Динамика специальной теории относительности

 

 

Энергия и импульс частицы

Под массой частицы m будем понимать ее массу, измеряемую в системе покоя частицы - массу покоя.

Релятивистским импульсом частицы массы m, движущейся в выбранной инерциальной системе отсчета со скоростью , называется векторная величина , определяемая формулой

® p = m ® v       ________ Ö 1 - (v/c)2     .

(20)

Релятивистский импульс имеет ту же размерность, что и импульс в классической механике. При v/c  ,  m (с точностью до линейных по v/c слагаемых).

Энергией частицы в релятивистской физике называется величина E, определяемая выражением

E = m c2     ________ Ö 1 - (v/c)2     .

(21)

Энергия имеет ту же размерность и измеряется в тех же единицах, что и энергия в ньютоновской механике.

Энергия частицы в той системе отсчета, в которой она покоится, называется ее энергией покоя E₀:

E0 = mc2.

При  = v/c   релятивистское выражение для энергии частицы может быть записано в виде

E = mc2 + m v2 2 = E0 + m v2 2 .

Второе слагаемое совпадает с кинетической энергией частицы в классической теории. Разность E - mc² = T называют кинетической энергией релятивистской частицы.

Из формул (20) и (21) находим полезную формулу для скорости частицы:

® v = c2   ® p   E .

(22)

 

3.2 Релятивистские преобразования энергии и импульса

Рассмотрим вновь две инерциальные системы отсчета, движущиеся друг относительно друга со скоростью V в направлении оси x.

Закон преобразования для величин (E, ) и (E^ , ^ ), измеряемых в системах S и S^ , имеет форму преобразования (23):

E¢ = E - V px     ________ Ö 1 - (V/c)2     , px¢ = px - E V/c2     ________ Ö 1 - (V/c)2     , py¢ = py, pz¢ = pz.

(23)

Таким образом, энергия и импульс частицы зависят от выбора системы отсчета, однако существует величина, которая имеет абсолютный смысл. Из формул (23) следует, что

æ ç è   E¢ c   ö ÷ ø 2 - ® p ¢ 2 = æ ç è   E c   ö ÷ ø 2 - ® p 2 = m2 c2,

из которого следует, что масса частицы одинакова во всех системах отсчета и, следовательно, является релятивистским инвариантом.

Рис. 10

Используя последнее выражение можно легко получить соотношение, связывающее энергию и импульс в релятивистской физике:

.

Эта зависимость энергии от импульса изображена на Рис. 10. При малых значениях импульса E = m c² + p²/2 m, а при достаточно больших импульсах E = p c.

Иногда формулу (21), записывают в виде E = m(v) c², вводя " релятивистскую массу" частицы, зависящую от скорости:

m(v) = m     ________ Ö 1 - (v/c)2     .

Саму же формулу (21) истолковывают, как " эквивалентность" энергии и массы в релятивистской физике. Однако такое утверждение приводит лишь к путанице (а в преждние времена вело даже к ожесточенным идеологическим спорам). Масса и энергия совершенно разные характеристики частицы. Масса - инвариант, а энергия - динамическая характеристика, зависящая от выбора системы отсчета. Взаимосвязь энергии и массы частицы имеет место только в системе покоя частицы.

Поэтому понятие " массы, зависящей от скорости" [(m)/([ (1 - (v/c)²)])] лишено физического смысла!

 

Частицы с нулевой массой покоя

Если в формулах (20, 21) формально положить скорость частицы v = c, то энергия и импульс частицы обращаются в бесконечность. Это значит, что частица с отличной от нуля массой покоя не может двигаться со скоростью света. В релятивистской механике однако предполагается, что существовуют частицы с массой покоя равной нулю, всегда движущиеся со скоростью света. Из (22) видно, что для таких частиц модуль импульса и энергия связаны соотношением:

| ® p | = E c ,

откуда следует, что здесь

(E/c)2 - ® p 2 = 0

в соответствии с тем, что m = 0.

К частицам с нулевой массой покоя относятся, например, фотоны - кванты электромагнитного поля. В больших деталях их свойства будут обсуждены в разделе " Квантовая теория" - задание N 5.

 

Релятивистский эффект Доплера

Рассмотрим плоскую монохроматическую волну

E( ® r , t) = E0 cos æ è   ® k · ® r - w t ö ø .

(23)

Здесь  - частота волны, а = k - волновой вектор (k = [( )( c)] - волновое число, - единичный вектор в направлении распространения волны (см. Рис. 11).)

Рис. 11

Выясним закон преобразования частоты и волнового вектора при переходе в другую инерциальную систему отсчета. Будем для определенности считать, что волна распространяется под углом  к оси x, вдоль которой со скоростью V движется " штрихованная" система отсчета S^ . Из Рис. 11 видно, что существуют пространственно - временные точки, в которых векторы поля обращаются в нуль (узловые точки волны - те точки, в которых косинус равен нулю). Ясно, что это свойство поля носит объективный характер и должно выполняться во всех инерциальных системах отсчета. Отсюда следует, что фаза электромагнитной волны должна быть инвариантна!

® k · ® r - wt = ® k ¢ · ® r ¢ -w¢ t¢ .

В декартовых координатах это условие принимает вид:

kx x +ky y + kz z -w t = kx¢ x¢ +ky¢ y¢ + kz¢ z¢ - w¢ t¢ .

(24)

Поскольку x, y, z, t связаны с x^¢ , y^¢ , z^¢ , t^¢ преобразованием Лоренца, то для обеспечения инвариантности фазы необходимо, чтобы выполнялись преобразования

w¢ = w- V kx     ________ Ö 1 - V2/c2     , kx¢ = kx - V/c2 w     ________ Ö 1 - V2/c2     , ky¢ = ky, kz¢ = kz.

(25)

Прямой подстановкой формул (25) в соотношение (24) можно проверить его выполнение.

Найдем теперь связю между частотой  ₀ в системе источника волны и частотой  той же волны в системе наблюдателя.

Полагая в первой формуле из (25)  ^ =  ₀, k_x = [( )( c)] cos, где  - угол распространения волны относительно V в системе наблюдателя (приемника), найдем

w = w0     ________ Ö 1 - V2/c2   1 - (V/c)cosq .

(26)

Эта формула выражает собой эффект Доплера - изменение частоты волны, вызанное относительным движением источника и приемника.

При V/c    1 из (26) имеем   

Dw = w- w0 = w0 (V/c) cosq.

Частота волны возрастает при сближении источника и наблюдателя ( в этом случае проекция скорости на направление луча V_{ } = V cos    ) и убывает при их удалении (V_{ }   ) продольный эфект Доплера. Если относительная скорость направлена перпендикулярно лучу зрения (cos = ), то уменьшение частоты представляет собой эффект, квадратичный по V/c:

Dw = - w0 2   æ ç è   V c   ö ÷ ø 2

- поперечный эффект Доплера.

При выводе последних двух формул учтено, что при V/c    1

1 1 - (V/c)cosq » 1 + (V/c)cosq,   ________ Ö 1 - (V/c)2 » 1 - (V/c)2/2.

Красное смещение (в сторону волн большей длины) наблюдаемое на Земле в спектрах излучения далеких галактик по сравнению с эталонными линиями интерпретируется как эффект раширения Метагалактики (наблюдаемой части Вселенной) - взаимного удаления галактик друг от друга. В 1928 г. Э. Хабблом было обнаружено, что скорости разбегания галактик приблизительно пропорциональны расстоянию до них:

v ~ H R.

Константа Хаббла H  5  1 км(с·Мпк). Значение H^-1  13 млрд. лет определяет время, истекшее с начала расширения Метагалактики при условии постоянной скорости расширения.

 

 

Заключение

ОТО — завершенная физическая теория. Она завершена в том же смысле, что и классическая механика, классическая электродинамика, квантовая механика. Подобно им, она дает однозначные ответы на физически осмысленные вопросы, дает четкие предсказания для реально осуществимых наблюдений и экспериментов. Однако, как и всякая иная физическая теория, ОТО имеет свою область применимости. Так, вне этой области лежат сверхсильные гравитационные поля, где важны квантовые эффекты. Законченной квантовой теории гравитации не существует.

ОТО — удивительная физическая теория. Она удивительна тем, что в ее основе лежит, по существу, всего один экспериментальный факт, к тому же известный задолго до создания ОТО (все тела падают в поле тяжести с одним и тем же ускорением). Удивительна тем, что она создана в большой степени одним человеком. Но прежде всего ОТО удивительна своей необычайной внутренней стройностью, красотой. Не случайно Ландау говорил, что истинного физика-теоретика можно распознать по тому, испытал ли человек восхищение при первом же знакомстве с ОТО.

Примерно до середины 60-х годов ОТО находилась в значительной мере вне основной линии развития физики. Да и развитие самой ОТО отнюдь не было весьма активным, оно сводилось в большой степени к выяснению определенных тонких мест, деталей теории, к решению пусть важных, но достаточно частных задач.

Вероятно, одна из причин такой ситуации состоит в том, что ОТО возникла в некотором смысле слишком рано, Эйнштейн обогнал время. С другой стороны, уже в его работе 1915 года теория была сформулирована в достаточно завершенном виде. Не менее важно и то обстоятельство, что наблюдательная база ОТО оставалась очень узкой. Соответствующие эксперименты чрезвычайно трудны. Достаточно напомнить, что красное смещение удалось измерить лишь спустя почти 40 лет после того, как было обнаружено отклонение света в поле Солнца.

СТО возникла больше для решения специальных задач и никоим образом не противоречит принципам ОТО. Она лишь дополнение реального состояния науки с точки зрения потребности современной физики и естествознания. Релятивизм не мертв, он лишь отражение состояния научно-технической мысли того времени.

Тем не менее, в настоящее время СТО — бурно развивающаяся область современной физики. Это результат огромного прогресса наблюдательной астрономии, развития экспериментальной техники, впечатляющего продвижения в теории.

⇐ Предыдущая123

Поделиться: