Характеристики динамических звеньев

Зависимость выходной величины звена от входной в установившемся режиме называют статической характеристикой.

Установившийся режим — это такой режим, при котором входная и выходная величины остаются постоянными во времени. Статическую характеристику обычно изображают графически. Ее значения можно получать экспериментально или расчетным путем.

Системы автоматического регулирования, как правило, работают в неустановившемся, переходном режиме. Такой режим работы является следствием воздействия на систему непрерывно и случайно изменяющихся внешних возмущающих факторов, приводящих к непрерывному изменению входной и выходной величины во всех ее звеньях. Поэтому одной из важных задач является изучение поведения динамических звеньев в переходных режимах.

Динамической характеристикой звена называют зависимость выходной величины от входной в переходном процессе. Физическая задача определения выходной величины звена при изменяющемся входном сигнале сводится к решению дифференциального уравнения того или иного вида, описывающего протекание переходных процессов в звене.

Дифференциальные уравнения движения динамического звена. В линейных системах автоматического регулирования протекающие процессы описываются линейными дифференциальными уравнениями, решение которых значительно упрощается с использованием методов операционного исчисления.

Решение дифференциального уравнения методом операционного исчисления осуществляется в следующие три этапа;

1) переход от оригиналов к изображениям, т. е. переход от дифференциального уравнения к алгебраическому;

2) отыскание из полученного алгебраического уравнения неизвестной функции Y (р), т. е. решение алге­браического уравнения;

3) переход от найденного изображения Y (р) к оригиналу неизвестной функции.

Дифференциальные уравнения движения звеньев имеют следующий вид:

 

- безынерционное звено:

 

Y = KX,                                     (1.13)

 

- апериодическое:

 ,                          (1.14)

 

- дифференцирующее:

 

,                                (1.15)

 

- интегрирующее:

,                                 (1.16)

 

- колебательное:

                                                     (1.17)

                                    

где Т – постоянная времени звена; ξ – коэффициент демпфирования.

Передаточной функцией звена называется отношение изображения выходной величины звена к изображению входной величины при нулевых начальных условиях. Обозначим через W (р) передаточную функцию, а через X (р) и Y (р) - соответственно изображения входной и выходной величин, тогда:

 

W ( p ) = Y (р)/Х (р).                         (1.18)

 

Переходной характеристикой (переходным процессом) динамического звена называют зависимость выходной величины от времени при подаче на вход звена ступенчатого сигнала единичной амплитуды. Следовательно, переходная характеристика отображает реакцию звена на единичный ступенчатый сигнал.

Частотные характеристики звеньев. Если на вход динамического звена поступает сигнал синусоидальной формы определенной частоты, то выходной сигнал имеет те же синусоидальную форму и частоту, но другие амплитуду и фазу. В связи с этим различают амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики звеньев.

Амплитудно-частотная характеристика выражает отношение амплитуды колебаний на выходе звена к амплитуде колебаний на его входе в зависимости от частоты выходного сигнала (Рис. 9, а).

                           А (ω ) = А_вых/А_вх = f (ω ),                     (1.19)

 

где А_вых - амплитуда выходного сигнала;

А_вх - амплитуда входного сигнала;      

ω - угловая частота.

Фазово-частотная характеристика выражает зависимость разности фаз между входными и выходными колебаниями звена от частоты входного сигнала (Рис. 9, б):

φ = f(ω ),                                     (1.20)

 

 где φ - фазовый угол.

Опережению фазы соответствует φ > 0, а отставанию φ < 0.

 

Рис. 9. Частотные характеристик звеньев.

 а - амплитудно-частотная;

б - фазово-частотная;

в – амплитудно-фазовая.

 

В теории автоматического регулирования используют комплексную амплитудно-фазовую характеристику (Рисунок 9, в), в которой дают соотношения между амплитудами выходного и входного сигналов и сдвигом фаз при изменении частоты колебаний входного сигнала от 0 до ∞:

 

W (jω ) = А_вых/А_вх = А_выхe^{j(ω t+φ )}/А_вхe^{jω t} = А_выхe^jφ /А_вх= А(ω )e^{jφ (ω )},       (1.21)

где А_выхe^{j( ω t+ φ )}; А_вхe^{jω t} - соответственно выходной и входной сигналы в символической форме записи.

 

Существует показательная форма записи:

 

W (jω ) = А(ω )е ^{jφ (ω )},                         (1.22)

 

Величина А(ω ) - изменение отношения амплитуд выходного сигнала к входному, а φ (ω ) - изменение фазы колебаний на выходе звена относительно колебаний на входе, происходящих с изменением частоты входного сигнала.

Логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ) L (ω ) называют зависимость модуля частотной характеристики от частоты, представленную в логарифмическом масштабе.

Логарифмической фазово-частотной характеристикой (ЛФЧХ) называют зависимость аргумента частотной характеристики от логарифма частоты.

Для построения ЛАЧХ от выражения амплитудно-фазовой характеристики вида W (jω ) = А(ω )е^{jφ (ω )} переходят к выражению:

 

L (ω ) = 20 lg |W (ω )| = 20 lg A (ω ),               (1.23)

где L (ω ) — в децибелах.

 

При построении ЛФЧХ по оси ординат откладывают углы в градусах или радианах, по оси абсцисс - частоту ω в логарифмическом масштабе в декадах.

4. Необходимым условием работоспособности системы автоматического регулирования является ее устойчивость. Под устойчивостью понимают свойство системы восстанавливать состояние равновесия, из которого она была выведена под влиянием возмущающих факторов, после прекращения действия этих факторов.

На практике для определения устойчивости САР используют критерии устойчивости, т. е. правила, с помощью которых можно определить, устойчива система или не, не прибегая к решению дифференциальных уравнений.

Алгебраический критерий (Рауса-Гурвица) позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по коэффициентам ее характеристического уровня, которым является знаменатель передаточной функции. Необходимые и достаточные условия устойчивости определяются различными соотношениями коэффициентов в зависимости от порядка системы.

Критерий устойчивости Михайлова основан на связи характера переходного процесса системы с амплитудой и фазой вынужденных колебаний, устанавливающих в системе при синусоидальном воздействии. Анализ устойчивости системы этим методом сводится к построению по характеристическому многочлену замкнутой системы (знаменатель передаточной функции) комплексной частотной функции, по виду которой можно судить об устойчивости.

Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы САР по амплитудно-фазовой характеристике. Замкнутая система будет устойчива в том случае, если устойчива замкнутая система и ее амлитудно-фазовая характеристика не охватывает точку с координатами (-1, j0), называемую критической. При отсутствии местных обратных связей разомкнутая система всегда устойчива, если состоит из устойчивых звеньев. При наличии местных обратных связей система может оказаться неустойчивой в разомкнутом состоянии.

Устойчивость по логарифмическим частотным характеристикам определяют с использованием критерия устойчивости Найквиста. Замкнутая система устойчива, если на частоте ω, для которой φ = -π, ордината ЛАЧХ разомкнутой системы отрицательна, т.е. L(ω ) < 0. Если разомкнутая система устойчива, а ЛАЧХ пересекает линию  -π в нескольких точках, то замкнутая система будет устойчивой, когда L(ω ) < 0 при φ = -π для конечной правой из точек пересечения.

Для определения устойчив ости системы используют приближенную ЛАЧХ, представляющую собой ломаную линию, отдельные участки которой имеют определенный наклон.

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: