Кинематическое уравнение движения материальной точки

 

r ( t ) = xi + yj + zk,

 

где x = f₁(t), y = f₂(t), z = f₃(t) - функции, выражающие зависимость координат точки от времени t.

 

Средняя скорость

< v > = ,

где Dr - вектор перемещения.

 

Мгновенная скорость и ее модуль

,

 

 

Среднее ускорение

< a> =       .

 

Мгновенное ускорение и его модуль

,

 

Ускорение при криволинейном движении:

- тангенциальное

;

- нормальное

;

- полное

,

 

где R - радиус кривизны траектории; n - единичный вектор нормали к траектории; t - единичный вектор, направленный по касательной к траектории.

 

Средняя угловая скорость

3                                                                                                                                    4

,

где j = j(t) - вектор угла вращения абсолютно твердого тела, направленный вдоль оси вращения.

 

Мгновенная угловая скорость

.

Угловое ускорение

.

Связь между линейными и угловыми величинами

s = j R,                                v = w R,

a _t = e R,                   a_n = w ² R.

 

Импульс (количество движения) материальной точки

 

p = mv.

 

Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона)

Виды сил:

– сила гравитационного взаимодействия

,

 

где g - гравитационная постоянная; m₁ и m₂ - взаимодействующие массы; r - расстояние между ними;

– сила тяжести

P = mg,

 

где g - ускорение свободного падения;

 

– сила упругости

F = - kx,

где k - коэффициент упругости (жесткость); x - абсолютная деформация.

 

– сила трения

F _тр = kN,

 

где k - коэффициент трения; N - сила нормального давления.

 

Работа, совершаемая переменной силой

.

Мощность

Кинетическая энергия тела при поступательном движении

.

Потенциальная энергия:

– упругодеформированной пружины (стержня)

	5                                                                                                                                    6

;

– гравитационного взаимодействия двух масс

;

– тела, находящегося в однородном поле силы тяжести вблизи поверхности Земли

П = mgh,

 

где h - расстояние между телом и поверхностью Земли.

 

Закон сохранения механической энергии в замкнутой системе из n материальных тел, между которыми действуют консервативные силы

 

 

Закон сохранения импульса для изолированной системы материальных тел

 

 

где n – число материальных тел; m_i - их массы.

 

Основное уравнение динамики вращательного движения абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси вращения z

 

M_z = J_z e,

 

где M_z – результирующий момент внешних сил; действующих на тело относительно оси z; J_z – момент инерции тела относительно оси вращения; e - угловое ускорение.

 

Момент инерции материальной точки

 

J = mr ²,

 

где m - масса материальной точки; r -расстояние от точки до оси вращения.

 

Момент инерции:

– однородного шара радиусом R и массы m (если ось вращения проходит через центр шара)

 

;

– сплошного цилиндра или диска радиусом R и массы m (если ось вращения проходит через центр масс перпендикулярно плоскости основания)

 

;

– тонкого обруча или кольца радиусом R и массы m (если ось вращения проходит через центр масс перпендикулярно плоскости обруча)

J_z = mR ²;

 

– однородного тонкого стержня длиной l и массы m (если ось вращения проходит через центр масс стержня перпендикулярно стержню)

7                                                                                                                                    8

;

– однородного тонкого стержня длиной l и массы m (если ось вращения проходит через конец стержня перпендикулярно стержню)

 

.

Момент инерции тела массы m относительно неподвижной оси, не проходящей через центр масс и параллельной оси z

 

J = J_z + ma ²,

 

где J_z - момент инерции тела относительно оси z; проходящей через центр масс;    a - расстояние между осями.

 

Момент силы

 

М = r × F.

Момент импульса тела

 

L = J × w.

 

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

.

 

Проекция момента импульса тела на неподвижную ось вращения

L_z = J_z × w.

Закон сохранения

– момента импульса для изолированной системы твердых тел

;

 

– момента импульса для изолированной системы твердых тел относительно неподвижной оси вращения z

 

.

 

Работа постоянного момента внешних сил при вращении твердого тела

A = M_z j,

 

где j - угол поворота.

 

Мощность, развиваемая моментом внешних сил

.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z

 или .

 

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

	9                                                                                                                               10

x = Acos( w t+ j _o )

{x = Asin( w t+ j _o )},

 

где x - смещение колеблющейся точки от положения равновесия; A – амплитуда; w - круговая (циклическая) частота; j_o - начальная фаза колебаний.

 

Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания

 

= -A w sin( w t+ j _o )

{v = A w cos( w t+ j _o )}.

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: