Дизъюнктивная совершенная нормальная форма

Введем понятие логической степени, которою будем обозначать . Тогда, логическая степень будет определяться по формуле (2.1)

         (2.1)

Любую функцию от n переменных можно представить в виде (см.(2.2))

(2.2)

означает, что коллективные члены формируются только для таких наборов (α ₁, α ₂, …, α _n) для которых функция принимает единичное значение.

Форма (2.2) определяет алгоритм перехода от таблицы истинности к аналитическому ее виду. Для такого перехода используется следующий алгоритм:

а) Выбрать в таблице истинности все наборы, в которых функция          обращается в единицу.

б) Выписать конъюнкции, соответствующие этим наборам аргументов. При этом если аргумент х_i входит в данный набор как «1», то он вписывается без изменения в конъюнкцию, соответствующую данному набору. Если же входит в данный набор как «0», то в соответствующую конъюнкцию вписывается его отрицание.

в) Все полученные конъюнкции объединяют знаком дизъюнкции.

Для функции у₃ СДНФ будет иметь вид:

Конъюнктивная совершенная нормальная форма

Любую функцию от n переменных можно представить в виду:

f=

означает, что коллективные члены формируются только для таких наборов, (α ₁, α ₂, …, α _n) для которых функция принимает нулевое значение.

Следующий алгоритм позволяет перейти от табличной записи функции к СКНФ:

а) Выбрать в таблице истинности все наборы, в которых функция обращается в «0».

б) Выписать дизъюнкции, соответствующие этим наборам аргументов. При этом если аргумент х_i входит в данный набор как «0», то он вписывается без изменения в дизъюнкцию, соответствующую данному набору. Если же входит в данный набор как «1», то в соответствующую дизъюнкцию вписывается его отрицание.

в) Все полученные дизъюнкции объединяют знаком конъюнкции

Функция У₃ в виде СКНФ будет иметь вид:

Минимизация булевых функций

Минимизация сводится к поиску минимальных форм (ДНФ и КНФ). Минимальной форме соответствует самая простая логическая схема, реализующая данную функцию и требующая минимальных аппаратных затрат.

В ходе курсового проектирования была выполнена минимизация полученных булевых функций следующими методами:

1. метод неопределенных коэффициентов

2. метод Квайна-Мак-Класки

3. карты Карно

Для примера в курсовом проекте рассмотрена минимизация этими способами для функции y₃.

Пример минимизации методом неопределенных коэффициентов

Данный метод является по своим идеям наиболее простым. Для функции записываются все возможные конъюнктивные члены, которые могут входить в дизъюнктивную форму представления функции. Коэффициенты К с различными индексами являются неопределенными и подбираются так, чтобы получающаяся после этого дизъюнктивная форма была минимальной.

Если теперь задавать всевозможные наборы значений аргументов и приравнивать полученное после этого выражение значению функции на выбранных наборах, то получим систему 2⁴ уравнений для определения коэффициентов К:

 

Находим выражения, имеющие в правой части ноль. Исходя из определения дизъюнкции вычеркиваются все элементы в этих уравнениях и эти же элементы находящиеся в других уравнениях. В итоге получим уравнения:

Из оставшихся коэффициентов приравниваем единице коэффициент, определяющий конъюнкцию наименьшего возможного ранга, а остальные коэффициенты в левой части данного уравнения приравняем нулю(это можно сделать, так как дизъюнкция обращается а единицу, если хотя бы один член ее равен единице). Тогда уравнения примут вид:

 

Пример минимизации методом Квайна-Мак-Класки.

При минимизации по данному методу предполагается, что минимизируемая функция задана в СДНФ. Метод Квайна – Мак – Класки состоит из последовательного выполнения следующий этапов.

Метод Квайна состоит из последовательного выполнения этапов:

1) Нахождение первичных импликант

2) Расстановка меток

3) Нахождение существенных импликант

4) Вычеркивание лишних столбцов

5) Вычеркивание лишних

6) Получение минимального покрытия

Выполним, приведенные этапы, для функции У₃.

Нахождение первичных импликант. Все минитермы (элементарные конъюнкции, входящие в ДНФ) данной функции записываются в виде их двоичных номеров. Все номера разбиваются по числу единиц в этих номерах на не пересекающиеся группы. При этом в i-тую группу войдут все номера, имеющие в своей двоичной записи ровно i единиц. По парное сравнение (склеивание) можно производить только между соседними по номеру группами. При образовании минитермов с рангом выше нулевого в разряды, соответствующие исключенным переменным, пишется знак тире. Минитермы, не склеивающиеся между собой, называются первичными импликантами.

СДНФ, которую мы нашли ранее, для функции У₃ имеет вид:

Составим минитермы для этой функции:

Таблица 2.2.1

Минитермы длиной 4