ЛЕКЦИЯ 2. Математическая модель изображений

Компьютерная обработка изображений возможна после преобразования сигнала изображения из непрерывной формы в цифровую форму. Эффективность обработки зависит от адекватности модели, описывающей изображение, необходимой для разработки алгоритмов обработки. При этом необходимо учитывать влияние передающей и приемной систем и канала связи на сигнал изображения. Модель изображения представляет систему функций, описывающих существенные характеристики изображения: функцию яркости, отражающую изменение яркости в плоскости изображения, пространственные спектры и спектральные интенсивности изображений, функции автокорреляции. Канал изображения содержит оптическую систему, оптико – электрический преобразователь, устройство аналого - цифрового преобразования (АЦП) и цифровой обработки сигналов изображения. В общем случае непрерывное изображение может быть представлено функцией пяти аргументов: трех пространственных координат, времени и длины волны электромагнитного излучения. Упрощения модели пространственно - временных сигналов в некотором диапазоне волн f (x, y, z, t, λ ) приводят к моделям пространственно - временного сигнала f (x, y, z, t), пространственного сигнала f (x, y, z), временного сигнала f (t). Здесь x, y, z – пространственные координаты, t – время, λ – длина волны электромагнитного излучения.

Из курса физики хорошо известно понятие оптической системы, осуществляющей преобразование изображений по правилам, определяемым совокупностью используемых в ней оптических элементов и их взаимосвязью.

С математической точки зрения под системой будем понимать правило, ставящее в соответствие входной функции f выходную функцию g. Различают одномерные (1-D) и двумерные (2-D) системы. Одномерные системы преобразуют функции одной переменной:

Соответственно двумерные системы преобразуют функции двух переменных:

 

Оптические системы по сути своей являются двумерными, но в некоторых случаях могут рассматриваться как одномерные. Особое место среди всевозможных систем занимают линейные системы. Система называется линейной, если для нее справедлив принцип суперпозиции (наложения), который заключается в том, что отклик системы на взвешеную сумму двух входных воздействий равен взвешеной сумме откликов на каждое из воздействий, то есть

Принцип суперпозиции можно выразить в более общем виде, рассматривая произвольное число K входных воздействий:

В изучении оптических систем фундаментальную роль играет понятие точечного источника света. Точечный источник обладает бесконечно большой плотностью вероятностей распределения яркости в бесконечно малой пространственной области – в точке:

Такое представление исключительно полезно и допускает ясную физическую трактовку: дельта-функция может быть определена как предел обычной функции, например

(2.1)

Согласно (2.1) дельта-функция может рассматриваться как бесконечно узкая колоколообразная функция, одномерный вариант которой приведен на рисунке 2.1.

Можно также ввести дельта-функцию, расположенную не в начале координат, а в произвольной точке с координатами (x₁, x₂) по формуле

Рисунок 2.1 – Физическая трактовка дельта-функции Дирака

 

Дельта-функция обладает следующими важными свойствами:

Свойство нормировки:

(2.2)

Физически это означает, что, хотя плотность вероятностей распределения яркости точечного источника бесконечна, энергия его ограничена и равна единице.

Фильтрующее свойство:

(2.3)

где f(x₁, x₂) – произвольная функция двух переменных. Доказательство приведенных свойств выполняются с помощью подстановки в (2.2) и (2.3) выражения (2.1) и раскрытия предела.

Рассмотрим 2-D линейную систему, на вход которой подан сигнал в виде дельта-функции. Реакция системы на дельта-функцию будет разной для различных систем. Она называется импульсным откликом и служит характеристикой 2-D системы. Систему называют пространственно-инвариантной, если ее импульсный отклик зависит от разности координат входной (x₁, x₂) и выходной (x₁, x₂) плоскостей. Для оптической системы, показанной на рисунке 2.2, это означает, что при перемещении точечного источника во входной (предметной) области изображение этого предмета в плоскости наблюдения будет также изменять положение, но сохранять форму.

Рисунок 2.2 – Оптическая пространственно-инвариантная система

 

Для пространственно-инвариантных систем импульсный отклик описывается функцией

Используя функцию импульсного отклика, можно записать уравнение, связывающее изображения на входе и выходе 2-D линейной оптической системы. Для этого представим входной сигнал f(x₁, x₂) в виде (2.3) и подадим его на вход 2-D системы с характеристикой h(x₁, x₂). Выходной сигнал запишем в виде

(2.4)

 

Поскольку операция линейна, и операция интегрирования в фигурных скобках (2.4) также линейна, их можно поменять местами и записать, что

 

Учитывая, что по определению

окончательно получаем выражение, устанавливающее связь между изображениями во входной и выходной плоскостях линейной системы:

(2.5)

Уравнение (2.5) называется интегралом свертки. Из этого уравнения следует, что, зная импульсный отклик оптической системы h(x₁, x₂), можно рассчитать выходное изображение по входному. Процесс свертки иллюстрирует рисунок 2.3. На рисунке 2.3а и 2.3б изображены функция f(x₁, x₂) на входе и импульсный отклик. На рисунке 2.3в показан импульсный отклик при обращении координат, а на рисунке 2.3г – со сдвигом на величину x₁, x₂. На рисунке 2.3д заштрихована область, в которой произведение,
входящее в подынтегральное выражение (2.5), не равно нулю. Интегрирование по этой области дает величину g(x₁, x₂) для заданных значений координат x₁, x₂. Таким образом, функция g(x₁, x₂) на выходе может быть найдена сканированием входной функции скользящим «окном» – обращенным импульсным откликом, и интегрированием по области, в которой эти функции перекрываются.

Рисунок 2.3 – Пример двумерной свертки

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: