|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Таким образом, оптимальное количество диспетчеров на фирме равно пяти.⇐ ПредыдущаяСтр 17 из 17
КРИВАЯ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Если измерять длины одинаковых кусков прута, отрезанных станком, получим, что, в действительности, они различаются по длине. Аналогичным образом, если записать вес группы детей при рождении, получится, что веса также значительно различаются. Интересно обнаружить, что в обоих случаях, когда записывается большое количество результатов, гистограммы, представляющие разные системы, могут быть заменены одной кривой, называемой кривой нормального распределения. Рис. 2 (а) и (б) показывают две кривых нормального распределения, которые получаются из данных длин прутов и весов младенцев.
(а) Длины прутов, отрезанных на станке
(б) Вес группы детей при рождении Рис. 2. Кривые нормального распределения
Кривая нормального распределения имеет большое значение, потому что этот закон распределения лежит в основе большинства инженерных задач статистического анализа. Рассмотрим его свойства. (Кривую нормального распределения иногда называют кривой распределения Гаусса в честь немецкого математика Карла Гаусса (1777 – 1855). Также эту кривую называют колоколообразной). СТАНДАРТНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Для простоты вычислений кривую нормального распределения располагают симметрично оси у и масштабируют таким образом, что площадь под кривой равна единице. Такая кривая называется стандартной кривой нормального распределения и показана на рис.3 Она описывается уравнением:
ПРИМЕЧАНИЕ: Уравнения такого типа выглядят сложными, но на практике легко рассчитываются. Для демонстрации этого в Приложении 1 приводится вывод кривой нормального распределения из заданного уравнения. Для стандартной кривой нормального распределения рис.3, пиковое значение (на оси ординат) = 0.399. Среднее значение равно 0 так как кривая симметрична относительно оси у. Стандартное отклонение равно 1, и точка «трех стандартных отклонений» приходят близко к «концам» кривой, как видно на графике. Точки перегиба кривой (где меняется вторая производная) располагаются на расстояниях плюс – минус 1 стандартное отклонение.
Риг. 3 Стандартная кривая нормального распределения
• 68.3% результатов лежат в пределах + и – одно стандартное отклонение • 95.4% результатов лежат в пределах + и – два стандартных отклонения • 99.7% результатов лежат в пределах + и – три стандартных отклонения.
Рис. 4. Площади, лежащие в интервалах ± 1 стандартное отклонение ± 2 стандартных отклонения ± 3 стандартных отклонения для кривой нормального распределения
Нормальные кривые распределения всегда симметричны, но не обязательно симметричны относительно оси у, как было на рис.2. Особый случай стандартной кривой нормального распределения, который был показан на рис. 3, используется при оценке вероятности произошедшего события. Для этих целей созданы таблицы, в которых представлены площади под стандартной кривой нормального распределения при определенных условиях (см. Таблицу 1).
Таблица 1.
В практических случаях, где нужно найти вероятность произошедшего события, нужно преобразовать кривые нормального распределения в стандартную кривую нормального распределения. Это преобразование называется стандартизацией, она будет рассмотрено далее в этом занятии. Сначала рассмотрим, как использовать таблицы вероятностей. Посмотрите на рисунок 5. Здесь вероятность того, что произойдет определенное событие, задается площадью под стандартной кривой нормального распределения, слева от значения х и будет меньше площади всей фигуры х (область закрашена). Как показано в таблице 1 и предполагая, что х = 1.1, ищем значение по вертикали в левой колонке, пока не найдем 1.1, и смотрим число 0.8643 напротив этого значения в таблице. Таким образом, вероятность того, что значение случайной величины будет меньше, чем 1.1 и равна 0,8643 или 86,43%.
Рис. 5. Площадь под кривой нормального распределения (положительное значение х) Вероятность того, что событие будет больше, чем 1.1 отражает площадь под кривой справа от значения х = 1.1 (незаштрихованная область). Так как вся площадь под кривой стандартного нормального распределения равна 1.000, площадь справа от значения 1.1 равна 1 минус область слева от значения 1.1. Мы уже знаем, что площадь слева от х = 1.1 (см. выше), таким образом, искомая площадь равна 1.000 – 0.8643 и равна 0.1357. Таким образом, вероятность того, что событие будет больше, чем 1.1 равна 0.1357 или 13.57%.
РАСЧЕТ КРИВОЙ СТАНДАРТНОГО НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Площадь под кривой стандартного нормального распределения, слева от значения х обычно обозначается греческой буквой Φ (фи)
Рис. 6. Равные площади под кривой стандартного нормального распределения В силу симметрии площадь А, очевидно, равна площади B. Площадь А определяется Φ (–х). Кроме того, площадь B равна площади под кривой (единице) минус суммы площадей А и С. Площадь А + Площадь С = Φ (х) и Площадь B = Φ (–х) Кроме того, Площадь B = 1 – (Площадь А + Площадь С) = 1 – Φ (х) Таким образом, можем записать: Φ (–x) = 1 – Φ Рассмотрим ряд случаев, чтобы показать, как используются эти принципы. 1. Когда х = 0, вся площадь под кривой слева от этого значения равна 0.500. Это верно, так как вся площадь под кривой равна 1.000, а кривая симметрична относительно оси у. См. рис. 7 (а). 2. Когда х = 1.0, как на рис.7 (b), отложим одно стандартное отклонение справа от оси ординат. Предположим, что нужно узнать площадь между х = 1.00 и осью ординат, (заштрихована). Площадь слева от х = 1.00 равна 0.8413. Однако, так как площадь слева от оси ординат равна 0.500, площадь между осью у и х = 1.00 определяется по формуле: Φ (1.00) – Φ (0.00) = 0.8413 – 0.500 = 0.3413 Если удвоить это значение, получим площадь под кривой между плюсом и минусом одного стандартного отклонения: Φ (1.00) – Φ (–1.00) = 2 × 0.3413 = 0.6826 или 68.26% от общей площади. Мы уже знаем этот результат, но, если обратиться к рис. 4, мы увидим, что 68,3% от общей площади под кривой нормального распределения лежит в пределах плюс – минус одно стандартное отклонение, которое согласуется с табличным значением. 3. Найдем площадь справа от х = 1, как показано на рис. 7 (с). Площадь слева от этого значения равна 0.8413. Но общая площадь под кривой 1.000. Таким образом, площадь справа от х = 1.000 определяется по формуле:
Рис. 7 (а), (b) и (c) Свойства кривой стандартного нормального распределения
Рис. 8. Нахождение площади (см. пример 4)
Вероятность того, что событие будет лежать между х = –2.0 и х = 1.5 представлена закрашенной областью под кривой стандартного нормального распределения между этими двумя значениями.
ВЕРОЯТНОСТИ И КРИВАЯ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ После проработки приведенных выше примеров, вы можете спросить себя: «Для чего это нужно?» Ответ на этот резонный вопрос в том, что эта кривая позволяет вычислить вероятность событий, происходящих на практике. Вероятность того, что событие может произойти, когда переменная описывается кривой нормального распределения, определяется площадью под кривой слева от выбранного значения. Таким образом, вероятность того, что результат будет меньше заданного значения х равна площади под кривой слева от величины х. Аналогично, вероятность того, что результат будет больше, чем значение х, равно площади справа от значения х. Вероятность того, что результат будет лежать между двумя заданными значениями х, равна площади между этими двумя значениями. Будет яснее, если вы обратитесь снова к рисунку 8.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТАБЛИЦ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ До сих пор мы брали значение х и смотрели соответствующую площадь в таблице. Тем не менее, могут быть случаи, где нужно работать в обратном направлении. Предположим, мы хотим знать, при каком значении x с вероятностью 85%, что результат будет меньше, чем х. В таком случае нужно найти значение в таблице, пока не встретится самое ближайшее к 0.85 значение, ему и будет соответствовать требуемое значение x. Ближайшим значением меньше 0.85 является 0.8485. Ему соответствует 1.03. Тем не менее, значение 0.0015 слишком мало, нужно найти в столбце разницу для ближайшего значения к 0.0015 (который мы понимаем, как '15 '). Ближайшее значение – 16, что дает цифру '7 '; поэтому окончательным ответом будет 1.03 + 0.007, что дает окончательное значение х = 1,037.
ПРАКТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ У стандартной кривой нормального распределения есть симметрия относительно оси у, и площадь под кривой равна единице. На практике кривые нормального распределения имеют симметрию относительно осей отличных от оси ординат, а площадь под кривой редко равна единице. Рассмотрим, как работать с такими практическими задачами. Рассмотрим процесс, где станок отрезает пруток от заготовки. Каждый отрезанный пруток тщательно проверяется на соответствие длины. Пусть было отрезано 1000 штук, средняя длина составляет 1.012 метров и 72 части более 1.015 метров в длину. Необходимо вычислить: (а) вероятность того, что следующая часть имеет длину менее 1.008 метров. (б) вероятное количество штук, которые будут менее 1.008 м в следующих 1000 штуках, если предположить, что станок не прекращает работать. (а) Во–первых, из приведенной выше информации, мы знаем, что вероятность того, что пруток будет более 1.015 м:
Вероятность
На рисунке показана площадь справа от х = 1.015. Вероятность в закрашенной области равна 0.072 (об этом говорилось выше). Для получения вероятности слева от x, нужно вычесть 0.072 из 1.000, что даст 0.928. Далее в таблице находим, что 0.928 соответствует значению столбца 1.461. Для того чтобы получить величину стандартного отклонения σ, можно подставить значение z = 1,461 в формулу
где х – значение переменной μ – среднее σ – стандартное отклонение z – стандартизированное значение.
откуда находим, что σ = 0.00205 метров. Теперь нужно рассчитать значение z, соответствующее 1.008, по той же формуле. Обратиться к таблицам для стандартной кривой нормального распределения.
Находим
Таким образом, вероятность того, что следующая часть прутка будет менее 1.008 метров представлена площадью слева от значения z = –1,951 (см. рис). В таблице есть только положительные значения, поэтому нужно использовать симметричные свойства кривой. Мы можем видеть, что площадь слева от –1,951 такая же, как и площадь справа от 1.951, поскольку распределение симметрично. Площадь справа от 1.951 равна 1.000 минус площадь слева 1.951. Площадь слева от 1.951 равна 0.9745. Таким образом, площадь справа от 1.951 = 1 – 0.9745 и это даст 0.0255. Это равно площади слева от –1,951, что эквивалентно вероятности того, что следующий пруток будет меньше 1.008 метров в длину. Можно преобразовать это в проценты, умножив результат на 100, что даст нам 2.55%. (б) Теперь мы знаем, что вероятность того, что следующая часть будет меньше 1.008 м равна 2.55% и, если мы рассмотрим следующие тысячу штук, число, вероятно, будет меньше 1.008 и будет равно:
Поскольку число прутков целое, округляем результат до 26. |
Последнее изменение этой страницы: 2019-06-10; Просмотров: 207; Нарушение авторского права страницы
На рис.5 площадь Φ (х) закрашена. В таблицах есть вероятности для положительных значений х, но, так как кривая полностью симметрична, а общая площадь под стандартной кривой нормального распределения равна 1.000, площади для отрицательных значений аналогичны. Продемонстрируем это на рис. 6.
1.000 – Φ (1.00) = 1.000 – 0.8413 = 0.1587
4. Для нашего последнего примера см. рис. 8. Здесь нужно найти площадь под кривой между х = 1.50 и х = –2.00. Площадь, которую нужно найти, включает сумму площадей 'A' и 'B'. Используя обозначение Φ, площадь может быть определена как:
