Раздел 3. Программирование устройств отображения информации

Раздел 3.   Программирование устройств отображения информации

Математические основы формирования изображения

ЛЕКЦИЯ 2. Математическая модель изображений

Среднеквадратичный критерий.

Пусть изображения f(n₁, n₂). и g(n₁, n₂). описываются моделями однородных случайных полей. Мерой соответствия реального изображения идеальному может служить среднее значение квадрата их разности:

эта величина будет постоянной по всему полю аргументов, поэтому аргументы (одинаковые для f, g) для краткости не указываем.

Если математические ожидания f и g равны, то разность имеет нулевое среднее и величина e_кв²приобретает смысл дисперсии разности (а значение ε _кв – среднеквадратичного отклонения g от f ) двух изображений.

Для стационарной модели обычно считается выполненным условие эргодичности, при котором усреднение по ансамблю реализаций может быть заменено на усреднение по одной реализации. Тогда для непрерывных изображений, заданных при

имеем

(4.1)

а для дискретных, заданных при имеем

(4.2)

Заметим, что в задачах сравнительного анализа вариантов и оптимизации постоянные коэффициенты в (4.1) и (4.2) могут быть отброшены.

Выражения (4.1) и (4.2) позволяют вычислять среднеквадратичную ошибку и для пары произвольных изображений, не обязательно описываемых стационарными полями. Так часто и делается. Однако в этом случае следует иметь в виду, что значение e_кв² будет характеризовать «среднее» качество изображения в целом, а на различных его фрагментах ошибки, в принципе, могут различаться.

Достоинство среднеквадратичного критерия — его простота. При его использовании многие задачи анализа и оптимизации алгоритмов обработки изображений легко решаются аналитически. Поэтому он очень часто применяется.

При обработке изображений следует учитывать, что данный критерий плохо согласуется с критерием субъективного восприятия.

Пороговая обработка.

Многие задачи обработки изображений связаны с преобразованием полутонового изображения в бинарное (двухградационное) или, по-другому, в графический препарат. Такое преобразование осуществляется для того, чтобы сократить информационную избыточность изображения, оставив в нем только ту информацию, которая нужна для решения конкретной задачи (например, очертания объектов), и исключив несущественные особенности (фон).

В ряде случаев требуемый графический препарат удается получить в результате пороговой обработки полутонового изображения. Она заключается в разделении всех отсчетов изображения на два класса по признаку яркости: объект и фон. Например, выполняется поэлементное преобразование вида

где f₀ – некоторое «пороговое» значение яркости (рисунок 5.1). Основной проблемой здесь является выбор порога. Пусть исходное полутоновое изображение содержит интересующие нас объекты одной яркости на фоне другой яркости (типичные примеры: машинописный текст, чертежи, медицинские пробы под микроскопом и т.д.). Тогда плотность распределения вероятностей яркости должна выглядеть как два узких пика (в идеале два дельта-импульса); то есть так, как показано на рисунке 5.2а. В таком случае задача установления порога тривиальна: в качестве f₀ можно взять любое значение между «пиками». На практике, однако, имеет место более сложный случай: изображение зашумлено, кроме того, как для объектов, так и для фона характерен некоторый разброс яркостей. В результате функция плотности распределения вероятностей размывается (рис. 5.2б).

Рисунок 5.1 – Пример порогового преобразования яркости изображения

 

 

 

Рисунок 5.2 – Выбор порога при пороговой обработке

 

Часто бимодальность распределения тем не менее сохраняется. В такой ситуации можно выбрать порог f₀, соответствующий положению минимума между максимумами (модами). В общем случае гистограммы распределения вероятностей яркостей, измеренные по реальным изображениям, могут оказаться унимодальными или, наоборот, иметь «изрезанный», полимодальный характер (рисунок 5.3).

Укажем некоторые методики определения порога в этих ситуациях. Методика 1 заключается в аппроксимации участка гистограммы между пиками какой-либо гладкой функцией, например, параболой, и нахождении ее минимума через производную (рисунок 5.3а). По существу такая аппроксимация реализует сглаживание гистограммы. Для этого сглаживания можно построить специальный фильтр низких частот.

Методика 2 основана на том, что иногда удается подобрать хорошие модели отдельно для плотностей распределения вероятностей яркости объекта и фона. Тогда можно произвести аппроксимацию гистограммы суммой этих плотностей вероятностей (рис. 5.3б):

где p₁(f), p₂(f) – аналитически заданные функции плотности вероятностей для объекта и фона, p — вероятность объекта (точнее, доля площади изображения, занимаемая объектом). Эта вероятность и параметры указанных плотностей распределения вероятностей яркости, как правило, подлежат оценке.

После оценки параметров можно выбрать порог f₀ в соответствии с принципом максимального правдоподобия, то есть из соотношения

 

Рисунок 5.3 – Методики определения порога при пороговой обработке

 

Отметим, что данный способ определения порога сохраняет работоспособность и тогда, когда бимодальность гистограммы скрыта из-за большого разброса яркостей и малой вероятности p. Основным недостатком метода является сложность аппроксимации.

Статья и автореферат

Раздел 3.   Программирование устройств отображения информации

123456Следующая ⇒

Поделиться: