Метод Симпсона (метод парабол)

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 8Следующая ⇒

Заменим график функции y = f(x) на отрезке [x_i, x_i+₁], i = 0, 2, …, n – 1, параболой, проведенной через точки (x_i, f(x_i)), (x , f(x )), (x_i+₁, f(x_i+₁)), где x - середина отрезка [x_i, x_i+₁]. Эта парабола есть интерполяционный многочлен второй степени L₂(x) с узлами x_i, x , x_i+₁. Нетрудно убедиться, что уравнение этой параболы имеет вид:

y = L₂(x) =

f(x ) + (x – x ) + (x - x )², (5.9)

где h = .

Проинтегрировав функцию (5.9) на отрезке [x_i, x_i+₁], получим

I_i= » = ( f(x_i) + 4f(x ) + f(x_i+₁)). (5.10)

Суммируя выражение (5.10) по i = 0, 1, 2, …, n – 1, получим квадратурную формулу Симпсона (или формулу парабол):

I = » I_С = ( f(x₀) + f(x_n) + 4 + 2 ). (5.11)

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 5.2. Пусть функция f имеет на отрезке [a, b] непрерывную производную четвертого порядка f⁽⁴⁾(x). Тогда для формулы Симпсона (5.9) справедлива следующая оценка погрешности:

| I – I_С | £ h⁴, (5.12)

где M₄ = | f⁽⁴⁾(x)|.

Замечание. Если число элементарных отрезков, на которые делится отрезок [a, b], четно, т.е. n = 2m, то параболы можно проводить через узлы с целыми индексами, и вместо элементарного отрезка [x_i, x_i+₁] длины h рассматривать отрезок [x_2i, x_2i+2] длины 2h. Тогда формула Симпсона примет вид:

I » (f(x₀) + f(x_2m) + 4 + 2 ), (5.13)

а вместо оценки (5.10) будет справедлива следующая оценка погрешности:

| I – I_С | £ h⁴, (5.14)

Пример 5.3.

Вычислим значение интеграла по формуле Симпсона (5.11) и сравним полученный результат с результатами примеров 5.1 и 5.2.

Используя таблицу значений функции e из примера 5.1 и производя вычисления по формуле Симпсона (5.11), получим:

I_С= 0.74682418.

Оценим погрешность полученного значения. Вычислим четвертую производную f⁽⁴⁾(x).

f⁽⁴⁾(x) = (16x⁴ – 48x² + 12) e , | f⁽⁴⁾(x)| £ 12.

Поэтому

| I – I_С| £ (0.1)⁴ » 0.42 × 10^-6.

Сравнивая результаты примеров 5.1, 5.2 и 5.3, видим, что метод Симпсона имеет меньшую погрешность, чем метод средних прямоугольников и метод трапеций.

Правило Рунге практической оценки погрешности

Оценки погрешности по формулам (5.4), (5.8) и (5.12) являются априорными. Они зависят от длины элементарного отрезка h, и при достаточно малом h справедливо приближенное равенство:

I – I^h » Ch^k, (5.15)

где I^h приближенное значение интеграла, вычисленное по одной из формул (5.3), (5.5), (5.9), C ¹ 0 и k > 0 – величины, не зависящие от h.

Если уменьшить шаг h в два раза, то, в соответствии с (5.15) получим:

I – I^h/² » Ch^k» ( I – I^h). (5.16)

Непосредственное использование оценок погрешности (5.4), (5.8) и (5.12) неудобно, так как при этом требуется вычисление производных функции f(x). В вычислительной практике используются другие оценки.

Вычтем из равенства (5.15) равенство (5.16):

I^h/² – I^h» Ch^k(2^k – 1). (5.17)

Учитывая приближенное равенство (5.16), получим следующее приближенное равенство:

I – I^h/²» . (5.18)

Приближенное равенство (5.18) дает апостериорную оценку погрешности. Вычисление этой оценки называется правилом Рунге. Правило Рунге – это эмпирический способ оценки погрешности, основанный на сравнении результатов вычислений, проводимых с разными шагами h.

Для формул прямоугольников и трапеций k = 2, а для формулы Симпсона k = 4. Поэтому для этих формул приближенное равенство (5.18) принимает вид:

I – I_пр » , (5.19)

I – I_тр » , (5.20)

I – I_С» . (5.21)

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления интеграла с заданной точностью e. Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значения в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение I . Вычисления прекращаются тогда, когда результаты двух последующих вычислений будут различаться меньше, чем на e.

Пример 5.4.

Найдем значение интеграла с точностью e = 10^-4, используя формулу трапеций и применяя вышеизложенную процедуру дробления шага. В примере 5.2 было получено значение I при h₁= 0.1, I^h =0.74621079. Уменьшим шаг вдвое: h₂ = 0.05 и вычислим I= 0.74667084, e₂ = ( I- I) = (0.74667084 – 0.74621079) » 1.5× 10^-4. Так как |e₂| > e, то снова дробим шаг: h₃ = 0.025, вычисляем I = 0.74678581, e₂ = ( I - I) = (0.74678581 – 0.74667084) » 4× 10^-5. Поскольку |e₃| < e, требуемая точность достигнута и I » 0.7468 ± 0.0001.

