Методические указания к заданию 4.1

 

Особенностью задач этого пункта является тот факт, что бывают случаи, когда в разных точках оптимального для целевой функции отрезка экономятся разные ресурсы. Чтобы выбрать оптимальный вариант плана производства, нужно учитывать стоимость сберегаемых ресурсов.

Пусть в качестве исходных данных дана таблица:

 

ЦФ	Ограничения	Стоимость ресурсов
Z=1, 8х1+х2	х1≥ 0, х2≥ 0 х1+7х2≤ 49 4х1+х2≤ 26 9х1+5х2≤ 64	c1 = 11 c2 = 60 c3 = 22

 

Символами с₁, с₂ и с₃ обозначены стоимости соответственно первого, второго и третьего ресурсов b₁, b₂ и b₃.

Требуется максимизировать ЦФ.

 

Порядок графического решения этой задачи аналогичен предыдущим решениям и не требует дополнительных пояснений. Результат построений показан на рисунке 3.

Из рисунка видно, что график ЦФ параллелен графику ограничения 9х₁+5х₂≤ 64, обозначенному на рис.3 цифрой 3. Как мы знаем, в этом случае решением задачи без учета экономии ресурсов является любая точка отрезка AB. На отрезке AB целевая функция максимальна: Z=12, 8 (порядок расчета см. в методических указаниях к заданию 1.1). Однако, необходимо узнать, в какой точке отрезка AB достигается максимальная экономия ресурсов с учетом их стоимости (максимальная экономия денежных средств).

 

 

Рис. 3. Иллюстрация задачи с учетом стоимости ресурсов

 

Так как все функции линейны, оптимальное решение может находиться только на концах отрезка AB. Определим экономию ресурсов в точках A и B.

Подставим координаты точки A в каждое ограничение (кроме условий неотрицательности).

Определим расход ресурса b₁:

b₁=х₁+7х₂=3, 5+7·6, 5=49 единиц. Экономии этого ресурса в точке A нет.

Найдем расход ресурса b₂:

b₂=4х₁+х₂=4·3, 5+6, 5=20, 5 единиц. Экономия составляет 26-20, 5=5, 5 единиц.

Оценим расход ресурса b₃:

b₃=9х₁+5х₂=9·3, 5+5·6, 5=64 единицы. Экономии ресурса нет.

 

Подсчитаем теперь расход ресурсов b₁, b₂ и b₃ в точке B.

b₁=х₁+7х₂=6+7·2=20 единиц. Экономия составляет 49-20=29 единиц.

b₂=4х₁+х₂=4·6+2=26 единиц. Экономии ресурса нет.

b₃=9х₁+5х₂=9·6+5·2=64 единицы. Экономии ресурса нет.

 

Как мы видим, в точке A можно сэкономить 5, 5 единиц ресурса b₂. Его стоимость c₂ согласно условию задачи равна: c₂ = 60. Следовательно, экономия составит 5, 5·60=330 (например, рублей).

В точке B можно сэкономить 29 единиц ресурса b₁. Его стоимость c₁ равна: c₁ = 11. Экономия составит 29·11=319 (рублей).

В точке A экономия больше.

Вывод: расход на ресурсы минимален при х₁=3, 5 и х₂=6, 5. В этой точке можно сэкономить 330 рублей. При этом целевая функция Z=12, 8.

 

 

Методические указания к заданию 4.2

 

Решим рассмотренный в методических указаниях к заданию 4.1 пример с помощью приложения MS Excel.

Решение производится в два этапа. Сначала мы найдем максимальное значение ЦФ, а после этого – точку оптимума с учетом максимальной экономии денежных средств.

Составим таблицу:

 

 

Пояснения к данным такой таблицы есть в методических указаниях к заданию 1.2. Окно Поиск решения заполним следующим образом:

 

 

В результате выполнения этой операции MS Excel найдет максимальное значение Z (Z=12, 8), а также координаты х₁ и х₂ точки, принадлежащей отрезку AB. Как было отмечено выше, приложение MS Excel не учитывает экономию ресурсов при поиске решений.

После этого дополним нашу таблицу строкой «Расход денежных средств»:

 

 

В этой строке записана формула общего расхода денежных средств. Количество единиц каждого ресурса, умноженное на его стоимость, составит расход на этот ресурс. Расходы на все три ресурса складываются. Эта сумма составляет общий расход, который необходимо минимизировать при условии максимума целевой функции.

Примечание. Перед выполнением следующей операции желательно «сбросить» значения х₁ и х₂ (например, записать нули) в ячейках B1 и B2.

Теперь в окне Поиск решения в качестве ЦФ укажем расход денежных средств, установим переключатель Равной в положение минимальному значению и добавим еще одно ограничение: целевая функция Z равна 12, 8. Окно будет выглядеть следующим образом:

 

 

Найденные координаты точки оптимума, как видим, совпадают с аналитическими расчетами:

 

 

Методические указания к заданию 5

Задачи математического программирования можно решать с помощью системы Mathcad. Ниже приведен пример программы с комментариями (полужирный шрифт).

 

Зададим ЦФ:

Z(x1, x2, x3): = 5.2x1 +5.4x2 + 5.8x3

Зададим произвольные начальные значения переменным:

x1: = 0

x2: = 0

x3: = 0

Начало блока вычислений

Given

Опишем ограничения:

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

x3 ≥ 0

19x1 + 20x2 – 21x3 ≤ 125

31x1 - 29x2 + 32x3 ≤ 85

-42x1 + 40x2 + 38x3 ≤ 80

Выполним операцию максимизации:

P: = Maximize(Z, x1, x2, x3)

Выведем на экран значения найденных переменных:

Вычислим целевую функцию:

Z(P₀, P₁, P₂) = 61.132

 

Итак, оптимальные значения переменных: х1 = 4, 485, х2 = 4, 467, x3 = 2, 36. Максимальное значение ЦФ Z = 61, 132.

Построим трехмерный график, который показывает ограничения и оптимальное положение целевой функции.

Присвоим значение ЦФ переменной R:

R: = Z(P₀, P₁, P₂)

Создадим циклы для изменения переменных х₁ и х₂:

x1: =0..P₀ + 5

x2: =0..P₁ + 5

Выразим переменную х₃ из трех ограничений и целевой функции:

 

 

 

 

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: