И общие указания к их выполнению

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

" МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ

СООБЩЕНИЯ» (МГУПС ((МИИТ))

НИЖЕГОРОДСКИЙ ФИЛИАЛ

УТВЕРЖДАЮ: Директор Хомов А.В.     «___» ____________2016 г.

 

Автор Катаева Лилия Юрьевна

 

Методические рекомендации

по самостоятельной работе студентов

по дисциплине

Математическое моделирование систем и процессов

Специальность 23.05.05 (190901.65)

 Системы обеспечения движения поездов

 

Специализация: «Автоматика и телемеханика

на железнодорожном транспорте»

 

Утверждено на заседании методической комиссии   Протокол № ______________ «___» ______________ 2016 г.

 

Нижний Новгород 2016 г.

 

Место дисциплины в структуре

основной образовательной программы

Дисциплина входит в базовую часть математического и научно-инженерного цикла дисциплин специальности и является обязательной для изучения.

Цель изучения дисциплины

Дисциплина «Математическое моделирование систем и процессов» имеет цель формирования у студентов теоретических и практических знаний математического аппарата, необходимого для исследования сложных процессов и систем на основе метода математического моделирования.

Изучаемая дисциплина развивает логическое мышление, повышает общий уровень фундаментальной и профессиональной подготовленности специалиста, его инженерно-техническую культуру.

 

Требования к результатам освоения дисциплины

в рамках самостоятельной работы*

В результате изучения курса «Математическое моделирование систем и процессов» студент должен:

Знать:

- основные понятия моделирования и теории подобия, теоретические положения и методику экспериментальных исследований, используемых для построения математических моделей.

Уметь:

- применять методы подхода к математическому моделированию процессов и объектов, начиная с постановки задачи и кончая составлением программ и практической реализацией математических моделей.

Владеть:

- навыками постановки задачи моделирования, математического описания моделируемого процесса (объекта), разработки численных методов реализации моделей.

Компетенции, формируемые при изучении дисциплины

 «Математическое моделирование систем и процессов»

После изучения дисциплины “ Математическое моделирование систем и процессов” студент должен быть компетентен в следующих вопросах:

Общекультурные компетенции

- владеет готовностью к кооперации с коллегами, работе в коллективе на общий результат, способностью к личностному развитию и повышению профессионального мастерства; умением разрешать конфликтные ситуации, оценивать качества личности и работника; (ОК 7);

Профессиональные компетенции:

- владеть способностью применять методы математического анализа и моделирования (ПК-1);

- владеть способностью приобретать новые математические знания, используя современные образовательные и информационные технологии (ПК-3).

Виды самостоятельной работы студентов

Разделы и темы	Всего часов по учебному плану	Виды работы	Формируемые компетенции
Тема 1. Введение в математическое моделирование	50	Выполнение контрольной работы	ОК 7, ПК-1, ПК-3
Тема 2. Математическое программирование	50	Выполнение контрольной работы	ОК 7, ПК-1, ПК-3
Тема 3. Вычислительные методы в инженерных расчетах	45	Выполнение контрольной работы	ОК 7, ПК-1, ПК-3
ИТОГО	145

 

Методические рекомендации по работе с литературой

При самостоятельной работе с литературой и изучением теоретического материала студентам рекомендуется составить конспект вопросов, приведенных в таблице.

Разделы и темы для самостоятельного изучения	Вопросы для самостоятельного изучения
Тема 1. Основные понятия математического моделирования	Основные понятия и определения. Задачи моделирования физических процессов и технологических систем. Математическая модель объекта моделирования; классификация моделей; основные этапы моделирования, требования, предъявляемые к математическим моделям.
Тема 2. Теория вероятностей. Случайные величины и законы их распределения	Задачи линейного программирования. Основная задача линейного программирования. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Транспортная задача. Задачи нелинейного программирования. Метод множителей Лагранжа. Градиентные методы оптимизации. Динамическое программирование. Понятие об оптимальном управлении. Принцип оптимальности.
Тема 3. Элементы математической статистики	Основы теории погрешностей. Численные методы решения скалярных уравнений. Численные методы решения систем линейных и нелинейных уравнений. Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов. Интерполирование функций. Численное интегрирование. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Численные методы решения систем уравнений в частных производных.

 

Часть вопросов, которые студенты изучают самостоятельно, выносятся на экзамен, в качестве экзаменационных вопросов, а часть могут быть использованы в качестве дополнительных вопросов при проведении экзамена.

 

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы

Цель контрольной работы:

- закрепление и углубление теоретических знаний о математическом моделировании систем и процессов

 

Задачи выполнения контрольной работы:

- самостоятельное изучение соответствующей темы учебной дисциплины;

- формирование навыка самостоятельной работы по подбору и обработке литературы.

 

Контрольная работа представляет собой набор задач, которые необходимо решить, после чего продемонстрировать на защите понимание материала, необходимого для решения задач.

Задание на контрольные работы

И общие указания к их выполнению

Контрольная работа №1

 Задание 1

1.1. Графически и аналитически решить задачу максимизации целевой функции Z. Исходные данные необходимо выбрать из таблицы 1 в соответствии со своим вариантом.

Таблица 1

Вар.	ЦФ	Ограничения	Вар.	ЦФ	Ограничения
1	Z=4х1+4, 5х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 3х1+2х2 ≤ 15 х1+2х2 ≤ 9	6	Z=х1+х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 4х1+13х2 ≤ 84, 5 3х1+х2 ≤ 24
2	Z=3х1+5х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 3х1+8х2 ≤ 40 7х1+4х2 ≤ 42	7	Z=3х1+1, 5х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 3х1+4х2 ≤ 14 8х1+х2 ≤ 18
3	Z=2х1+2х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 х1+3х2 ≤ 12 7х1+х2 ≤ 34	8	Z=3х1+4х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 х1+3х2 ≤ 13, 5 8х1+3х2 ≤ 24
4	Z=4х1+3х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 4х1+9х2 ≤ 54 4х1+х2 ≤ 22	9	Z=5х1+6х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 х1+2х2 ≤ 13 6х1+х2 ≤ 34
5	Z=5х1+3х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 5х1+4х2 ≤ 28 4х1+х2 ≤ 18	1 0	Z=1, 5х1+х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 х1+5х2 ≤ 12, 5 8х1+3х2 ≤ 26

 

1.2. Выполнить предыдущий пункт, используя приложение MS Excel. Сравнить полученные в пунктах 1.1 и 1.2 результаты, сделать выводы.

 

Задание 2

2.1. Графически и аналитически решить задачу максимизации целевой функции Z согласно варианту. Исходные данные приведены в таблице 2.

Таблица 2

Вар.	ЦФ	Ограничения	Вар.	ЦФ	Ограничения
1	Z=6х1+2х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 х1+10х2 ≤ 35 3х1+х2 ≤ 18	9	Z=4х1+1, 5х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 4х1+5х2 ≤ 30 8х1+3х2 ≤ 32
2	Z=0, 6х1+х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 3х1+5х2 ≤ 25 7х1+х2 ≤ 21	10	Z=х1+1, 6х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 5х1+8х2 ≤ 52 5х1+2х2 ≤ 28
3	Z=2, 5х1+х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 х1+3х2 ≤ 10, 5 5х1+2х2 ≤ 33	11	Z=7, 4х1+3, 7х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 2х1+3х2 ≤ 9 2х1+х2 ≤ 7
4	Z=18х1+14х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 9х1+7х2 ≤ 49 3х1+х2 ≤ 13	12	Z=1, 5х1+6х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 х1+4х2 ≤ 18 8х1+5х2 ≤ 36
5	Z=6х1+2х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 5х1+6х2 ≤ 33 3х1+х2 ≤ 12	13	Z=х1+0, 8х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 4х1+9х2 ≤ 40, 5 5х1+4х2 ≤ 32, 5
6	Z=0, 5х1+2х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 х1+4х2 ≤ 12 6х1+7х2 ≤ 38	14	Z=5х1+15х2	х1≥ 0, х2≥ 0 х1+3х2 ≤ 10, 5 8х1+3х2 ≤ 42
7	Z=6х1+2х2	х1≥ 0, х2≥ 0 х1+9х2 ≤ 56, 5 3х1+х2 ≤ 13, 5	15	Z=2х1+0, 4х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 5х1+6х2 ≤ 25 5х1+х2 ≤ 12, 5
8	Z=3, 5х1+7х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 х1+2х2 ≤ 12 8х1+7х2 ≤ 60	16	Z=1, 5х1+12х2	х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 х1+8х2 ≤ 56 3х1+х2 ≤ 18, 5

 

2.2. Выполнить первый пункт задания, используя приложение MS Excel. По полученным результатам сделать выводы.

 

Задание 3

3.1. Графически и аналитически поочередно решить задачи максимизации трех целевых функций Z₁, Z₂, Z₃ при одинаковых ограничениях. Исходные данные необходимо взять из таблицы 3 в соответствии с вариантом.

 

Таблица 3

Вар.	ЦФ	Ограничения
1	Z1=0, 2х1+1, 6х2	х1≥ 0, х2≥ 0 х1+8х2≤ 36 2х1+3х2≤ 20
	Z2=х1+1, 5х2
	Z3=х1+3х2
2	Z1=6х1+22х2	х1≥ 0, х2≥ 0 3х1+11х2≤ 44 5х1+6х2≤ 42, 5
	Z2=х1+1, 2х2
	Z3=4х1+7х2
3	Z1=1, 2х1+2х2	х1≥ 0, х2≥ 0 3х1+5х2≤ 22, 5 2х1+х2≤ 8
	Z2=6х1+3х2
	Z3=18х1+13, 5х2
4	Z1=1, 5х1+2х2	х1≥ 0, х2≥ 0 3х1+4х2≤ 28 11х1+3х2≤ 38, 5
	Z2=22х1+6х2
	Z3=3х1+2х2
5	Z1=4х1+12х2	х1≥ 0, х2≥ 0 х1+3х2≤ 19, 5 3х1+х2≤ 22, 5
	Z2=51х1+17х2
	Z3=12х1+10х2
6	Z1=0, 6х1+х2	х1≥ 0, х2≥ 0 3х1+5х2≤ 35 11х1+2х2≤ 38, 5
	Z2=22х1+4х2
	Z3=8х1+5х2
7	Z1=5, 5х1+11х2	х1≥ 0, х2≥ 0 х1+2х2≤ 15 8х1+5х2≤ 76
	Z2=4х1+2, 5х2
	Z3=5х1+7х2
8	Z1=3х1+10, 5х2	х1≥ 0, х2≥ 0 2х1+7х2≤ 56 7х1+5х2≤ 59, 5
	Z2=14х1+10х2
	Z3=5х1+6х2
9	Z1=2х1+22х2	х1≥ 0, х2≥ 0 х1+11х2≤ 71, 5 2х1+х2≤ 17
	Z2=17х1+8, 5х2
	Z3=4х1+7х2
10	Z1=10х1+18х2	х1≥ 0, х2≥ 0 5х1+9х2≤ 67, 5 5х1+х2≤ 47, 5
	Z2=х1+0, 2х2
	Z3=6х1+3х2
11	Z1=4, 5х1+13, 5х2	х1≥ 0, х2≥ 0 х1+3х2≤ 18 9х1+2х2 ≤ 49, 5
	Z2=18х1+4х2
	Z3=6х1+11х2
12	Z1=7х1+21х2	х1≥ 0, х2≥ 0 х1+3х2≤ 10, 5 6х1+5х2≤ 24
	Z2=1, 2х1+х2
	Z3=6х1+13х2
13	Z1=3, 5х1+3х2	х1≥ 0, х2≥ 0 7х1+6х2≤ 45 8х1+х2≤ 28
	Z2=4х1+0, 5х2
	Z3=7х1+3х2
14	Z1=х1+1, 8х2	х1≥ 0, х2≥ 0 5х1+9х2≤ 54 7х1+2х2≤ 38, 5
	Z2=14х1+4х2
	Z3=4х1+5х2
15	Z1=1, 5х1+2х2	х1≥ 0, х2≥ 0 3х1+4х2≤ 34 4х1+х2≤ 28
	Z2=6х1+1, 5х2
	Z3=13, 5х1+4, 5х2
16	Z1=10х1+15х2	х1≥ 0, х2≥ 0 2х1+3х2≤ 25, 5 11х1+2х2≤ 60, 5
	Z2=22х1+4х2
	Z3=5х1+5х2

 

 

3.2. Выполнить предыдущий пункт, используя приложение MS Excel. Сравнить полученные результаты, на основании чего сделать выводы.

 

Задание 4

4.1. Графически и аналитически решить задачу максимизации целевой функции Z. Найти оптимальное решение с учетом стоимости ресурсов. Исходные данные для каждого варианта приведены в таблице 4.

Таблица 4

 

Вар.	ЦФ	Ограничения	Стоимость ресурсов
1	Z=2, 4х1+2х2	2х1+5х2≤ 35 6х1+х2≤ 33 6х1+5х2≤ 45 х1≥ 0, х2≥ 0	c1 = 7, 2 c2 = 5, 5 c3 = 8
2	Z=1, 8х1+х2	х1≥ 0, х2≥ 0 5х1+11х2≤ 99 4х1+х2≤ 34 9х1+5х2≤ 82	c1 = 2, 5 c2 = 24 c3 = 8, 7
3	Z=6х1+8х2	х1≥ 0, х2≥ 0 3х1+8х2≤ 80 14х1+5х2≤ 119 3х1+4х2≤ 46	c1 = 19 c2 = 7 c3 = 6, 1
4	Z=0, 8х1+х2	х1≥ 0, х2≥ 0 х1+3х2≤ 19, 5 4х1+х2≤ 20 4х1+5х2≤ 36	c1 = 17 c2 = 6, 2 c3 = 5
5	Z=9х1+13, 5х2	х1≥ 0, х2≥ 0 х1+7х2≤ 52, 5 2х1+х2≤ 20 2х1+3х2≤ 28	c1 = 12 c2 = 10, 4 c3 = 3
6	Z=36х1+30х2	х1≥ 0, х2≥ 0 5х1+9х2≤ 51 2х1+х2≤ 12 6х1+5х2≤ 38	c1 = 3 c2 = 28, 5 c3 = 11
7	Z=6х1+9х2	х1≥ 0, х2≥ 0 2х1+9х2≤ 68 7х1+2х2≤ 48, 5 2х1+3х2≤ 26	c1 = 7, 5 c2 = 4 c3 = 5, 8
8	Z=13, 4х1+6, 7х2	х1≥ 0, х2≥ 0 2х1+3х2≤ 27 8х1+х2≤ 59 2х1+х2≤ 17	c1 = 22 c2 = 14, 5 c3 = 10, 2
9	Z=2х1+6х2	х1≥ 0, х2≥ 0 х1+9х2≤ 71 13х1+6х2≤ 123, 5 х1+3х2≤ 26	c1 = 8, 8 c2 = 9, 5 c3 = 6
10	Z=1, 6х1+2х2	х1≥ 0, х2≥ 0 6х1+13х2≤ 91 3х1+х2≤ 29 4х1+5х2≤ 46	c1 = 9, 5 c2 = 20 c3 = 12
11	Z=22х1+14х2	х1≥ 0, х2≥ 0 3х1+8х2≤ 76 5х1+х2≤ 40 11х1+7х2≤ 100	c1 = 2 c2 = 6, 4 c3 = 12, 7
12	Z=14х1+8х2	х1≥ 0, х2≥ 0 2х1+5х2≤ 45 9х1+2х2≤ 49, 5 7х1+4х2≤ 49, 5	c1 = 10 c2 = 14 c3 = 9
13	Z=1, 4х1+х2	х1≥ 0, х2≥ 0 х1+3х2≤ 27 3х1+х2≤ 33 7х1+5х2≤ 85	c1 = 10, 5 c2 = 10, 5 c3 = 18
14	Z=х1+0, 6х2	х1≥ 0, х2≥ 0 х1+4х2≤ 25 6х1+х2≤ 30 5х1+3х2≤ 31, 5	c1 = 9 c2 = 11 c3 = 2
15	Z=18х1+9х2	х1≥ 0, х2≥ 0 3х1+4х2≤ 34 7х1+х2≤ 41 2х1+х2≤ 13, 5	c1 = 16 c2 = 18 c3 = 12, 5
16	Z=2х1+1, 2х2	х1≥ 0, х2≥ 0 2х1+5х2≤ 32, 5 5х1+х2≤ 46 5х1+3х2≤ 48	c1 = 8 c2 = 15, 1 c3 = 17

Примечание.

Символами с₁, с₂ и с₃ обозначены стоимости соответственно первого, второго и третьего ресурсов b₁, b₂ и b₃.

 

4.2. Выполнить предыдущий пункт, используя приложение MS Excel. По полученным в двух пунктах результатам сделать выводы.

 

Задание 5

С помощью математической системы MathCad или Excel максимизировать целевую функцию Z, приведенную в таблице 5. По результатам расчета построить трехмерный график, на котором изобразить плоскости ограничений и плоскость рассчитанной ЦФ. На графике показать точку оптимума.

Таблица 5

Вар.	ЦФ	Ограничения
1	Z=9х1+10х2+16х3	18х1+15х2+12х3≤ 360 6х1+4х2+8х3≤ 192 -10х1+3х2+3х3≤ 30 х1≥ 0, х2≥ 0, х3≥ 0
2	Z=7х1+12х2+14 х3	28х1+25х2+22х3≤ 560 4х1-40х2+6х3≤ 100 -10х1+30х2+5х3≤ 50 х1≥ 0, х2≥ 0, х3≥ 0
3	Z=2х1+3х2+4х3	-5х1+6х2+7х3≤ 20 8х1-9х2+10х3≤ 30 11х1+12х2-13х3≤ 40 х1≥ 0, х2≥ 0, х3≥ 0
4	Z=3х1+4х2+2х3	15х1-16х2+17х3≤ 120 -18х1+19х2+20х3≤ 130 21х1+22х2-23х3≤ 140 х1≥ 0, х2≥ 0, х3≥ 0
5	Z=3х1+4х2+2х3	15х1+16х2-17х3≤ 120 18х1-19х2+20х3≤ 130 -21х1+22х2+23х3≤ 140 х1≥ 0, х2≥ 0, х3≥ 0
6	Z=7х1+12х2+14х3	48х1+25х2+22х3≤ 500 4х1-20х2+6х3≤ 20 -10х1+10х2+5х3≤ 50 х1≥ 0, х2≥ 0, х3≥ 0
7	Z=8х1+11х2+15х3	50х1+26х2-20х3≤ 30 4х1-20х2+6х3≤ 20 -10х1+10х2+5х3≤ 50 х1≥ 0, х2≥ 0, х3≥ 0
8	Z=10х1+20х2+30х3	-30х1+40х2+50х3≤ 70 10х1-20х2+20х3≤ 30 20х1+30х2-40х3≤ 50 х1≥ 0, х2≥ 0, х3≥ 0
9	Z=15х1+25х2+35х3	30х1+40х2-50х3≤ 70 10х1-20х2+20х3≤ 30 -20х1+30х2+40х3≤ 50 х1≥ 0, х2≥ 0, х3≥ 0
10	Z=10х1+5х2+45х3	30х1+40х2-50х3≤ 70 10х1-20х2+20х3≤ 30 -20х1+30х2+40х3≤ 50 х1≥ 0, х2≥ 0, х3≥ 0
11	Z=5х1+5х2+5х3	20х1+20х2-20х3≤ 120 30х1-30х2+30х3≤ 80 -40х1+40х2+40х3≤ 90 х1≥ 0, х2≥ 0, х3≥ 0
12	Z=12х1+12х2+12х3	12х1+13х2-14х3≤ 12 24х1-25х2+24х3≤ 24 -48х1+48х2+49х3≤ 48 х1≥ 0, х2≥ 0, х3≥ 0
13	Z=13х1+12х2+14х3	13х1+18х2-19х3≤ 120 24х1-25х2+24х3≤ 240 -48х1+30х2+49х3≤ 480 х1≥ 0, х2≥ 0, х3≥ 0
14	Z=14х1+12х2+14х3	14х1+18х2-19х3≤ 150 21х1-25х2+24х3≤ 240 -48х1+30х2+56х3≤ 180 х1≥ 0, х2≥ 0, х3≥ 0
15	Z=15х1+12х2+14х3	15х1+18х2-31х3≤ 150 21х1-25х2+28х3≤ 24 -48х1+30х2+56х3≤ 18 х1≥ 0, х2≥ 0, х3≥ 0
16	Z=16х1+22х2+11х3	18х1+2х2-20х3≤ 204 16х1-2х2+77х3≤ 31 -48х1+10х2+11х3≤ 204 х1≥ 0, х2≥ 0, х3≥ 0

 

 

Задание 6

С помощью математической системы MathCad или Excel решить транспортную задачу. Исходные данные приведены в таблице 6.

Таблица 6

Вар.	Матрица стоимости перевозок	Матрицы предложения (а) и спроса ( b )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

 

 

Задание 7

С помощью математической системы MathCad или Excel повторно решить задачу 1 (табл.1). Сопоставить результаты с результатами, полученными в п.п. 1.1 и 1.2.

 

Задание 8

Составить программу для решения задачи ЛПР с помощью симплекс-метода. Произвести расчет задачи ЛПР (табл.1). Программу и результат поместить в отчет.

Пример графического и аналитического решения задачи ЛПР

Пусть дана целевая функция (ЦФ) Z=5х₁+7х₂, а также ограничения:

х₁+4х₂≤ 16,

5х₁+х₂≤ 23,

х₁≥ 0,

х₂≥ 0.

Требуется максимизировать ЦФ.

Чтобы найти решение графически, вначале следует изобразить многоугольник (полигон) допустимых решений. Для этого, используя первое ограничение, вначале запишем уравнение х₁+4х₂=16. Оно получено из неравенства заменой знака «≤ » на знак «=».

Для построения прямой линии х₁+4х₂=16 достаточно двух точек. Первую точку удобно взять при х₁ = 0, а вторую точку при х₂ = 0.

Используя второе ограничение, аналогично строят прямую линию 5х₁+х₂=23.

Нетрудно заметить, что прямые х₁=0 и х₂=0 (третье и четвертое ограничения) являются осями координат х₁ и х₂.

Отметим стрелками полуплоскости, которые удовлетворяют заданным неравенствам. Область, удовлетворяющая всем четырем неравенствам, будет областью (полигоном) допустимых решений. На рис. 1 полигон допустимых решений показан светло-серым цветом.

Теперь построим график ЦФ, приравняв Z к нулю (можно взять любое число). Обозначим этот график символами Z₀.

Для максимизации ЦФ будем перемещать прямую линию в направлении градиента возрастания ЦФ до тех пор, пока прямая линия не достигнет границы полигона допустимых решений. Из рисунка 1 видно, что оптимум находится в точке A. Запишем приблизительные координаты этой точки: х₁ = 4, х₂ = 3.

На основании приближенного графического решения задачи ЛПР найдём точный ответ аналитически. Для этого используем метод подстановок. Из рисунка 1 видно, что точка оптимума находится на пересечении двух прямых:

х₁+4х₂=16,

5х₁+х₂=23.

Для точного определения координат выразим в первом уравнении х₁ через х₂:

х₁=16-4х₂.

Подставим значение х₁ во второе уравнение и определим неизвестные величины:

5·(16-4х₂)+х₂=23.

80-20х₂+х₂=23.

19х₂=57.

х₂=3.

х₁=16-4х₂=16-4·3.

х₁=4.

 

Полученные значения х₁ и х₂ подставляем в ЦФ:

Z=5х₁+7х₂=5·4+7·3

Таким образом, максимальное значение ЦФ Z=41.

 

 

Рис. 1. Полигон допустимых решений

 

В ответ записываем значения х₁ = 4, х₂ = 3 и Z = 41.

 

Пример решения задачи ЛПР с использованием приложения MS Excel

Решим предыдущую задачу с помощью приложения MS Excel. Для этого создадим таблицу, в которую запишем формулы, начальные значения и пояснения:

 

 

Примечание.

 Чтобы увидеть формулы в ячейках электронной таблицы, нужно последовательно активизировать пункты меню Сервис – Параметры. В появившемся меню следует выбрать вкладку Вид, и в Параметрах окна поставить флажок напротив слова формулы. Чтобы обратно переключиться в режим, показывающий значения вместо формул, необходимо этот флажок убрать.

В ячейках B1 и B2 находятся исходные (начальные) значения х₁ и х₂ соответственно. Эти числа могут быть практически любыми.

В ячейку B3 записана формула данной ЦФ (целевая функция определена в исходных данных).

В ячейки D2 и D3 занесены ограничения (только левая их часть, до знака «≤ »). Условия неотрицательности (х₁≥ 0, х₂≥ 0) в таблицу не заносятся – они будут указаны при поиске решения.

Теперь в меню Сервис выбираем пункт Поиск решения… Появляется диалоговое окно, которое заполняем следующим образом:

 

 

В поле Установить целевую ячейку указываем ячейку B3, содержащую формулу ЦФ. Так как необходимо максимизировать ЦФ, то переключатель Равной следует установить в положение максимальному значению.

В поле Изменяя ячейки указываем ячейки с начальными значениями х₁ и х₂. В поле Ограничения заносим условия неотрицательности (х₁≥ 0, х₂≥ 0). Также здесь указываем ячейки с ограничениями, вписывая их значение после знака «≤ ».

Нажимаем кнопку Выполнить, после чего выбираем Сохранить найденное решение.

После этого в электронной таблице в соответствующих полях появятся координаты х₁ и х₂ точки оптимума и значение ЦФ:

 

Как видим, в данном случае аналитическое решение задачи и ее решение с помощью Ms Excel дали одинаковый ответ.

Начало блока вычислений

Given

Опишем ограничения:

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

x3 ≥ 0

19x1 + 20x2 – 21x3 ≤ 125

31x1 - 29x2 + 32x3 ≤ 85

-42x1 + 40x2 + 38x3 ≤ 80

Выполним операцию максимизации:

P: = Maximize(Z, x1, x2, x3)

Выведем на экран значения найденных переменных:

Вычислим целевую функцию:

Z(P₀, P₁, P₂) = 61.132

 

Итак, оптимальные значения переменных: х1 = 4, 485, х2 = 4, 467, x3 = 2, 36. Максимальное значение ЦФ Z = 61, 132.

Построим трехмерный график, который показывает ограничения и оптимальное положение целевой функции.

Присвоим значение ЦФ переменной R:

R: = Z(P₀, P₁, P₂)

Создадим циклы для изменения переменных х₁ и х₂:

x1: =0..P₀ + 5

x2: =0..P₁ + 5

Выразим переменную х₃ из трех ограничений и целевой функции:

 

 

 

 

 

Организованы циклы

t_j: = 1     l_i: = 1

 

Введен вектор запасов

 

Введен вектор спроса

 

Введена целевая функция

x_{m, n}: =0

Given

x ≥ 0

x: =Minimize(Z, x)

 

Решение.

Z=[-1.1; -1.2];

A=[2 1; 0.75 1];

b=[8; 6];

[x, Zval]=linprog(Z, A, b)

Optimization terminated successfully.

x =

     1.6000

     4.8000

Zval =

-7.5200

 

Таким образом, оптимальные значения х₁= 1.6, х₂=4.8. Максимальное значение целевой функции f = 7, 52. При записи ответа знак целевой функции изменен на противоположный.

В данной программе символом Z обозначена ЦФ, символом А – матрица условий, символом b – вектор ограничений. Поиск оптимального плана осуществляется с помощью функции linprog.

Контрольная работа №2

1–10. Среднее число вызовов, поступающих на станцию скорой помощи за один час, равно . Поток вызовов простейший. Найти:

а) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины T – интервала времени между двумя последовательными вызовами в потоке;

б) вероятность того, что за t минут поступит: mвызовов; менееm   вызовов; не менее m вызовов.

1.  = 60,      t = 6,       m = 3.

2.  = 40,      t = 6,       m = 4.

3.  = 30,      t = 10,              m = 2.

4.  = 15,      t = 12,              m = 4.

5.  = 30,      t = 4,            m = 3.

6.  = 20,      t = 9,       m = 3.

7.  = 35,      t = 12,              m = 4.

8.  = 25,      t = 12,              m = 3.

9.  = 10,      t = 24,              m = 2.

10.  = 50,              t = 6,       m = 4.

 

11–20. Электронное устройство работает в ждущем режиме и переключается очередным импульсом. Поток импульсов является потоком Эрланга k – го порядка с интенсивностью  импульсов в час. В случайный момент времени устройство включается в сеть и ждет первого очередного импульса. Найти плотность распределения вероятностей времени ожидания очередного импульса и построить ее график. Вычислить вероятность того, что устройство останется в ждущем режиме не более t минут. Ответ дать с тремя десятичными знаками.

Указание: плотность распределения времени ожидания первого очередного события для потока Эрланга k – го порядка имеет вид

f ( x )= ,

123Следующая ⇒

Поделиться: