Нелинейные алгебраические уравнения

Стр 1 из 4Следующая ⇒

Курсовая работа

по предмету: “ Моделирование ”

Тема: Применение новейших экономико-математических методов для решения задач.

Группа: КИС-2-97

Выполнил: Рогачёв Максим

Проверил: проф.Бабак В.Ф.

Бишкек – 2000

Содержание

Предисловие.................................................................................................................................. 3

Глава№1. Подбор параметра................................................................................................... 4

1.1 Нелинейные алгебраические уравнения........................................................................ 4

Задание #1.............................................................................................................................. 4

1.2 Системы двух нелинейных алгебраических уравнений................................................ 6

Задание #2.............................................................................................................................. 6

Глава №2 Матричная алгебра..................................................................................................... 7

2.1 Сложение матриц................................................................................................................ 7

Задание #3.............................................................................................................................. 7

2.2 Транспонирование матрицы.............................................................................................. 8

2.4 Вычисление обратной матрицы...................................................................................... 9

Задание #4.............................................................................................................................. 9

2.4 Умножение матриц........................................................................................................... 10

2.5 Умножение матрицы на число........................................................................................ 11

2.6 Сложение матриц.............................................................................................................. 11

2.7 Вычисление определителя матрицы............................................................................... 12

2.8 Системы линейных алгебраических уравнений........................................................... 13

Задание #5............................................................................................................................ 13

Глава №3 Поиск решения…...................................................................................................... 14

3.1 Оптимизация..................................................................................................................... 14

3.2 Условный экстремум........................................................................................................ 15

Задание №6.......................................................................................................................... 15

3.3 Математическое программирование............................................................................... 16

3.3.1 Линейное программирование................................................................................... 17

Задание #7............................................................................................................................ 17

Задание #8............................................................................................................................ 18

Задание #9............................................................................................................................ 19

3.5 Системы нелинейных алгебраических уравнений..................................................... 20

Задание #12.......................................................................................................................... 20

Список литературы..................................................................................................................... 23

Предисловие

Специалист для которого MS Excel является именно тем средством которое позволяет облегчить и ускорить его работу, должен знать и уметь использовать в повседневной работе новейшие экономико-математические методы и модели, предлагаемые новыми прикладными программами.

Традиционный способ изучения экономико-математических методов заключается не только в определении их назначения и сути, но и в освоении техники реализации, причем, чтобы сделать доступной «ручную» реализацию, объем обрабатываемых данных приходится максимально сокращать, что, с одной стороны, часто удаляет построенную модель от реальной жизни, а с другой – снижает эффективность применения изучаемых методов.

Использование компьютерных технологий освобождает от рутинной вычислительной работы по реализации математических методов и позволяет сконцентрировать внимание не на алгоритме вычисления, а непосредственно на анализе результатов моделирования, что заметно повышает «коэффициент полезного действия» затраченного времени. Совершенно очевидно, что эффективность изучения предмета становится существенно выше, если есть возможность быстро «проиграть» варианты моделей, изменить их параметры, сравнить в числовой и графической форме результаты исследований.

Итак мы вступаем в этап, когда стоящие перед нами проблемы невозможно решить без

применения компьютера. Я не испытываю страха перед компьютером. Меня страшит их отсутствие.

Глава№1. Подбор параметра...

Нелинейные алгебраические уравнения

Задание #1

При моделировании экономических ситуаций часто приходится решать уравнения вида:

f(x, p₁, p₂, …, p_n)=0 (1)

где f - заданная функция, x- неизвестная переменная, p ₁, p ₂, …, p_n - параметры модели.

Решение таких уравнений может быть как самостоятельной задачей, так и частью более сложных задач. Как правило, исследователя интересует поведение решения в зависимости от параметров p_k, k=1, n.

Решениями или корнями уравнения (1) называют такие значения переменной x, которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество.

Только для линейных или простейших нелинейных уравнений удается найти решение в аналитической форме, т.е. записать формулу, выражающую искомую величину x в явном виде через параметры.

В большинстве же случаев приходится решать уравнение (1) численными методами, в которых процедура решения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма. Полученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодно близко к точному.

Рассмотрим последовательность действий для получения решения нелинейного уравнения в среде электронной таблицы.

Пусть надо решить уравнение вида:

(2)

Сформируем лист электронной таблицы, как показано на рис.1.

рис.1.

Уравнение (2) запишем в клетку С5, начиная со знака равенства, а вместо переменной x укажем адрес клетки В5, которая содержит значение начального приближения решения.

Метод, применяемый в EXCEL для решения таких уравнений – модифицированный конечными разностями метод Ньютона, который позволяет не сильно заботиться о начальном приближении, как этого требуют другие численные методы решения уравнений. Единственно, что следует учесть – это то, что будет найдено решение ближайшее к выбранному начальному приближению.

Для получения решения уравнения (2) надо выполнить следующую последовательность действий:

1. Выполнить команду Сервис/Подбор параметра… (получим лист электронной таблицы, как показано на рис.2)

2. Заполнить диалоговое окно Подбор параметра…:

2.1 Кликнуть левой клавишей мыши в поле Установить в ячейке, после появления в нем курсора, переместить указатель мыши и кликнуть на клетке с формулой, в нашем случае это клетка С5, абсолютный адрес которой $C$5 появится в поле;

2.2

В поле Значение: ввести значение правой части уравнения (2), в нашем случае это значение равно1.

рис.2.

2.3 В поле Изменяя значение ячейки: ввести адрес клетки где задано начальное приближение решения, в нашем случае это клетка В5.

После выполнения пунктов 1-2 страница электронной таблицы будет выглядеть так, как показано на рис.3.

рис.3.

После нажатия на кнопке ОК появится окно Результат Подбора Параметра, в котором дается информация о том, найдено ли решение, чему равно и какова точность полученного решения. Для нашего примера Результат Подбора Параметра показан на рис.4. При значении аргумента 126, 8856472 функция, стоящая в левой части уравнения (2) равна 0, 999007196. Достигнутая точность удовлетворяет.

рис.4.

Если полученные значения следует отразить на листе электронной таблицы, то надо кликнуть на кнопке ОК, если же нет – то на кнопку Отмена. В первом случае найденные значения зафиксируются в клетках В5 и С5.

Численные методы решения хороши тем, что можно получить приближенное решение с заданной точностью. EXCEL имеет возможность управлять выбором точности. Для этого надо выполнить команду Сервис/Параметры/Вычисления и в соответствующих полях установить значения относительной погрешности и количества итераций(рис.5.).

рис.5.

Задание #2

Вышеизложенный способ получения решения уравнения может быть легко распространен для случая решения системы двух уравнений с двумя неизвестными, если система имеет следующий вид:

Y=Ф(x)

Y=Ψ (x) (3)

Преобразуем систему (3) в одно уравнение вида (4):

Ф(x)- Ψ (x)=0 (4)

Полученное уравнение уже можно решить с помощью Подбор параметра… так как это было описано выше.

Рассмотрим нахождение равновесной цены и объема продаж для рынка некоторого товара.

Пусть функция спроса на товар имеет вид Q_d =80e ^-0.05p -20, 0≤ p ≤ 30, а функция предложения Q_s=12p-3e^0.02p, 0≤ p≤ 30.

Найти равновесные цену и объем, построить графики спроса и предложения. Имеющуюся систему уравнений

Q_d=80e^-0.05p-20

Q_s=12p-3e^0.02p

преобразуем в одно уравнение вида 80e^-0.05p-20 - 12p+3e^0.02p=0.

Подбор параметра… описанным выше, находим равновесную цену, она равна 4, 049213, подставив это значение в одно из уравнений системы. Получим и значение равновесного объема - 45, 33749. Для построения графика, иллюстрирующего ситуацию равновесия спроса и предложения на рынке, воспользуемся знанием равновесной цены и возьмем значения в некоторой окрестности от нее. Получим следующую иллюстрацию решения задачи о равновесии на рынке (рис.6.).

рис.6.

Глава №2 Матричная алгебра

Матричная алгебра тесно связана с линейными функциями и с линейными ограничениями, в связи, с чем находит себе применение в различных экономических задачах:

· в эконометрике, для оценки параметров множественных линейных регрессий;

· при решении задач линейного программирования;

· при макроэкономическом программировании и т.д.

Особое отношение к матричной алгебре в экономике появилось после создания моделей типа «Затраты-Выпуск», где с помощью матриц технологических коэффициентов объясняется уровень производства в каждой отрасли через связь с соответствующими уровнями во всех прочих отраслях.

Электронная таблица EXCEL имеет ряд встроенных функций для работы с матрицами:

ТРАНСП – транспонирование исходной матрицы;

МОПРЕД – вычисление определителя квадратной матрицы;

МОБР – вычисление матрицы обратной к данной;

МУМНОЖ – нахождение матрицы, являющейся произведением двух матриц.

Кроме того, возможно выполнение операций поэлементного сложения (вычитания) двух матриц и умножения (деления) матрицы на число.

