СМО с потерями заявок (полнодоступный пучок)

 

В полнодоступном пучке обслуживающих приборов любой вход может быть связан с любым свободным выходом. Характерным примером полнодоступного пучка служит так называемый " квадратный" коммутатор, в котором любой вход может быть соединен с любым выходом.

Рассмотри полнодоступный пучок, состоящий из  исправных линий. Пусть на него поступает нагрузка с интенсивностью . Вероятность занятости ровно  линий –  определяется по такой формуле:

.                                                                                                  (1)

Очевидно, что сумма всех вероятностей  равна единице. Набор вероятностей { } называют усеченным распределением Пуассона. При  распределение (1) становится пуассоновским.

Вероятность  определяет то состояние СМО, когда все линии заняты. Она используется как оценка вероятности потерь заявок. Ее обозначают разными символами:

.                                                                           (2)

Формула (2) была выведена Эрлангом. Иногда ее называют B-формулой Эрланга или первой формулой Эрланга. Есть и другие названия. Для вывода формулы (2) Эрлангом использовались предположения о пуассоновском входящем потоке и экспоненциальном распределении длительности обслуживания заявок. Позже Б.А. Севастьянов доказал, что соотношение, полученное А.К. Эрлангом, справедливо для любого закона распределения длительности обслуживания заявок.

Для рассматриваемой формулы Эрланга справедливо рекуррентное соотношение следующего вида:

.                                                                                          (3)

Это соотношение очень полезно для минимизации ошибки вычислений вероятности потерь. Формула Эрланга табулирована. Практически все учебники содержат таблицы, которые позволяют вычислять одну из переменных в формуле (2). В подобных таблицах переменные меняются дискретно. Для емкости пучка это естественно. Для других величин (вероятность потерь и нагрузка) не всегда приемлема подобная форма представления данных.

Существует также ряд так называемых калькуляторов Эрланга. Это очень простые программы, обычно работающие под операционной системой Windows. Они позволяют быстро вычислять любую из величин, входящих в формулу (2), по двум заданным аргументам. Калькуляторы Эрланга можно найти в Internet.

Распределение числа занятых линий в пятилинейном пучке СЛ приведено ниже для трех значения интенсивности нагрузки.

 

 

Зависимость вероятности потерь от интенсивности поступающей нагрузки показана для нескольких значений количества линий .

 

 

Зависимость интенсивности поступающей нагрузки от вероятности потерь и емкости пучка СЛ показана при помощи двух графиков.

 

 

В первых автоматических системах коммутации использовался исключительно алгоритм обслуживания заявок с потерями. В следующих поколениях коммутационной техники стали применяться различные виды алгоритмов с ожиданием. Тем не менее, для пучков СЛ чаще всего используется алгоритм обслуживания с потерями. Если свободной СЛ нет, то вызов теряется. Такой способ обслуживания иногда называют алгоритмом с явными потерями. Принято различать три вида явных потерь и соответствующие вероятности:

· потери по вызовам – ;

· потери по нагрузке – ;

· потери по времени – .

Вероятность  за период времени  определяется отношением числа потерянных вызовов к их общему числу. Вероятность  за тот же период времени  вычисляется аналогично. Только необходимо делить величины потерянной и поступающей нагрузки. Потери по времени за период  – та его часть, когда все поступающие вызовы будут потеряны из-за отсутствия ресурсов для обслуживания трафика. Эту часть периода  называют также опасным временем. Для полнодоступного пучка, обслуживающего пуассоновский поток первого рода, справедливо тождество:

= = .                                                                                                         (4)

Для анализа СМО с потерями часто необходимо определить среднее число занятых линий  в пучке емкостью , который обслуживает нагрузку с интенсивностью . Эта величина определяется следующим образом:

.                                                                                                 (5)

Естественно, что число занятых линий в пучке емкостью  – случайная величина. Поэтому целесообразно оценить ее дисперсию – . Она вычисляется по такой формуле:

.                                                                                    (6)

 

Зависимость величин  и  от интенсивности поступающей нагрузки приведена на двух графиках.

 

 

Для случая  справедливо такое соотношение: = = .

 

Первый график свидетельствует, что обслуженная нагрузка в расчете на одну линию растет по мере увеличения емкости пучка . Это явление объясняется природой трафика.

Для решения ряда задач необходимо знать интенсивность нагрузки, обслуженной  линией полнодоступного пучка, – . Соответствующий график показывает, что лучше используются линии с меньшим значением .

 

 

Формула (2) определена для целых значений . В некоторых случаях интересны дробные значения . Тогда использует выражение, содержащее гамма-функцию, которая для целых значений определяется факториалом:  Кроме того, формула (2) может использоваться для расчета вероятности потерь в СМО при поступлении потока, являющегося неординарным. Соответствующие формулы громоздки и приводятся редко.

 

Для пуассоновского потока второго рода, который генерируется конечным числом источников трафика, справедлива формула Энгсета. Речь идет о примитивном потоке с параметром . Длительность обслуживания заявок в СМО предполагается случайной с экспоненциальным распределением. Параметр примитивного потока определяется числом источников нагрузки ( ) и параметром потока вызовов свободного источника ( ):

.                                                                                                        (7)

Введем единый параметр интенсивности нагрузки:

.                                                                                                                   (8)

С учетом принятых обозначений вероятность потери вызова можно представить следующим образом:

.                                                                                                (9)

Данное выражение представляет собой формулу Энгсета для вероятности потерь по вызовам. Тождество = =  для пуассоновского потока второго рода нельзя считать верным. Для расчета вероятности потерь по времени справедлива такая формула:

.                                                                                                   (10)

Очевидно, что . Этим СМО с входящим пуассоновским потоком второго рода отличаются от тех систем, для которых справедливо тождество = = . Потери по нагрузке определяются по такой формуле:

.                                                                                                   (11)

Очевидно, что при  и  справедливо неравенство .

 

Вероятность потерь для регулярного потока, потока с равномерным распределением A(t) и пуассоновского потока, иллюстрируется при помощи семейства кривых для разных значений количества линий .

 

Лекция 9

СМО с ожиданием

 

1. СМО вида

 

Распределение промежутков между заявками (вызовами) подчиняется экспоненциальному закону:

 

.                                                                                                                   (1)

 

Распределение длительности обслуживания вызовов подчиняется экспоненциальному закону:

 

                                                                                                      (2)

 

Средние значения интервалов между вызовами и времени обслуживания определяется так:

 

, = .                                                                                                                 (3)

 

Условие стационарности СМО:

 

.                                                                                                                (4)

 

Вероятности состояний СМО:

 

.                                                                                                   (5)

 

Среднее число заявок в СМО:

 

.                                                                                                                         (6)

 

Дисперсия числа заявок в СМО:

 

.                                                                                                              (7)

 

Среднее время ожидания заявок в очереди:

.                                                                                                                   (8)

 

Среднее время пребывания заявок в системе:

 

.                                                                                                                    (9)

 

ФР длительности ожидания начала обслуживания:

 

.                                                                                                          (10)

 

ФР длительности задержки заявок в СМО:

 

.                                                                                                         (11)

 

Зависимости длины очереди и времени пребывания заявок в СМО от загрузки системы.

 

Преобразование Лапласа-Стилтьеса ФР интервалов между заявками, покидающими СМО:

 

.                                                                                                        (12)

По двум моментам легко определяется коэффициент вариации:

 

.                                                                                                        (13)

 

 

2. СМО вида

 

Состояние  определяет наличие в СМО – в обслуживании и на ожидании – ровно  заявок. Вероятность такого состояния СМО обозначается через . Можно показать, что СМО рассматриваемого вида справедливы такие соотношения:

 

 при

 при                                                                                                   (14)

.

 

Ожидание (Waiting) обычно обозначат буквой " W". В некоторых старых монографиях встречается обозначение . Вероятность ожидания  определяется второй формулой Эрланга:

 

,                                                                                                  (15)

 

где  – вероятность потери вызова, рассчитанная по первой формуле Эрланга для СМО без возможности ожидания.

 

Средняя длина очереди в СМО рассматриваемого вида  определяется по такой формуле:

 

.                                                                                                          (15)

 

Среднее время ожидания начала обслуживания  рассчитывается по теореме Литтла:

 

.                                                                                                                           (17)

 

На графике показано поведение функции  при различных величинах трафика и числа обслуживающих приборов.

 

 

ФР длительности ожидания:

 

.                                                                                     (18)

Для оценки эффективности дисциплины обслуживания с ожиданием определяется величина , при которой :

 

.                                                                                                     (19)

 

На графике показано влияние дисциплины обслуживания заявок на поведение плотности .

 

3. СМО вида

 

Среднее время ожидания заявок в очереди (формула Полячека-Хинчина):

 

.                                                                                                               (20)

 

Среднее время пребывания заявок в системе (формула Полячека-Хинчина):

 

.                                                                                                           (21)

 

Преобразование Лапласа-Стилтьеса ФР длительности ожидания начала обслуживания (уравнение Полячека-Хинчина):

 

.                                                                                                       (22)

 

Преобразование Лапласа-Стилтьеса для ФР времени пребывания в СМО (уравнение Полячека-Хинчина):

 

.                                                                                                (23)

 

 

4. СМО вида

 

Вероятность потери заявок для рассматриваемой модели –  определяется состоянием СМО , то есть . Для СМО с  местами для ожидания эта вероятность определяется таким соотношением:

                                                                                                           (24)

 

Для СМО с неограниченным числом мест для ожидания в очереди вероятности состояний определяются следующим образом:

 

                                                                                            (25)

 

Следовательно, вероятность того, что заявка застанет СМО в состоянии , будет определяться так:

 

                                                                                                    (26)

 

Относительная ошибка в оценке вероятности потерь заявок –  определяется простым соотношением:

 

                                                                                                   (27)

 

На рисунке показана зависимость  от  при различных значениях . При достаточно малых вероятностях потерь (сравнительно больших значениях ) величины  и  быстро сближаются. Ошибка  меньше для СМО с невысокой загрузкой. Кстати,  – рекомендуемая величина загрузки для некоторых элементов сетей электросвязи. Если , то значения ошибки при  представляются приемлемыми для оценки исследуемых характеристик СМО. Величины  представляют интерес для режимов перегрузки отдельных элементов инфокоммуникационной сети. Для подобных задач использование величины  вместо  нельзя считать корректным из-за высоких значений ошибки .

Относительная ошибка при расчете

вероятности потерь заявок в двух видах СМО

 

Итак, при малой загрузке  хорошей моделью системы можно считать СМО с неограниченным числом мест для ожидания.

 

5. СМО вида

 

Для модели  ФР длительности ожидания получена Кроммелином. Обычно результаты расчета ФР представляются в графической форме. Они известны как кривые Кроммелина. Для однолинейной системы , на которую поступает поток заявок с интенсивностью  выражение для расчета ФР длительности ожидания имеет следующий вид:

.                                                                     (28)

 

На графике показано поведение дополнительных ФР, то есть  для СМО вида  и .

 

 

 

Лекция 10

Неполнодоступные системы

 

Первый патент, выданный на неполнодоступную схему коммутации, датирован 1907 годом. С тех пор продолжаются исследования оптимальной реализации подобных схем коммутации. Значительная часть этих исследований основана на имитационном моделировании. Дело в том, что получение необходимых соотношений в виде точных формул не всегда представляется возможным или целесообразным.

Простейшая неполнодоступная схема приведена на первом рисунке. Первому потоку доступны линии под номерами 1 и 3, а второму – 2 и 3.

 

 

Рисунок 1

 

Для подобных схем, обслуживающих  потоков с помощью линий, всегда выполняется следующее неравенство:

 

,                                                                                                          (1)

 

где – доступность, то есть число обсуживающих устройств, доступных любому входу. Равенство  справедливо для полнодоступной схемы, а при  рассматриваемая модель представляет собой  полнодоступных схем.

Классическая задача построения неполнодоступной схемы состоит в выборе такого включения  линий в контактное поле из  элементов, при котором вероятность потери вызова будет минимальной. Одной из основных характеристик неполнодоступной схемы считается коэффициент уплотнения – :

 

.                                                                                                               (2)

 

Величина этого коэффициента определяет среднее число групп (контактов) на одну линию (обслуживающий прибор). Для неполнодоступных схем, используемых в АТС, коэффициент уплотнения обычно находится в диапазоне [2, 4].

Различают два способа искания: упорядоченный и случайный. Способы включения линий в неполнодоступную схему делятся на такие виды: прямой, с перехватом и со сдвигом.

Для модели, показанной на втором рисунке, . Линии под номерами 3 и 6 включены прямо, линия 1 – с перехватом, а линия 4 – со сдвигом.

 

 

Рисунок 2

 

Выделяют два вида неполнодоступных схем: ступенчатые и равномерные. В ступенчатых схемах по мере роста номера шага искания растет число потоков, которым доступна линия. В равномерных схемах число потоков, которым доступна линия, всегда одинаково.

В телефонии неполнодоступное включение стало применяться для эффективного использования обслуживающих приборов и сокращения их численности (иными словами – для экономии затрат). Наибольшее распространение неполнодоступное включение нашло в эпоху создания электромеханических АТС. Это объясняется природой формирования стоимости точки поля (коммутации) – третий рисунок.

 

 

Рисунок 3

 

В электромеханических АТС обычно выделяют  нагрузочных групп. Каждая такая группа представляет собой полнодоступную схему, которая может быть как однозвенной, так и многозвенной – рисунок 4.

 

 

Рисунок 4

 

Синтез неполнодоступной схемы сводится к поиску способа соединения  выходов с  линиями.

Следует отметить, что анализ некоторых видов неполнодоступных схем вновь становится актуальным. Это объясняется применением принципов неполнодоступного включения при построении коммутаторов на базе ATM и ряда других технологий.

 

 

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: