Основные особенности исследования операций.

 

1. Системный подход к анализу поставленной проблемы. Системный подход, или системный анализ, является основным методологическим принципом исследования операций, который состоит в следующем. Любая задача, какой бы частной она не казалась на первый взгляд, рассматривается с точки зрения ее влияния на критерий функционирования всей системы. Выше системный подход был проиллюстрирован на примере задачи управления запасами.

2. Для исследования операций характерно, что при решении каждой проблемы возникают все новые и новые задачи. Поэтому если сначала ставятся узкие, ограниченные цели, применение операционных методов не эффективно. Наибольший эффект может быть достигнут только при непрерывном исследовании, обеспечивающем преемственность в переходе от одной задачи к другой.

3. Одной из существенных особенностей исследования операций является стремление найти оптимальное решение поставленной задачи. Однако часто такое решение оказывается недостижимым из-за ограничений, накладываемых имеющимися в наличии ресурсами (денежные средства, машинное время) или уровнем современной науки. Например, для многих комбинаторных задач, в частности задач календарного планирования при числе станков п > 4, оптимальное решение при современном развитии математики оказывается возможным найти лишь простым перебором вариантов. Тогда приходится ограничиваться поиском «достаточно хорошего», или субоптимального решения. Поэтому исследование операций один из его создателей — Т. Саати — определил как «...искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими методами».

4. Особенность операционных исследований состоит в том, что они проводятся комплексно, по многим направлениям. Для проведения такого исследования создается операционная группа. В ее состав входят специалисты разных областей знания: инженеры, математики, экономисты, социологи, психологи. Задачей создания подобных операционных групп является комплексное исследование всего множества факторов, влияющих на решение проблемы, и использование идей и методов различных наук.

Каждое операционное исследование проходит последовательно следующие основные этапы:

1) постановка задачи,

2) построение математической модели,

3) нахождение решения,

4) проверка и корректировка модели,

5) реализация найденного решения на практике.

В самом общем случае математическая модель задачи имеет вид:

найти

max Z=F(x, y) (1.1)

при ограничениях

, (1.2)

где Z=F(x, y) – целевая функция (показатель качества или эффективность) системы; х — вектор управляемых переменных; у — вектор неуправляемых переменных; Gi(x, y)— функция потребления i-го ресурса; bi — величина i-го ресурса (например, плановый фонд машинного времени группы токарных автоматов в станко-часах).

Определение 1. Любое решение системы ограничений задачи называется допустимым решением.

Определение 2. Допустимое решение, в котором целевая функция достигает своего максимума или минимума называется оптимальным решением задачи.

Для нахождения оптимального решения задачи (1.1)-(1.2) в зависимости от вида и структуры целевой функции и ограничений используют те или иные методы теории оптимальных решений (методы математического программирования).

1. Линейное программирование, если F(x, y),  — линейны относительно переменных х.

2. Нелинейное программирование, если F(x, y) или  — нелинейны относительно переменных х.

3. Динамическое программирование, если целевая функция F(x, y) имеет специальную структуру, являясь аддитивной или мультипликативной функцией от переменных х.

F(x)=F(x1, x2, …, xn) — аддитивная функция, если F(x1, x2, …, xn)= , и функция F(x1, x2, …, xn) — мультипликативная функция, если F(x1, x2, …, xn)= .

4. Геометрическое программирование, если целевая функция F(x) и ограничения  представляют собой функции вида

Математическая модель задачи в этом случае записывается в виде

при условиях ,

,

где I[0]=(m0, m0+1, …, n0); I[k]= (mk, mk+1, …, nk); mk+1=nk+1; m0=1; n0=n.

5. Стохастическое программирование, когда вектор неуправляемых переменных у случаен.

В этом случае математическая модель задачи (1.1—1.2) будет иметь

maxMyE=My{f(x, y)}

при ограничениях

или вероятностных ограничениях

где My — математическое ожидание по у; Р{gi (х)£ b} — вероятность того, что выполняется условие gi (х)£ b.

6. Дискретное программирование, если на переменные xj наложено условие дискретности (например, целочисленности): xj — целое, j=1, 2, …, n1£ п.

7. Эвристическое программирование применяют для решения тех задач, в которых точный оптимум найти алгоритмическим путем невозможно из-за огромного числа вариантов. В таком случае отказываются от поиска оптимального решения и отыскивают достаточно хорошее (или удовлетворительное с точки зрения практики) решение. При этом пользуются специальными приемами — эвристиками, позволяющими существенно сократить число просматриваемых вариантов. Эвристические методы также применяют, когда оптимальное решение в принципе может быть найдено (т.е. задача алгоритмически разрешима), однако для этого требуются объемы ресурсов, значительно превышающие наличные.

По содержательной постановке выделяют следующие типичные классы задач исследования операций:

1) управления запасами,

2) распределения ресурсов,

3) ремонта и замены оборудования,

4) массового обслуживания,

5) упорядочения,

6) сетевого планирования и управления,

7) выбора маршрута,

8) комбинированные.

Из перечисленных выше методов математического программирования наиболее развитым и законченным является линейное программирование. В его рамки укладывается широкий круг задач исследования операций.

 

Линейное программирование

 

Несмотря на требование линейности целевой функции и ограничений, в рамки линейного программирования укладываются задачи распределения ресурсов, управления запасами, сетевого и календарного планирования, транспортные задачи, задачи теории расписаний и т. д.

Определение оптимального ассортимента. Имеется р видов ресурсов в количествах а1, а2, ..., аi, ..., аp и q видов изделий. Задана матрица А=||aik||, где аik характеризует нормы расхода i-го ресурса на единицу k-го изделия (k = 1, 2, ..., q).

Эффективность выпуска единицы k-го изделия характеризуется показателем сi, удовлетворяющим условию линейности.

Определить план выпуска изделий (оптимальный ассортимент), при котором суммарный показатель эффективности принимает наибольшее значение.

Количество единиц k-го изделия, выпускаемых предприятием, обозначим хk. Тогда математическая модель задачи имеет такой вид:

найти

 (1.3)

при ограничениях

 (1.4)

Кроме ограничения по ресурсам (1.3), в модель могут быть введены дополнительные ограничения на планируемый выпуск продукции xj³ xj0, условия комплектности для сборки xi: хj: xk. = bi: bj: bk для всех i, j, k и т. д.

Оптимальное распределение взаимозаменяемых ресурсов. Имеются т видов взаимозаменяемых ресурсов а1, а2, ..., аi, ..., аm используемых при выполнении п различных работ в объеме b1, b2, …, bn.

Заданы числа lij, указывающие, сколько единиц j-й работы можно получить из единицы i-го ресурса, а также сij — затраты при изготовлении единицы j-го продукта из i-го ресурса.

Требуется распределить ресурсы по работам таким образом, чтобы суммарная эффективность была наибольшей (или суммарные затраты — наименьшими).

Данная задача называется общей распределительной задачей.

Количество единиц i-го ресурса, которое выделено для выполнения работ j-то вида, обозначим xij.

Математическая модель задачи такова:

найти

 (1.5)

при ограничениях

 (1.6)

 (1.7)

Ограничение (1.6) означает, что план всех работ должен быть выполнен полностью, а ограничение (1.7) — что ресурсы должны быть израсходованы целиком.

 

2. Математическая модель задачи линейного программирования (ЗЛП).

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: