|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Классификация бесконечно малых функцийСтр 1 из 3Следующая ⇒
Неопределённые выражения I. Неопределённость вида “ Пример. Рассмотрим
Пример. Пример. Рассмотрим две б.м. последовательности Видно, что в зависимости от конкретного закона стремления к нулю числителя и знаменателя предел частного может быть конечным, бесконеч-ным или не существовать вовсе. Ситуация, при которой пределы числителя и знаменателя равны нулю, обозначается “ II. Неопределённость вида “ Её можно охарактеризовать как “борьбу” числителя, который стремит-ся увеличить дробь сколь угодно велико, со знаменателем, пытающимся её уменьшить до нуля. Пример.
Пример. Пример. так как III.Неопределённость вида “ 0 · Пример.
Пример.
Пример. так как К неопределённостям относятся и следующие ситуации Приведём ещё несколько примеров раскрытия неопределённостей.
Пример. Пример Пример Пример Классификация бесконечно малых функций Определение 6.33. Пусть 1) 2) ( 3) Определение 6.34. Пусть Пример. Покажем, что
Пример. Покажем, что
При вычислении предела воспользовались формулой (6.5). Пример. Покажем, что
Таблица основных эквивалентных бесконечно малых при
Таблица производных На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций, поэтому аргумент 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Пример. Найти производную функции Решение. Данную функцию перепишем в виде:
Тогда
Пример
Вывод: степенная функция
Формула Тейлора Формула Тейлора – одна из главных формул математического анализа, позволяющая функцию, заданную сложным для вычисления аналитическим выражением, заменить удобным для анализа многочленом. Теорема 3.7. (Тейлора) Пусть функция Тогда между точками a и x найдется точка c такая, что справедлива следующая формула:
Эта формула называется формулой Тейлора, а
остаточный член, записанный в форме Лагранжа. Эту формулу можно записать в виде
Формула Маклорена
При a=0 получаем частный случай формулы Тейлора – формулу Маклорена.
Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: Доказательство Необходимость. Пусть Следовательно, Необходимость доказана. Достаточность. Пусть
Замечание (геометрический смысл теоремы) Если на интервале (a; b) функция
Рис. 3.17 Рис. 3.18 Следствие. Для того, чтобы Пример. Найти интервалы возрастания и убывания функции Решение. Функция определена для всех
поведение y Следовательно, при
Экстремум функции
Пусть функция Определение 3.6. Точка (рис. 3.19).
Рис. 3.19
Локальный максимум (max) или локальный минимум (min) объединяются общим названием локальный экстремум. Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный характер в том смысле, что неравенство Очевидно, функция может иметь несколько локальных максимумов и несколько локальных минимумов, причем может так случиться, что иной локальный максимум окажется меньше какого-то локального минимума. (рис. 3.20)
Рис. 3.20. Теорема 3.9. (необходимое условие локального экстремума). Если функция Определение 3.7. Точки, в которых производная функции Из теоремы 3.9 следует, что дифференцируемая функция может достигать экстремума только в своих стационарных точках. Из рис. 3.21 видно, что в точках, где производные бесконечны или не существуют, функции также могут иметь экстремум.
Рис. 3.21. Но могут возникнуть случаи, когда эти условия относительно производной выполняются, а экстремума функции не существует (Рис. 3.22)
Рис. 3.22.
Итак, необходимое условие экстремума в точке
Определение 3.8. Точки, в которых производная функции
Теорема 3.10. (Достаточные условия существования экстремума). Пусть функция
Пример Найти экстремумы функции
Решение Найдем производную Точки, подозрительные на экстремум, Найдем знак производной в окрестностях критических точек.
Итак, максимум Теорема 3.11. (достаточный признак экстремума через вторую производную). Пусть Пример Найти экстремумы функции Решение Найдем Пример Найти наибольшее и наименьшее значение функции Решение 1) Находим критические точки в интервале (0, 2).
2) На границах интервала 3) Выбираем наибольшее и наименьшее из полученных значений. Это Итак,
Рис. 3.23
Теорема 3.12 Если функция Геометрический смысл признака:
Пример
Замечание. Признак не является необходимым, т.е. в точке выпуклости или вогнутости может быть
Рис. 3.24 Определение 3.10. Точка
Теорема 3.13. (необходимое условие точки перегиба). Пусть график функции Теорема 3.14. (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция Замечание. Теорема остается верной, если Пример.
Рис. 3.25 Асимптоты графика функции При исследовании поведения функции на бесконечности, т.е. при Существуют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные. Определение 3.10. Прямая Определение 3.11. Прямая Определение 3.12. Прямая
где
Пример Найти асимптоты графика функции Решение 1) 2) Горизонтальных асимптот нет 3)
Итак, наклонная асимптота Пример Найти асимптоты графика функции Решение. Функция определена на всей числовой оси. Нет вертикальных асимптот. Найдем наклонные асимптоты
Замечание: при вычислении пределов использовалось правило Лопиталя. Итак, получены две наклонных асимптоты
Неопределённые выражения I. Неопределённость вида “ Пример. Рассмотрим
Пример. Пример. Рассмотрим две б.м. последовательности Видно, что в зависимости от конкретного закона стремления к нулю числителя и знаменателя предел частного может быть конечным, бесконеч-ным или не существовать вовсе. Ситуация, при которой пределы числителя и знаменателя равны нулю, обозначается “ II. Неопределённость вида “ Её можно охарактеризовать как “борьбу” числителя, который стремит-ся увеличить дробь сколь угодно велико, со знаменателем, пытающимся её уменьшить до нуля. Пример.
Пример. Пример. так как III.Неопределённость вида “ 0 · Пример.
Пример.
Пример. так как К неопределённостям относятся и следующие ситуации Приведём ещё несколько примеров раскрытия неопределённостей.
Пример. Пример Пример Пример Классификация бесконечно малых функций Определение 6.33. Пусть 1) 2) ( 3) Определение 6.34. Пусть Пример. Покажем, что
Пример. Покажем, что
При вычислении предела воспользовались формулой (6.5). Пример. Покажем, что
Таблица основных эквивалентных бесконечно малых при
Таблица производных На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций, поэтому аргумент 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Пример. Найти производную функции Решение. Данную функцию перепишем в виде:
Тогда
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2019-06-19; Просмотров: 359; Нарушение авторского права страницы
” 
и 
- б.м. при 
.
-б.м. при 
и 
, тогда последовательность 
имеет вид 1, -1, 1, -1, …. Очевидно, что предел последовательности не существует.
” 
(“победил” числитель).
(“победил” знаменатель).
и 
” 
- б.м., а 
- б.б. при 
.
- б.м., 
- б.б. при 
Обозначим 
тогда при 
.
, 
, 
, 
, 
.
. 
= 
.
. 
и 
-б.м. при 
( 
), тогда если
где 
конечное, не равное нулю число, то 
называются б.м. одного порядка при 
то 
то 
).
, тогда 
при 
и 
эквивалентные б.м. при 
.
при 
есть б.м. более высокого порядка, чем 
при 
.
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
, 
, 
заменим на промежуточный аргумент « 
».
- бесконечно большая более высокого порядка, чем логарифмическая функция 
.
имеет в точке a и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Пусть x – любое значение аргумента из указанной окрестности, 
(3.15)
Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию 
многочленом 
с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена 
(3.16)
Пусть 
Тогда 
и 
.
(по теореме о знаке предела), т.е. 
.
выполняется 
где 
по условию теоремы. Следовательно, 
и 
не убывает по определению, что и требовалось доказать.
в каждой точке на этом отрезке образует с осью Ox острый угол 
или – в отдельных точках – горизонтальна; тангенс этого угла не отрицателен: 
(рис 3.17). Если функция 
( 
) на (a, b) необходимо и достаточно, чтобы 
для всех 
Знак 
убывает; при 
.
- окрестностей точки 
выполняется неравенство 
при 
.
может и не выполняться для всех значений x в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки 
.
: 
, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки 
функция имеет максимум. Если же при переходе через точку 
.
Отметим, что в точке x=0 функция терпит разрыв и потому не может иметь экстремум.
минимум 
тогда при 
функция имеет максимум, если 
и минимум, если 
через вторую производную.
Значения в критических точках 
Значит, максимум 
минимум 
на отрезке [0; 2].
точка 
не принадлежит интервалу (0, 2), ее не рассматриваем.
имеет на интервале (a, b) вторую производную и 
( 
) во всех точках (a, b), то график функции 
имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).
, т.е. 
возрастает, график вогнут; 
, т.е. 
график функции вогнут для всех x; 
график выпуклый для всех x.
.
Пример. 
(рис. 3.24)
называется точкой перегиба графика функции 
, если в точке M график имеет касательную, и существует такая окрестность точки 
, в пределах которой график функции 
слева и справа от точки 
имеет разные направления выпуклости.
имеет перегиб в точке 
имеет в точке 
в точке 
обращается в нуль, т.е. 
имеет вторую производную в некоторой окрестности точки 
.
имеет вторую производную в некоторой окрестности точки 
, за исключением самой точки 
имеет перегиб 
.
; 
В точке 
вторая производная не существует, но слева и справа от нее имеет разные знаки и график функции имеет перегиб в точке 
(рис. 3.25)
или при 
или вблизи точек разрыва 2-го рода, часто оказывается, что график функции сколь угодно близко приближается к той или иной прямой. Такие прямые называются асимптотами.
называется вертикальной асимптотой графика функции 
или 
равно 
или 
.
называется горизонтальной асимптотой, графика функции 
( 
), если 
называется наклонной асимптотой графика функции 
( 
), если функцию 
при 
где 
( т.к. 
)
( т.к. 
)