На примере проиллюстрируем некоторые из этих функций. Найдем сумму двух матриц А(5*4) и В(5*4) и транспонируем матрицу-результат.

Сложение матриц

Задание #3

Для сложения двух матриц одинаковой размерности следует выполнить следующую последовательность действий:

1. Задать две исходных матрицы.

2. Отметить место для матрицы-результата.

3.
В выделенном месте под результат поставить знак равенства и записать сумму так, как показано на рис.7.

рис.7.

4. Завершить выполнение работы нажатием клавиш Shift /Ctrl /Enter (рис.8.)

рис.8.

Транспонирование матрицы

Работу с матричной функцией ТРАНСП следует выполнять в следующем порядке:

1. Задать исходную матрицу.

2. Отметить место для матрицы-результата.

3. Обратиться к мастеру функций, найти функцию ТРАНСП и выполнить постановку задачи (рис.9.).

рис.9.

4. Завершить выполнение работы нажатием клавиш Shift /Ctrl /Enter (рис.10.).

рис.10.

Вычисление обратной матрицы

Задание #4

Теперь найдем матричное выражение: Y=(FH^-1)/29+K. Посчитаем определитель полученной матрицы. Поиск решения разобьем на ряд шагов:

1.Найдем матрицу обратную к матрице Н.

2.Умножим матрицы F и H^-1.

3.Результат поделим на 29.

4.Сложим полученную матрицу с матрицей К.

5.Найдем определитель полученной матрицы.

Работу с матричной функцией МОПРЕД следует выполнять в следующем порядке:

1.Задать исходную матрицу.

2.Отметить место для матрицы-результата.

3.Обратиться к мастеру функций, найти функцию МОПРЕД и выполнить постановку задачи (рис.11.).

рис.11.

5. Завершить выполнение работы нажатием клавиш Shift /Ctrl /Enter (рис.12.).

рис.12.

2.4 Умножение матриц

Надо умножить матрицы Н^-1 и F. Это умножение возможно, так как число столбцов матрицы Н^-1 совпадает с числом строк матрицы F.

Выполним следующую последовательность действий:

1. Зададим матрицу F.

2. Отметим место под матрицу-результат.

3. Обратимся к мастеру функций, найдем функцию МУМНОЖ и выполним постановку задачи так, как показано на рис.13. H^-1

рис.13.

В качестве массива 1 указываем диапазон адресов матрицы Н^-1, а в качестве массива 2 – диапазон адресов матрицы F. Для получения результата нажмем одновременно клавиши Shift /Ctrl /Enter (рис.14.).

рис.14.

Умножение матрицы на число

Для умножения матрицы на число следует выполнить следующие действия:

1. Задать исходную матрицу.

2. Отметить место для матрицы-результата.

В выделенном под результат месте электронной таблицы записать произведение так, как показано на рис.15.

рис.15.

Завершить выполнение работы нажатием клавиш Shift /Ctrl /Enter (рис.16.).

рис.16.

Сложение матриц

Для сложения двух матриц одинаковой размерности следует выполнить следующую последовательность действий:

1.Задать две исходные матрицы.

2.Отметить место для матрицы-результата.

3.В выделенном под результат месте электронной таблицы записать сумму так, как показано на рис.17.

рис.17.

4.Завершить выполнение работы нажатием клавиш Shift /Ctrl /Enter (рис.18.).

рис.18.

Задание #5

Решение систем линейных алгебраических уравнений всегда занимало математиков и для их решения было разработано немало численных методов, подразделяющихся на прямые и итерационные.

В EXCEL задача получения решения СЛАУ решается с помощью вышеописанных матричных функций, для чего исходную систему надо представить в виде матричного уравнения.

Рассмотрим последовательность действий для получения решения СЛАУ на конкретном примере.

-12X₁+12X₂+23X₃+6X₄=120

-3X₁+0.3X₂-3X₃+X₄=-25

-67X₁-3X₂-51X₃-73X₄=536 (5)

-91X₁-6X₂+4X₃-13X₄=-316

Для того, чтобы система (5) имела единственное решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы, составленный из коэффициентов при переменных Х₁, Х₂, Х₃, Х₄, не был равен нулю.

Рассчитаем определитель системы, пользуясь функцией МОПРЕД (рис.21.). Рассчитанное значение определителя системы равно –12. Оно не равно нулю и, следовательно, можно продолжать процесс поиска решения.

Из линейной алгебры известна матричная запись системы уравнений и матричное представление решения. Перепишем систему (5) в виде

АХ=В, где

-12 12 23 6

- матрица коэффициентов при неизвестных

-3 0, 3 -3 1

-67 -3 -51 -73

-91 -6 4 -13

Х₁

- вектор столбец неизвестных

Х=

Х₂

Х₃

Х₄

В=

120

-25

536

-316

А=

тогда матричное решение уравнения выглядит так:

Х=А^-1В, где А^-1 – матрица обратная к исходной.

рис.21.

Результат, указанный на рис.21 можно получить, выполнив следующие действия:

1.Вычислить определитель и выяснить, имеет ли система единственное решение.

2.Вычислить матрицу обратную к исходной.

3.Найти произведение обратной матрицы и вектор столбца свободных членов.

Глава №3 Поиск решения…

Оптимизация

Почти любую ситуацию, встречающуюся в личной, деловой или общественной жизни можно охарактеризовать как ситуацию принятия решения. Для задач принятия существенными являются следующие общие элементы:

1. Множества переменных и параметров. В их число входят:

· множество разрешающих или эндогенных переменных, значения которых рассчитываются лицом, принимающим решение

· множество внешних или экзогенных переменных, значения которых не контролируются лицом, принимающим решение

· множество параметров, которые так же не контролируются и считаются в условиях задачи вполне определенными.

2. Модель – множество соотношений, связывающих все переменные и параметры.

3. Целевая функция – функция, значение которой зависит от значений эндогенных переменных. Эта функция позволяет лицу, принимающему решения оценивать варианты.

4. Численные методы – методы, с помощью которых можно систематически оценивать результаты различных решений.

Получение решения на модели, в конечном итоге, сводится к математической задаче нахождения некоторых вещественных значений эндогенных переменных, которые оптимизируют целевую функцию.

Если до недавнего времени все четыре перечисленные выше элемента ложились на лицо принимающее решение, то теперь умение пользоваться встроенными функциями EXCEL снимает наиболее утомительный пункт, а именно, применения численных методов, и делает исследование задач принятия решений более эффективными, так как теперь для решения одной и той же задачи можно быстро просмотреть различного вида постановки, в том числе и отличающиеся друг от друга по структуре.

Условный экстремум

Задание №6

EXCEL обладает мощным встроенным средством для нахождения экстремальных значений функции одной или нескольких переменных. Для одно-экстремальных функций можно найти безусловный глобальный экстремум. Для многоэкстремальных функций можно найти условный локальный экстремум.

Для функций одной переменной поиск экстремума возможен как на всей числовой оси, так и на некотором интервале. Поиск на интервале уже можно считать поиском условного экстремума функции, т.к. появляются ограничения на изменение значений аргумента.

Рассмотрим примет поиска условного экстремума функции.

Найти минимум и максимум функции Y=X⁵ (6)

на интервале [-1, 1] и построить график.

График функции показан на рис.2.2.

Для поиска условного экстремума функции сформируем лист электронной таблицы, как показано на рис. 2.3. Функцию (6) запишем в клетку А2, где вместо переменной Х следует указать адрес ячейки А1, которая содержит начальное приближение экстремума.

рис.22.

Для поиска минимума следует выполнить следующую последовательность действий:

Выполнить команду Сервис /Подбор параметра… (получим лист электронной таблицы, как показано на рис.23).

рис. 2.3

Заполнить диалоговое окно (рис.2.4).

рис. 2.4

2.1 Кликнуть левой клавишей мыши в поле, переместить указатель мыши и кликнуть на ячейке с формулой.

2.2 Выбрать поле Min.

2.3 В поле ввести адреса ячеек, значения которых будут варьироваться в процессе поиска решения. В нашем случае это клетка А1.

2.4 Кликнуть левой клавишей мыши в поле и затем на кнопке Добавить, откроем диалоговое окно (рис.2.2), которое заполняем, так как показано на рисунке. Так же добавляем второе ограничение.

После щелчка на кнопке ОК получим решение поставленной задачи. В клетке А1 находится значение переменной Х равное, при котором функция (6) достигает минимального значения на интервале [-1, 1].

Для поиска максимума следует выполнить ту же последовательность действий, выбрав при этом поле Max. Функция (6) достигает максимального значения на интервале при значении переменной, равном (рис.26).

Линейное программирование

Задание #7

Решить задачу линейного программирования с помощью Поиска решения…, показать графически область допустимых решений и целевую функцию. Найдем максимум функции F = -2x ₁ + 2x ₂ → max при ограничениях:

x₁+ x ₂ ≥ 1

-5x ₁ + x ₂ ≥ 0, 3

x ₁ – x ₂ ≤ 1

x ₁ + x ₂ ≤ 6

x ₁ ≥ 0

x ₂ ≥ 0.

Сформируем страницу электронной таблицы и постановку задачи линейного программирования в диалоговом окне Поиск решения …

рис 3.3

После выполнения поставленной задачи получаем следующие значения переменных.

рис 3.4

Как видим, при найденных значениях х₁, х₂ целевая функция принимает минимальное значение равное 2 и этому удовлетворяют все ограничения поставленной задачи.

Графическое решение поставленной задачи выглядит так (рис. 3.5):

рис. 3.5

Задание #8

Авиакомпания МОГОЛ по заказу армии должна перевезти на некотором участке 700 человек. В распоряжении компании имеется два типа самолетов, которые можно использовать для перевозки. Самолет первого типа перевозит 30 пассажиров и имеет экипаж 3 человека, второго типа – 65 и 5 соответственно.

Эксплуатация 1 самолета первого типа обойдется 5000$ , а второго 9000$. Сколько надо использовать самолетов каждого типа, если для формирования экипажей имеется не более 60 человек.

Для начала, обозначим переменные: пусть X₁ – это оптимальное количество самолетов первого типа, X₂ – оптимальное количества самолетов второго типа. Очевидно, что стоимость эксплуатации самолетов должна быть минимальной. Следовательно,

5000X₁ + 9000X₂→ min

Теперь определим ограничения. Для формирования экипажей имеется не более 60 человек, следовательно:

3X₁ +5X₂< =60

Пассажиров надо перевезти не менее 700 человек, следовательно:

30X₁ +65X₂ > =700

Сформируем страницу электронной таблицы и постановку задачи линейного программирования в диалоговом окне:

После выполнения поставленной задачи получаем следующие значения переменных. Как показано на рис 3.6

Рис 3.6

Т.е. нам необходимо примерно (X₁=8) 8 самолётов первого класса и (X₂=6) 6 самолётов второго класса, для перевозки пассажиров.

Задание #9

Решим еще одну задачу с помощью Подбор параметра…. Найдем максимум функции

F =2x ₁ -x ₂ +x ₃ ® max

При ограничениях:

- x ₁ -3x ₂ +x ₃ ≥ -5

x ₁ +2x ₂ +x ₃ ≤ 7

x ₁ +x ₂ +2x ₃ ≤ 3

x ₁ ≥ 0

x ₂, ≥ 0

x ₃ ≥ 0

Сформируем страницу электронной таблицы и постановку задачи линейного программирования в диалоговом окне Подбор параметра …

Рис 4.4

рис 4.5

После выполнения поставленной задачи получаем следующие значения переменных:

рис 4.6

Как видим, при найденных значениях целевая x₁, x₂, x₃ функция принимает максимальное значение равное 6 и при этом удовлетворяются все ограничения поставленной задачи.

Задание #12

В начале рассматривался способ решения систем двух нелинейных алгебраических уравнений, имеющих специальный вид, который позволяет привести их к одному уравнению и решать это уравнение с помощью команды Подбор параметра…. Такой способ сильно сужает область систем нелинейных уравнений, подлежащих решению, так как не всегда явно можно выразить одну переменную через другую. Кроме того, с его помощью нельзя решать системы, состоящие из более чем двух уравнений.

Команда Сервис/Подбор параметра… обладает широким спектром функций, одна из которых позволяет сконструировать постановку задачи для решения систем нелинейных алгебраических уравнений. В качестве примера рассмотрим решение системы уравнений:

2А³+АВС+5А²=124

12В+2А=8

3С+4АС= -6

Сформируем лист электронной таблицы как показано на рис 5.5.

рис 5.5

Систему уравнений разместим в клетках А6, А7, А8, а вместо переменных А, В, С укажем адреса клеток А3, В3 и С3 соответственно, которые содержат приближенные значения переменных.

Для решения системы уравнений следует выполнить команду и заполнить диалоговые окна, как показано на рис 5.6.

рис 5.6

В такой постановке одно из уравнений системы (любое) выступает как целевая функция, а два других как ограничения. После щелчка на кнопке ОК в клетках А3, В3 и С3 получим решение системы уравнений (рис 5.7).

рис 5.7

Таким образом получаем, что решениями системы уравнений являются следующие значения: А=3, 28 В=0, 12 и С=-0, 37.

Здесь, как и в ранее приведенных примерах, большое значение имеет выбор начального приближения, который может обусловить не только нахождение разных решений, но и не обеспечить нахождения ни одного. Это еще раз говорит о необходимости тщательного выбора начального приближения решения. Что можно сделать исходя из косвенных знаний об области расположения интересующего нас решения или владея методами отделения корней.

Список литературы