Тема 6. Численное решение дифференциальных уравнений

Постановка задачи Коши

Известно, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

y ' (t) = f(t, y(t)). (6.1)

Решением уравнения (6.1) является дифференцируемая функция y(t), которая при подстановке в уравнение (6.1) обращает его в тождество. На рис. 6.1 приведен график решения дифференциального уравнения (6.1). График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Рис. 6.1

Производную y'(t) в каждой точке (t, y) можно геометрически интерпретировать как тангенс угла a наклона касательной к графику решения, проходящего через эту точку, т е.: k = tg a = f(t, y).

Уравнение (6.1) определяет целое семейство решений. Чтобы выделить одно решение, задают начальное условие:

y(t₀) = y₀, (6.2)

где t₀ – некоторое заданное значение аргумента t, а y₀ – начальное значение функции.

Задача Коши заключается в отыскании функции y = y(t), удовлетворяющей уравнению (6.1) и начальному условию (6.2). Обычно определяют решение задачи Коши на отрезке, расположенном справа от начального значения t₀, т. е. для t Î [t₀, T].

Разрешимость задачи Коши определяет следующая теорема.

Теорема 6.1. Пусть функция f(t, y) определена и непрерывна при t₀ £ t £ T, - ¥ < y < ¥ и удовлетворяет условию Липшица:

| f(t, y₁) – f(t, y₂)| £ L| y₁ – y₂|,

где L некоторая постоянная, а y₁, y₂ – произвольные значения.

Тогда для каждого начального значения y₀ существует единственное решение y(t) задачи Коши для t Î [t₀, T].

Даже для простых дифференциальных уравнений первого порядка не всегда удается получить аналитическое решение. Поэтому большое значение имеют численные методы решения. Численные методы позволяют определить приближенные значения искомого решения y(t) на некоторой выбранной сетке значений аргумента t_i, (i = 0, 1, …). Точки t_i называются узлами сетки, а величина h_i = t_i₊₁ – t_i – шагом сетки. Часто рассматривают равномерные сетки, для которых шаг h_i постоянен, h_i = h = . При этом решение получается в виде таблицы, в которой каждому узлу сетки t_i соответствуют приближенные значения функции y(t) в узлах сетки y_i » y(t_i).

Численные методы не позволяют найти решение в общем виде, зато они применимы к широкому классу дифференциальных уравнений.

Сходимость численных методов решения задачи Коши. Пустьy(t) – решение задачи Коши. Назовем глобальной погрешностью (или просто погрешностью) численного метода функцию e _i = y(t_i) – y_i, заданную в узлах сетки t_i. В качестве абсолютной погрешности примем величину R = | y(t_i) – y_i|

Численный метод решения задачи Коши называется сходящимся, если для него R ® 0 при h ® 0. Говорят, что метод имеет p-ый порядок точности, если для погрешности справедлива оценка R £ Ch^p, p > 0, C – константа, C ¹ 0.

Метод Эйлера

Простейшим методом решения задачи Коши является метод Эйлера.

Будем решать задачу Коши

y' (t) = f(t, y(t)).

y(t₀) = y₀,

на отрезке [t₀, T]. Выберем шаг h = , и построим сетку с системой узлов

t_i = t₀ + ih, i = 0, 1, …, n.

В методе Эйлера вычисляются приближенные значения функции y(t) в узлах сетки: y_i » y(t_i).

Заменив производную y' (t) конечными разностями на отрезках [t_i, t_i+1], i = 0, 1, …, n – 1, получим приближенное равенство:

= f(t_i, y_i), i = 0, 1, …, n – 1,

которое можно переписать так:

y_i+₁ = y_i + h f(t_i, y_i), i = 0, 1, …, n – 1. (6.3)

Формулы (6.3) и начальное условие (6.2) являются расчетными формулами метода Эйлера.

Геометрическая интерпретация одного шага метода Эйлера заключается в том, что решение на отрезке [t_i, t_i+1] заменяется касательной y = y' (t_i)( t - t_i), проведенной в точке (t_i, y(t_i)) к интегральной кривой, проходящей через эту точку. После выполнения n шагов неизвестная интегральная кривая заменяется ломаной линией (ломаной Эйлера).

Оценка погрешности. Для оценки погрешности метода Эйлера воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 6.2. Пусть функция f удовлетворяет условиям:

£ K, = £ L. (6.4)

Тогда для метода Эйлера справедлива следующая оценка погрешности:

R = | y(t_i) – y_i| £ = ,

где l – длина отрезка [t₀, T]. Мы видим, что метод Эйлера имеет первый порядок точности.

О ценка погрешности метода Эйлера часто бывает затруднительна, так как требует вычисления производных функции f(t, y(t)). Грубую оценку погрешности дает правило Рунге (правило двойного пересчета), которое используется для различных одношаговых методов, имеющих p-ый порядок точности. Правило Рунге заключается в следующем. Пусть y – приближения, полученные с шагом , а y – приближения, полученные с шагом h. Тогда справедливо приближенное равенство:

|y - y(t_i)| » |y - y |. (6.5)

Таким образом, чтобы оценить погрешность одношагового метода с шагом , нужно найти то же решение с шагом h и вычислить величину, стоящую справа в формуле (6.5), т е.

R » |y - y | (6.6)

Так как метод Эйлера имеет первый порядок точности, т. е. p = 1, то приближенное равенство (6.6) примет вид

R » |y - y | (6.7)

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши с заданной точностью e. Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y , i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие: