            

Эти соотношения являются условиями коллинеарности векторов в координатной форме.

 

2. Произведения векторов:

⇐ Предыдущая12

Поделиться: